8.6.1直线与直线垂直 课件（共20张PPT）

数学人教A版必修二8.6.1直线与直线垂直

1.空间两条直线的三种位置关系知识回顾异面直线αab相交直线abO平行直线ababO

平面内两条相交直线形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度．

2.如何刻画两条相交直线的位置关系？找两条相交直线的夹角，除了作延长线，还有别的方法吗？ab新知讲解如何作出空间中直线a和b的夹角？αabOOa’b’abOb’a’αα异面直线所成的角：

已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作a’//a，b’//b,我们把a’与b’所成锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。如果两条异面直线夹角为直角，那我们就说这两条异面直线互相垂直。记作a⊥b。问题2：经过空间任意一点如何引已知直线的平行线？由推论1知，经过直线a，及空间不在直线a上的点O，可确定一个平面，不妨记为平面α。在平面α内，经过点O作a’//a，这样的直线a’就是过直线a外一点O且平行于直线a的直线。aOa’α问题3：直线a与b所成角的大小与点O的位置有关吗？因为a’//a，b’//b，所以由等角定理可知，两角相等或互补。由于异面直线所成的角是不超过90°的角，因此两角相等。

所以，直线a与b所成角的大小与点O的位置无关。此方法作出的角有多少个？无数个1.异面直线所成角的大小只和两条异面直线的位置有关，而和点O位置的选择无关。2.异面直线所成角的范围：0°<α≤90°。3.当两条直线平行时规定所成角为0°，所以空间两条直线所成角范围0°≤α≤90°。注意：练习一

判断对错1.异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同.(

)2.异面直线a与b所成角可以是0°.()3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.()4.两条直线垂直，它们一定相交.(

)5.垂直于同一条直线的两条直线一定平行.(

)X√XXX例一：如图，已知正方体ABCD-A’B’C’D’（1）哪些棱所在直线与直线AA’垂直？（2）哪些棱所在直线与直线AA’异面且垂直？（3）求直线BA’与CC’所成角的大小.（4）求直线BA’与AC所成角的大小.（5）求直线AC与BD’所成角的大小.解:（1）棱AB,BC,CD,DA,A’B’,B’C’,C’D’,D’A’所在直线分别与AA’垂直.（2）棱BC,CD，B’C’，C’D’与直线AA’异面且垂直.（1）哪些棱所在直线与直线AA’垂直？（2）哪些棱所在直线与直线AA’异面且垂直？解:（3）因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以BB’//CC’,因此∠A’BB’为直线BA’与CC’所成的角。又因为∠A’BB’=45°，所以直线BA’与CC’所成角等于45°。（3）求直线BA’与CC’所成角的大小.直接平移法（4）连接A’C’,因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以AA’//CC’且AA’=CC’,从而四边形AA’CC’是平行四边形，所以AC//A’C’。于是∠BA’C’为异面直线BA’与AC所成的角。连接BC’,易知△A’BC’是等边三角形，所以∠BA’C’=60°。从而异面直线BA’与AC所成角等于60°。（4）求直线BA’与AC所成角的大小.直接平移法（5）求直线AC与BD’所成角的大小.方法1：连接BD交AC于点O，取的DD’中点M，连接OM、AM、CM，即∠MOA为所成的角.OM90°中位线平移法（5）求直线AC与BD’所成角的大小.方法2：补一个与正方体全等的并与原正方体有公共面B’C的正方体BG，连接AC’、C’E、A’E，即∠A’C’E为所成的角.90°补形平移法GEFH例二：如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中，O’为底面A’B’C’D’的中心，求证：AO’⊥BD

证明：如图，连接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方体∴BB’//DD’,BB’=DD’∴四边形BB’DD’是平行四边形∴B’D’//BD∴直线AO’与B’D’所成角即为直线AO’与BD所成角连接AB’,AD’易证AB’=AD’又O’为底面A’B’C’D’的中心∴O’为B’D’的中点∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD，O’求两条异面直线所成的角的大小的一般步骤一作根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线所成的角.