实对称矩阵的相似对角化

实对称矩阵的相似对角化第一页，共四十页，编辑于2023年，星期五一、对称矩阵的特征值和特征向量

希望找使激光美容网第二页，共四十页，编辑于2023年，星期五关键：求A的n个标准正交的特征向量。定理实对称矩阵的特征值都是实数。定理实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。

证明

A，实对阵矩阵；、，A的两个不同的特征值；X、Y，A的分别对应于、的特征向量。则

激光美容网第三页，共四十页，编辑于2023年，星期五于是又-≠

0，所以，即由此得X与Y正交。

▌激光美容网第四页，共四十页，编辑于2023年，星期五二、实对称矩阵的相似对角化定理设是n阶实对称矩阵A的任一特征值，p、q分别为的代数重数和几何重数，则p=

q。推论实对称矩阵可相似对角化。

激光美容网第五页，共四十页，编辑于2023年，星期五例已知矩阵

有特征值1(二重)和3，对应的特征向量为容易验证，是正交向量组。令激光美容网第六页，共四十页，编辑于2023年，星期五则是标准正交的特征向量。

令

则Q是正交矩阵且

激光美容网第七页，共四十页，编辑于2023年，星期五例已知矩阵

有特征值2(二重)和-7，对应的特征向量为容易验证，但与不正交。激光美容网第八页，共四十页，编辑于2023年，星期五对与进行Schmidt正交化：

则与也是A对应特征值2的特征向量。这样，(=)是两两正交的特征向量。再令

激光美容网第九页，共四十页，编辑于2023年，星期五则是标准正交的特征向量。令激光美容网第十页，共四十页，编辑于2023年，星期五则

Q是正交矩阵且

定理对任一n阶实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵Q，使得其中为矩阵A的全部特征值。激光美容网第十一页，共四十页，编辑于2023年，星期五第十二页，共四十页，编辑于2023年，星期五是线性无关的特征向量

是两两正交的特征向量

是标准正交的特征向量

激光美容网第十三页，共四十页，编辑于2023年，星期五若令

则Q是正交矩阵且

激光美容网第十四页，共四十页，编辑于2023年，星期五例求正交矩阵Q，使为对角矩阵，解∵∴

A的特征值为2(三重)和-2激光美容网第十五页，共四十页，编辑于2023年，星期五对，解得基础解系正交化：激光美容网第十六页，共四十页，编辑于2023年，星期五单位化：激光美容网第十七页，共四十页，编辑于2023年，星期五对，解得基础解系

令取激光美容网第十八页，共四十页，编辑于2023年，星期五则▌激光美容网第十九页，共四十页，编辑于2023年，星期五例设A是3阶实对称矩阵，特征值为1(二重)和2，且已知A属于2的一个特征向量。求A。解设是A属于1的特征向量，则，即解出它的一组基础解系为

激光美容网第二十页，共四十页，编辑于2023年，星期五可证，恰为A属于1的两个线性无关的特征向量。令，则线性无关。取则

激光美容网第二十一页，共四十页，编辑于2023年，星期五由此得（另法）把正交化、单位化，得激光美容网第二十二页，共四十页，编辑于2023年，星期五令则Q是正交矩阵且

激光美容网第二十三页，共四十页，编辑于2023年，星期五由此得▌激光美容网第二十四页，共四十页，编辑于2023年，星期五小结：1．特征值与特征向量计算特征值与特征向量，特征值与特征向量的性质

2．矩阵的对角化

可对角化的判别，对角化的进行

3．实对称矩阵用正交矩阵对角化

激光美容网第二十五页，共四十页，编辑于2023年，星期五例设n阶方阵A有特征值。(1)可否对角化？

(2)求。

解(1)设是A的特征值，则是的特征值，由此知：有特征值。所以，可对角化。(2)由(1)得

▌激光美容网第二十六页，共四十页，编辑于2023年，星期五

例设A是n阶实对称矩阵且，证明：存在n阶正交矩阵Q，使激光美容网第二十七页，共四十页，编辑于2023年，星期五证明设是A的特征值，对应特征向量为X，则。由此得

因，故。由此得或激光美容网第二十八页，共四十页，编辑于2023年，星期五设是A对应0的极大标准正交特征向量组，是A对应1的极大标准正交特征向量组。因A是实对称矩阵，可对角化，所以A应有n个标准正交的特征向量。于是，。令，则Q是正交矩阵且

▌激光美容网第二十九页，共四十页，编辑于2023年，星期五这就要求A的特征值2的几何重数等于其代数重数2，亦即要求齐次方程组的基础解系包含两个解向量。例设矩阵

已知A有3个线性无关的特征向量，2是A的二重特征值。试求可逆矩阵P，使为对角矩阵。

解因为A是3阶方阵，有3个线性无关的特征向量，故A可对角化。于是，只需使激光美容网第三十页，共四十页，编辑于2023年，星期五因为

故解得。因，故A的特征值为2（二重）和6。

激光美容网第三十一页，共四十页，编辑于2023年，星期五对，解得基础解系

对，解得基础解系

令

激光美容网第三十二页，共四十页，编辑于2023年，星期五则

▌激光美容网第三十三页，共四十页，编辑于2023年，星期五

例某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将的熟练工支援其它生产部门，产生的缺额由新招收的非熟练工补齐。假设新、老非熟练工经过培训与实践，到年底考核时有的人成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和，（1）求矩阵和的关系；（2）当时，求。激光美容网第三十四页，共四十页，编辑于2023年，星期五解（1）根据已知条件，由此得

激光美容网第三十五页，共四十页，编辑于2023年，星期五（2）令，则激光美容网第三十六页，共四十页，编辑于2023年，星期五下面求：因为，故A的特征值为1和。对，解