高中数学人教B版四学案：2.1.1 向量的概念

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2．1向量的线性运算2．1。1向量的概念[学习目标]1。能结合物理中的位移认识向量，掌握向量与数量的区别.2。会用有向线段作向量的几何表示,了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量。3.理解零向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．［知识链接］1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量,在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量．2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧。3．向量与数量有什么联系和区别？答联系是：向量与数量都是有大小的量；区别是：向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小．[预习导引］1．向量的概念既有大小，又有方向的量叫做向量．2．向量的几何表示以A为始点，以B为终点的有向线段记作eq\o（AB,\s\up6（→））.3．向量的有关概念(1）零向量：长度等于零的向量叫做零向量,记作0.规定：零向量与任意向量平行．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(3）平行向量（共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或平行．也就是说方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a平行于b,记作a∥b。要点一向量的概念例1给出下列各命题：①零向量没有方向；②若｜a|＝｜b｜，则a＝b；③向量就是有向线段；④两相等向量若其起点相同，则终点也相同；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c；⑦若四边形ABCD是平行四边形,则eq\o(AB,\s\up6（→)）＝eq\o（CD，\s\up6(→）），eq\o(BC,\s\up6（→））＝eq\o（DA,\s\up6（→）).其中正确命题的序号是________．答案④⑤解析①该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；②该命题不正确，｜a|＝｜b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同;③该命题不正确,有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；④该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；⑤该命题正确，由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同,b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；⑥该命题不正确,因若b＝0,则对两不共线的向量a与c，也有a∥0,0∥c，但a\[KG－2。5mm]∥c；⑦该命题不正确．如图所示,显然有eq\o（AB，\s\up6(→））≠eq\o（CD,\s\up6(→）），eq\o（BC,\s\up6(→)）≠eq\o（DA，\s\up6（→））。规律方法要充分理解与向量有关的概念,明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．跟踪演练1给出下列命题：①若｜a|＝｜b｜，则a＝b或a＝－b；②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量eq\o(AB,\s\up6（→）)与eq\o(CD，\s\up6(→))是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．答案③解析①错误．由|a｜＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．②错误。0的模|0|＝0。③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量eq\o(AB，\s\up6(→））、eq\o(CD,\s\up6（→))必须在同一直线上．要点二向量的表示例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1)eq\o(OA,\s\up6(→）），使|eq\o（OA,\s\up6(→)）|＝4eq\r(2)，点A在点O北偏东45°；（2）eq\o(AB,\s\up6（→)),使|eq\o（AB,\s\up6（→))|＝4，点B在点A正东；（3）eq\o（BC,\s\up6（→))，使｜eq\o(BC,\s\up6（→)）｜＝6，点C在点B北偏东30°。解(1)由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|eq\o(OA，\s\up6(→))｜＝4eq\r（2)，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量eq\o(OA,\s\up6（→)）如图所示．（2）由于点B在点A正东方向处，且|eq\o(AB，\s\up6(→)）|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定,画出向量eq\o(AB，\s\up6（→)）如图所示．（3)由于点C在点B北偏东30°处,且|eq\o（BC,\s\up6(→)）｜＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq\r(3）≈5。2，于是点C位置可以确定，画出向量eq\o（BC，\s\up6(→)）如图所示．规律方法在画图时，向量是用有向线段来表示的,用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练2中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处,可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量eq\o(AA1,\s\up6（→）)或eq\o（AA2,\s\up6（→)）表示马走了“一步”．