多元函数微分法

多元函数微分法第一页，共三十四页，编辑于2023年，星期五基本要求

1、理解多元函数的概念，了解二元函数的极限、连续性等概念及有界闭域上连续函数的性质；

2、理解偏导数、高阶偏导数和全微分的概念，了解偏导数的几何意义、全微分存在的充分和必要条件和高阶混合偏导数与求导次序无关的条件；

3、掌握多元复合函数的求导法则，会求隐函数（包含由方程组确定的隐函数）的偏导数；第二页，共三十四页，编辑于2023年，星期五基本要求（续）

4、理解多元函数的极值和条件极值的概念，会求多元函数极值、最值，熟悉条件极值与拉格朗日乘数法；

5、熟悉空间曲线的切线方程、法平面方程的求法，熟悉曲面的切平面方程和法线方程的求法；第三页，共三十四页，编辑于2023年，星期五（1）邻域一、区域第一节多元函数的基本概念第四页，共三十四页，编辑于2023年，星期五（2）区域例如，即为开集．第五页，共三十四页，编辑于2023年，星期五第六页，共三十四页，编辑于2023年，星期五连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，第七页，共三十四页，编辑于2023年，星期五有界闭区域；无界开区域．例如，第八页，共三十四页，编辑于2023年，星期五（3）聚点（补充）1.内点一定是聚点；说明：2.边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．第九页，共三十四页，编辑于2023年，星期五3.点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．第十页，共三十四页，编辑于2023年，星期五（4）n维空间1.n维空间的记号为说明：2.n维空间中两点间距离公式第十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期五3.n维空间中邻域、区域等概念特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为第十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期五（1）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．二、多元函数概念第十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期五例1求的定义域．解所求定义域为第十四页，共三十四页，编辑于2023年，星期五（2）二元函数的图形（如下页图）第十五页，共三十四页，编辑于2023年，星期五二元函数的图形通常是一张曲面.第十六页，共三十四页，编辑于2023年，星期五例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:第十七页，共三十四页，编辑于2023年，星期五三、多元函数的极限第十八页，共三十四页，编辑于2023年，星期五说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．第十九页，共三十四页，编辑于2023年，星期五例2求证证当时，原结论成立．第二十页，共三十四页，编辑于2023年，星期五例3求极限解其中第二十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期五例4证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．第二十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期五不存在.观察第二十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期五确定极限不存在的方法：第二十四页，共三十四页，编辑于2023年，星期五利用点函数的形式有第二十五页，共三十四页，编辑于2023年，星期五四、多元函数的连续性定义3第二十六页，共三十四页，编辑于2023年，星期五例5讨论函数在(0,0)处的连续性．解取第二十七页，共三十四页，编辑于2023年，星期五故函数在(0,0)处连续.当时第二十八页，共三十四页，编辑于2023年，星期五例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．第二十九页，共三十四页，编辑于2023年，星期五闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理第三十页，共三十四页，编辑于2023年，星期五（3）一致连续性定理*在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．第三十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期五例７解第三十二页，共三十四页，编辑于