高等数学知识在医学中的应用举例

PAGEPAGE1高等数学知识在医学中的应用举例随着现代科学技术的发展和电子计算机的应用与普及，数学方法在医药学中的应用日益广泛和深入。医药学科逐步由传统的定性描述阶段向定性、定量分析相结合的新阶段发展。数学方法为医药科学研究的深入发展提供了强有力的工具。高等数学是医学院校开设的重要基础课程，下文仅例举一些用高等数学基础知识解决医学中的一些实际问题的例子，旨在启发学生怎样正确理解和巩固加深所学的知识，并且强化应用数学解决实际问题的意识。例1脉管稳定流动的血流量设有半径为，长度为的一段血管，左端为相对动脉端，血压为．右端为相对静脉端，血压为（）（如下图）．取血管的一个横截面，求单位时间内通过血管横截面的血流量．分析利用微元法，在取定的横截面任取一个内径为，外径为（圆心在血管中心）的小圆环作为研究问题的微元，它的面积近似等于，假定血管中血液流动是稳定的，此时血管中血液在各点处的流速是各点与血管中心距离的函数，即．血流量等于流速乘以面积．因此，可以求得在在单位时间内，通过该环面的血流量的近似值，进而求得该横截面的血流量．解在单位时间内，通过环面的血流量近似地为从而，单位时间内通过该横截面的血流量为由研究人员经实验得知，在通常情况下，有其中为血液的粘滞系数．于是小结血流量与血管两端压力差成正比；血流量与血管半径的４次方成正比；血流量与血液粘滞系数成反比．例2药物在体内血液中的浓度称为血药浓度．血药浓度随时间变化的函数称为药时曲线．如口服药后，体内血药浓度的变化关系是这里为参数，试对该药时曲线进行分析．解题思路要分析该药时曲线，首先要确定药时曲线的性态特征，然后根据曲线对血药浓度的进行分析．解性态描述(1)定义域为．(2)求的一、二阶导数．．(3)求的一、二阶导数等于零的解．由，解得由，解得得，代入，得经验公式：（Ｂ）（三）最小二乘法对于实验数据中自变量的每一个值的实测值，由经验公式求出相应的值，则差值叫做偏差，记作，偏差平方和记作，最小二乘法就是采用偏差平方和为最小来确定经验公式的．利用最小二乘法求经验公式，其中与为待定系数，分别由下列公式确定：其中由上式得代入，得经验公式：（Ｃ）三种方法求得的经验公式分别为：计算得偏差平方和计算得偏差平方和计算得偏差平方和可见，用最小二乘法求出的经验公式最精确．例4药物动力学中静脉恒速注射的一室模型把剂量为的丹参注射液在一段时间内以恒速（速度）滴入人体，人体内药物量用表示，显然当时，，求体内血药浓度随时间的变化规律．分析人体内除了有药物输入这一输入速度外，同时还有一个消除速度记为，这样体内药物量变化的数学模型为(1)其中为消除速度常数．由方程和初始条件可求得血药浓度随时间的变化规律．解（一）是一阶线性微分方程，常数变易法解之．对应的齐次方程为，分离变量得，将代入方程中，得，则，由初始条件时，得，故两端再除以表现分布容积，则血药浓度方程为当滴注完了时(时)的体内血药浓度为．解（二）由，时，是初始条件，用拉普拉斯变换求解．设，则，对方程(1)两端取拉氏变换整理后得取拉氏逆变换，可得两端再除以表现分布容积，则血药浓度方程为当滴注完了时(时)的体内血药浓度为．例5药物动力学中快速静脉注射的二室模型在一次快速静脉注射给药的情况下，如快速静脉注射柴胡注射液、葡萄糖注射液等，其药物动力学过程可用下图所示的二室模型来模拟．其中一室常代表血液及血流灌注充沛的器官和组织，二室表血流灌注贫乏的组织，都是一级速率常数．设静脉注射的剂量为，在时刻，一室和二室中的药量分别为和，且当时，．试求一室和二室药量随时间变化的规律．分析在时刻，一室和二室中的药量分别为和，其数学模型为下列微分方程组(1)由方程和初始条件可求得一室和二室药量和随时间的变化规律．解用拉普拉斯变换求解，设，对方程组(1)两端取拉氏变换得解得设和是的两个根，由判别式可知，则有于是取拉氏逆变换，即得一室药量随时间的变化规律为若以表示一室的表现分布容积，则血药浓度随时间的变化规律为类似地，可求出取拉氏逆变换，得二室药量随时间的变化规律为．（注：本例选自＂生物数学学报＂2000,15(4):476-479董萍,拉普拉斯变换在药物动力学中的应用）例6某医院采用=1\*ROMANI、=2\*ROMANII、=3\*ROMANIII、=4\*ROMANIV四种方法医治某种癌症，在该癌症患者中采用4种方案的百分比分别为0.1，0.2，0.25，0.45，其有效率分别为0.97，0.95，0.94，0.9.试求:(1)到该院接受治疗的患者,治疗有效的概率为多少?(2)如果1名患者经治疗有收效,最有可能接受了哪种方案的治疗?解分别记采用=1\*ROMANI、=2\*ROMANII、=3\*ROMANIII、=4\*ROMANIV种方法治疗为事件,则治疗有效记为B,则B伴随事件之一的发生而发生则由全概率公式有,0.927.由贝叶斯公式有;取,所以最有可能接受了第=4\*ROMANIV种方案的治疗.例7某种动物雌性的最大生丰年龄为15年．以5年为间隔，把这一动物种群分为3个年龄组，，．设初始时刻时，3个年龄组的雌性动物个数分别为500,1000,500．利用统计资料，已知．试分析该动物种群的年龄分布．*注释与分析设第个年龄组的生育率为，存活率为(表示第年龄组中可存活到第年龄组的雌性数与该年龄组总数之比，)．在不发生意外事件(灾害等)的条件下均为常数，且．由已知条件可知初始年龄分布向量．由莱斯利种群模型得莱斯利矩阵为．以下从莱斯利矩阵入手对该动物种群的年龄分布进行分析．解由，．于是，为了分析时，该动物种群年龄分布向量的特点．先求出矩阵的特征值和特征向量．的特征多项式得的特征值显然是矩阵的唯一正特征值，且，因此矩阵可与对角矩阵相似．设矩阵属于特征值的特征向量为．不难计算，的属于特征值的特征向量．记矩阵则或于是，即因为，