试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．解根据规则,画出符合要求的所有向量．马在B处走了“一步”的情况如图（1)所示；马在C处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三相等向量与共线向量例3如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED、OCFB都是正方形．(1）写出与eq\o(AO,\s\up6（→）)相等的向量；（2)写出与eq\o(AO,\s\up6(→））共线的向量；（3）向量eq\o（AO，\s\up6(→））与eq\o(CO,\s\up6（→））是否相等?解（1)与eq\o（AO，\s\up6（→)）相等的向量为:eq\o(OC，\s\up6（→））、eq\o（BF,\s\up6（→））、eq\o(ED,\s\up6(→)）.（2）与eq\o（AO，\s\up6（→）)共线的向量为：eq\o（OA,\s\up6（→）)、eq\o(OC，\s\up6（→))、eq\o(CO,\s\up6（→））、eq\o(AC，\s\up6(→））、eq\o（CA,\s\up6（→）)、eq\o(ED,\s\up6(→））、eq\o(DE，\s\up6(→)）、eq\o(BF,\s\up6（→））、eq\o（FB，\s\up6(→）).（3)向量eq\o(AO,\s\up6(→))与eq\o(CO,\s\up6(→))不相等，因为eq\o(AO，\s\up6(→)）与eq\o(CO，\s\up6（→)）的方向相反,所以它们不相等．规律方法判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同,长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．跟踪演练3如图,在正方形ABCD中,M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对?解不妨设正方形的边长为2，则以A，B，C，D，M，N为起点和终点的向量中：(1）模为2的相等向量共有8对，eq\o(AB，\s\up6（→））＝eq\o（DC，\s\up6(→）)，eq\o（BA，\s\up6（→)）＝eq\o（CD,\s\up6（→))，eq\o（AD，\s\up6(→））＝eq\o（BC,\s\up6（→）)，eq\o（DA,\s\up6(→）)＝eq\o(CB，\s\up6(→）），eq\o(AD，\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6（→））,eq\o(DA,\s\up6（→）)＝eq\o（NM,\s\up6(→）)，eq\o(BC，\s\up6（→））＝eq\o（MN，\s\up6(→)），eq\o(CB，\s\up6（→))＝eq\o（NM,\s\up6（→)）.(2）模为1的相等向量有12对，其中与eq\o（AM，\s\up6(→)）同向的有eq\o（MB,\s\up6（→)），eq\o（DN,\s\up6（→）)，eq\o（NC，\s\up6（→))，这四个向量组成相等的向量有6对，即eq\o(AM，\s\up6(→））＝eq\o(MB,\s\up6（→)），eq\o（AM，\s\up6（→））＝eq\o（DN,\s\up6（→）），eq\o（AM,\s\up6(→）)＝eq\o(NC，\s\up6（→）),eq\o(MB，\s\up6（→))＝eq\o（DN，\s\up6(→)），eq\o（MB,\s\up6(→)）＝eq\o(NC，\s\up6(→）），eq\o（DN,\s\up6（→）)＝eq\o（NC，\s\up6（→）），同理与eq\o(AM,\s\up6(→))反向的也有6对．(3）模为eq\r（5)的相等向量共有4对，eq\o(AN,\s\up6（→))＝eq\o（MC,\s\up6（→)），eq\o（NA,\s\up6（→)）＝eq\o（CM，\s\up6（→))，eq\o(MD，\s\up6（→))＝eq\o（BN，\s\up6（→）),eq\o（DM,\s\up6（→）)＝eq\o（NB,\s\up6（→））。1．下列说法正确的是()A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行答案C解析零向量的长度为0，方向是任意的,故A,B错误，C正确．零向量与任一向量平行，故D错误．2．如图，在四边形ABCD中，若eq\o（AB,\s\up6(→)）＝eq\o(DC,\s\up6(→）），则图中相等的向量是(）A.eq\o(AD，\s\up6（→））与eq\o(CB,\s\up6(→))B.eq\o(OB，\s\up6(→））与eq\o（OD,\s\up6（→)）C。eq\o（AC,\s\up6(→）)与eq\o（BD，\s\up6(→））D.eq\o（AO,\s\up6（→）)与eq\o（OC，\s\up6（→））答案D解析∵eq\o（AB,\s\up6（→）)＝eq\o(DC，\s\up6（→）)，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴eq\o(AO,\s\up6（→）)＝eq\o（OC,\s\up6(→)).3．如图，在△ABC中,若DE∥BC,则图中是共线向量的有________________．答案eq\o（ED,\s\up6(→))与eq\o（CB,\s\up6（→）），eq\o（AD，\s\up6(→))与eq\o(BD，\s\up6（→）)，eq\o（AE，\s\up6(→))与eq\o（CE,\s\up6(→）)解析观察图形,并结合共线向量的定义可得解．4．在四边形ABCD中,eq\o（AB，\s\up6（→））∥eq\o(CD，\s\up6（→))且｜eq\o（AB，\s\up6（→）)｜≠｜eq\o（CD，\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形状是________．答案梯形解析∵eq\o(AB,\s\up6（→))∥eq\o(CD,\s\up6（→）)且｜eq\o(AB，\s\up6（→)）｜≠｜eq\o(CD，