平面向量压轴题解题思路

平面向量中的最值问题1、设A,B,C是半径为1的圆O上的三点，且0A丄0B，贝9(0C-0A)・(0C-0B)的最大值是()A.1+<2 B・1一\；2c.72-1 d.1解析：如图，作出OD,使得0A+OB=OD,(0C一OA)・(OC-0S)=OC2-OA•OC一OB•OC+OA•0B=1-(OA+6S)•O€=1-OD•OCC，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，OD•0C取得最小值，最小值为一运，此时(OC-Oa)・(OC-OS)取得最大值，最大值为1+V2，故选a.2、如图，在平面四边形ABCD中，AB丄BC,AD丄CD,ZBAD=120。，AB=AD=1•若点E为边CD上的动点，则AE•BE的最小值为(C.25A点，则AE•BE的最小值为(C.25A16D.3解析：如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.由题意知ZCAD=NCAB=60。，ZACD=ZACB=30。,则D则D(0,0),A(1,0),B(2,茅,C(0,V3).设E(0,y)(0WyWJ3),则AE=(-1,y),BE=(一2,y-茅，•:AS•BS=2+，2-亨^丄一咅)2*21，•:当y=•:当y=,AE•BE有最小值話・选A n3、已知a,b,e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足b2—4e・b+3=0,则la-b啲最小值是()AJJ3-1B.■,'，AJJ3-1C.2 D.2-3解析Tb2-4e・b+3=0,A(b-2e)2=1,Alb-2el=1.如图所示，把a,b,e的起点作为公共点O,以O为原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，la—bI就是线段AB的长度.要求IABI的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此la-bI的最小值为讨3-1・4、如图，菱形ABCD的边长为2,ZBAD=60°,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则励・AN的最大值为()A.3B.23C.6 D.9解析：选D由平面向量数量积的几何意义知，AM-丽等于詡与丽在初方向上的投影之积，所以(AM-AN)m3x=AM-AC=毎AB+AD[(広IT+AD)=2—2+AD2+3—1T•AD=9・5、已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则ET•(PB+PC)的最小值是()A.-2 B.-2 C.-3 D.-1解析：选B如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，j3),B(—1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA=(—x,厉一y),就=(一1一兀，一丁)，PC=(1^x，一y),所以PA•(PB+PC)=(-x，3一y)•(—2x,—2y)=2x2+2(y-¥)2—号，当x=0,y=¥时，PA•(PB+PC)3取得最小值，为一2・6、若点o和点f分别为椭圆肓+曽=1的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，求op・fp的最大值.解析：由题意，得F(—1,0)，设P(x0,y0),则有节+曹=1,解得y2=3(1一节)，因为FP=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),所以OP•FP=x0(x0+1)+y0=x2+x0+3(1—X)=X0+x0+3=1(x0+2)2+2,因为一2Wx0W2,故当x0=2时，O•FP取得最大值6.7、在矩形ABCD中，7、在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=2AB+“ADf则2+“的最大值为()B・加2A.3c.\：5D.2解析：选A以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，2警cos0,2+255sind则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2)，可得直线BD的方程为2r+y—警cos0,2+255sind耒，所以圆C：(兀一1)2+0—2)2=4・ 因为P在圆C上，所以P(J+又AB=(1,0),AB=(0,2),AP=2AB+“AD=Q,2“)，第2页(共4页)i+255cose=入,所以5所以12+5Sin0=2^,2+“2+“=2+255cos0+乎sin0=2+sin(0+©)W3(其中tan0=2),n当且仅当0=2+2kn-0,kEZ^,X+p取得最大值3.8、如图，△ABC是边长为2打的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则石^乔的取值范围是（）A.范围是（）A.[1,13] B.(1,13) C.(4,10)D.[4,10]Ap=xAb+Ap=xAb+“Ac，所以X-3=-3X-y=4“，所以2+“=1-$，又0VxV1,所以2+“E解析：选A取AB的中点D,连接CD,CP,则CA+CB=2CDD，所以AP•BP=(CP-CA)・(CP-CB)=CA•CB-2CD•CP+1=(2；3)2cosn-2X3X1Xcos<CD,CP〉+1=7-6cos〈CD,CP〉，所以当cos〈CD,CP〉=1时，AP•BF取得最小值为1;当cos<CD,CP〉=一1时，AP-BPP取得最大值为13,因此AP•BP的取值范围是[1,13].9、已知RtAABC中，AB=3,BC=4,AC=5,I是△ABC的内心，P是△IBC内部（不含边界）的动点，若AP=2AB+“AC(X，“ER)，贝02+“的取值范围是( )A.(3,1) b・G，2) c£2»D.(2,3)解析：选A以B为原点，BA,BC所在直线分别为xfy轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B（O,0）,A（3,0）,C（0,4）.设△ABC的内切圆的半径为r,因为I是△ABC的内心，所以（5+3+4）Xr=4X3,解得r=1,所以1（1,1）.设P（x,y）,因为点P在△IBC内部（不含边界）,所以0V兀V1•因为Ab=(-3,0),AcP（x,y）,因为点P在△IBC内部（不含边界）,曾，1），故选A.则角A的最大值为.10、在△ABC中，（AB-3A?）丄则角A的最大值为.解析：因为（Ab-3A?）丄cb，所以（Ab-3A?》cb=0,即（Ab-3Ac