【知识点解析】配套例题-函数的单调性

函数的单调性例1（1）f（x）＝x3＋3x；

（2）f（x）＝sinx－x，x∈（0，π）；（3）f（x）＝

．解：（1）因为f（x）＝x3＋3x，所以f′（x）＝3x2＋3＝3（x2＋1）＞0．利用导数判断下列函数的单调性：所以，函数f（x）＝x3＋3x在R上单调递增，如图所示．函数的单调性例1（1）f（x）＝x3＋3x；

（2）f（x）＝sinx－x，x∈（0，π）；（3）f（x）＝

．解：（2）因为f（x）＝sinx－x，x∈（0，π），所以f′（x）＝cosx－1＜0．利用导数判断下列函数的单调性：所以，函数f（x）＝sinx－x在（0，π）上单调递减，如图所示．函数的单调性例1（1）f（x）＝x3＋3x；

（2）f（x）＝sinx－x，x∈（0，π）；（3）f（x）＝

．解：（3）因为f（x）＝1－

，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），所以f′（x）＝

＞0．利用导数判断下列函数的单调性：所以，函数f（x）＝1－

在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增，如图所示．函数的单调性例2已知导函数f′（x）的下列信息：当1＜x＜4时，f′（x）＞0；当x＜1，或x＞4时，f′（x）＜0；当x＝1，或x＝4时，f′（x）＝0．试画出函数f（x）图象的大致形状．解：当1＜x＜4时，f′（x）＞0，可知f（x）在区间（1，4）上单调递增；当x＝1，或x＝4时，f′（x）＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．当x＜1，或x＞4时，f′（x）＜0，可知f（x）在区间（－∞，1）和（4，＋∞）上都单调递减；综上，函数f（x）图象的大致形状如图所示．函数的单调性例3令f′（x）＝0，解得f′（x）＝x2－x－2＝（x＋1）（x－2）．解：函数f（x）＝

的定义域为R．对f（x）求导数，得x＝－1，或x＝2．x＝－1和x＝2把函数定义域划分成三个区间，f′（x）在各区间上的正负，以及f（x）的单调性如表所示．求函数f（x）＝

的单调区间．函数的单调性例3x（－∞，－1）－1（－1，2）2（2，＋∞）f′（x）＋0－0＋f（x）单调递增f（－1）＝

单调递减f（2）＝

单调递增求函数f（x）＝

的单调区间．函数的单调性例3所以，f（x）在（－∞，－1）和（2，＋∞）上单调递增，在（－1，2）上单调递减，如图所示．如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？求函数f（x）＝

的单调区间．函数的单调性例4设x＞0，f（x）＝lnx，g（x）＝1－

，两个函数的图象如图所示．判断f（x），g（x）的图象与C1，C2之间的对应关系．当x＝1时，f′（x）＝g′（x）＝1；当0＜x＜1时，g′（x）＞f（x）＞1；当x＞1时，0＜g′（x）＜f′（x）＜1．解：因为f（x）＝lnx，g（x）＝1－

，所以f′（x）＝

，g′（x）＝

．所以，f（x），g（x）在（0，＋∞）上都是增函数．函数的单调性例4设x＞0，f（x）＝lnx，g（x）＝1－

，两个函数的图象如图所示．判断f（x），g（x）的图象与C1，C2之间的对应关系．在区间（0，1）上，g（x）的图象比