高中数学人教B版四学案：2.3.2 向量数量积的运算律

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。3.2向量数量积的运算律［学习目标］1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式。2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．［知识链接]1．向量数乘的运算律有哪些？答（1)λ（μa)＝(λμ)a.（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa.（3)λ（a＋b）＝λa＋λb.特别地，有（－λ）a＝－（λa)＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb.2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.［预习导引］1．向量的数量积（内积)|a|｜b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a｜|b｜cos〈a,b>．2．向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；（2）a⊥b⇒a·b＝0且a·b＝0⇒a⊥b；(3）a·a＝｜a｜2或|a｜＝eq\r（a2)；（4)cos〈a,b〉＝eq\f(a·b,｜a｜|b｜）；(5）|a·b|≤｜a||b|。3．向量数量积的运算律(1）a·b＝b·a(交换律)；（2）（λa）·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律）；(3)（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）.要点一向量数量积运算律的有关概念例1给出下列结论：①若a≠0,a·b＝0,则b＝0；②若a·b＝b·c,则a＝c；③（a·b)c＝a（b·c）;④a·[b（a·c）－c（a·b)］＝0。其中正确结论的序号是________．答案④解析因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0,故①不正确;当a＝0,b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c,故②不正确；向量（a·b)c与c共线,a(b·c)与a共线,故③不正确;a·[b（a·c)－c(a·b）]＝（a·b）(a·c）－（a·c)（a·b）＝0,故④正确．规律方法向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系,同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下（a·b)·c≠a·(b·c）．跟踪演练1设a，b，c是任意的非零向量,且它们相互不共线，给出下列结论:①a·c－b·c＝（a－b）·c;②(b·c）·a－(c·a)·b不与c垂直；③｜a｜－｜b|<｜a－b|；④（3a＋2b)·（3a－2b）＝9｜a|2－4|b|2.其中正确的序号是________．答案①③④解析根据向量数量积的分配律知①正确；∵［(b·c)·a－(c·a)·b］·c＝(b·c)·(a·c)－（c·a)·（b·c)＝0，∴（b·c)·a－（c·a）·b与c垂直，②错误;∵a，b不共线，∴｜a|、|b|、｜a－b｜组成三角形三边，∴|a｜－｜b｜〈|a－b|成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④。要点二向量数量积运算律的综合应用例2已知|a|＝6,|b｜＝4，a与b的夹角为60°,求（a＋2b）·（a－3b）．解(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝｜a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a|·｜b|cosθ－6|b|2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72。规律方法熟练掌握两向量的数量积定义及运算性质，是解决此类问题的关键．计算形如（ma＋nb)·(pa＋qb）的数量积可仿多项式乘法的法则展开计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解．跟踪演练2已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝4，｜b|＝2，求：(1）(2a－b）·（a＋3b)；（2）｜3a－4b|。解（1）（2a－b)·（a＋3b）＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2｜a｜2＋5a·b－3｜b｜2＝2×16＋5×4×2×cos120°－3×4＝0.(2）|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4）＋16×4＝16×19.∴|3a－4b|＝4eq\r(19)。例3已知｜a｜＝3，｜b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直．解a＋kb与a－kb互相垂直的条件是(a＋kb)·(a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0。∵|a|＝3，｜b|＝4，∴9－16k2＝0，∴k＝±eq\f(3,4）.当k＝±eq\f(3，4)时，a＋kb与a－kb互相垂直．规律方法向量a,b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线；a与b垂直的等价条件是a·b＝0.跟踪演练3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？解∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角,∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2）＝keeq\o\al(2，1）＋keeq\o\al（2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0,∴k〉0。但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意,舍去．综上,k的取值范围为｛k|k〉0且k≠1}.1．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a;③a2＝|a｜2;④|a·b|≤a·b;⑤(a·b）2＝a2·b2。A．1B．2C．3D．4答案C解析①②③正确，④错误,⑤错误，（a·b）2＝(｜a｜·｜b|·cosθ）2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2,选C。2．设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r（10)，|a－b｜＝eq\r（6），则a·b等于（）A．1B．2C．3D．5答案A解析|a＋b｜2＝(a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝(a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4,∴a·b＝1。3．若非零向量a,b满足|a|＝｜b|，（2a＋b）·b＝0，则a与b的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案C解析由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ,∴2|a|｜b｜cosθ＋｜b｜2＝0。∴cosθ＝－eq\f(｜b|2，2|a|｜b｜）＝－eq\f（|b|2,2｜b｜2)＝－eq\f（1,2），∴θ＝120°。4．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为eq\f(π，3),则实数λ＝________。答案－8或5解析由3a＋λb＋7c＝0,可得7c＝－(3a＋λb），即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcoseq\f(π，3)，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5。1.向量的数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a｜|b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而a·(b·c）＝a·(｜b||c|cos〈b，c>＝|b｜｜c|cos〈b，c〉·a是一个与a共线的向量，两者一般不同．2．在实数中，若ab＝0则a＝0或b＝0，但是在数量积中,即使a·b＝