学习概率论与数理统计王明慈第二版第3章随机变量的数字特征1节

随机变量的数字特征一、数学期望、方差二、原点矩与中心矩三、协方差与相关系数四、切比雪夫不等式与大数定律基本内容：第三章2023/5/271一、数学期望的定义二、数学期望的性质基本内容：第一节

数学期望2023/5/272一、数学期望(MathematicalExpectation)总成绩算术平均加权平均2:3:5甲乙

908553888057228225

767570.070.1胜者

引例1.学生甲乙参加数学竞赛，观察其胜负.初赛复赛决赛甲甲乙甲甲乙2023/5/273引例2

加权平均成绩为该生各门课程的算术平均成绩.设某学生四年大学各门功课成绩分别为其学分分别为,则称而为该生的加权平均成绩.2023/5/2741.离散随机变量的数学期望定义:

设离散随机变量X的概率函数为若级数绝对收敛则随机变量X的数学期望

(简称期望或均值)为否则，称X的数学期望不存在.2023/5/275注1º

EX是一个常数,它是一种加权平均.与一般的平均值不同,它从本质上体现了X取可能值的真正的平均值,

也称均值.注2º

级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变.

因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改变.2023/5/276例1.甲、乙两射手在相同条件下进行射击，X

8910pi

0.30.10.6Y

8910pi0.20.40.4其中命中环数分别为X和Y,其分布列为试问如何评价甲、乙射手的射击水平的优劣.解：E(X)=E(Y)=所以甲射手比乙射手的射击水平略高.2023/5/277求数学期望E(X).解：X的概率函数为所以X的数学期望例2.

设X服从Poisson分布2023/5/2782023/5/279则X的数学期望（或均值）为

绝对收敛2.连续随机变量的数学期望若积分否则，称X的数学期望不存在.定义.设连续随机变量X的概率密度为f(x),2023/5/2710求数学期望E(X).解：X的概率密度为所以例4.

设2023/5/2711任一随机变量X都有数学期望（或均值）吗？反例：设X服从柯西分布(Cauchydistribution

),求数学期望E(X).解:（不绝对收敛）不存在密度函数为思考2023/5/2712又如:解:但是设离散型随机变量X的分布律为由于因而其数学期望EX不存在.求EX.2023/5/27133.随机变量函数的数学期望

(1)问题的导入XE(X)数学期望g(X)数学期望g是连续函数,g(X)是随机变量,如:2X+1,X2等等.(一)一维随机变量函数的数学期望2023/5/2714方法1(定义法):

g(X)是随机变量,按照数学期望关键:

由X的分布求出g(X)的分布.难点:

一般g(X)形式比较复杂的,很难求出其分布.(2)随机变量函数数学期望的计算的定义计算Eg(X).2023/5/2715定理

设X是一个随机变量,Yg(X),则

当X为离散型时,P(Xxi)pi,(i

1,2,…);求E[g(X)]时,只需知道X的分布即可.当X为连续型时,X的密度函数为f(x).方法2(公式法):2023/5/2716PX

-1012

0.10.

20.40.3解：求例5.设随机变量X的分布列为2023/5/2717试求解:

例7.设X的概率密度函数为2023/5/2718例10(研).某种商品每周的需求量

X～U(10,30）,而商场每销售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,每单位商品亏损100元;

若供不应求,则可从外部调剂供应,每单位商品获利300元.要使商场获得最大收益,问进货多少?

设应进货量为a(10至30间的某数),收益为Y,解:则X的概率密度函数为故当

a=23.33时,

EY

最大

供不应求供大于求2023/5/2719对于二维随机变量而言,其函数的数学期望计算方法可以类似得到.

1.二维离散型情形(二)二维随机变量函数的数学期望设X,Y为二维离散型随机变量,ZgX,Y为二元函数,如果EZ存在,其中X,Y的联合概率分布为pij

.2023/5/27202.二维连续型情形设X,Y为二维连续型随机变量,ZgX,Y为二元连续函数,如果EZ存在,则其中X,Y的联合概率密度为fx,y.2023/5/2721补充：2023/5/2722求Z=X+Y的数学期望。例11.

设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别是解1：前面例题已得到了Z的概率密度2023/5/2723解2：因X与Y:独立,故(X,Y)的联合概率密度为2023/5/2724二、数学期望的性质证:证:推广2023/5/2725证：仅就连续随机变量情形2023/5/2726例8.设X服从超几何分布H(n,M,N),求E(X).

问题还原：设有一批产品共N件，其中有M件次品和N-M件合格品，不放回地抽取n件样品，n件样品中的次品数X的数学期望。求抽出的解：设Xi表示第i次取出的样品中的次品数，则Xi服从“0-1”分布：2023/5/2727Xi的数学期望则X的数学期望

常见的基本方法：可以将一个比较复杂的随机变量X

拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.n次抽样中的次品数X,2023/5/2728求数学期望E(X).解2:例9.

设X服从二项分布B(n,p),Xi服从“0-1”分布，所以n重伯努利试验中事件A恰好出现的次数设Xi为第i次试验中事件A出现的次数，即2023/5/2729内容小结一、掌握(数学)期望的定义1.离散随机变量X的期望(或均值)2.连续随机变量X的数学期望3.随机变量函数的数学期望设g(X)是随机变量X的实值函数，2023/5/2730①离散随机变量函数g(X)的数学期望②连续随机变量函数g(X)的数学期望二、熟悉数学期望的性质2023/5/27312023/5/2732三、熟悉一些常见分布的期望(2)若X～B(1,p),E(X)=p.(3)若X～B(n,p),E(X)=np.(1)若X～H(n,M,N),(4)若(5)若X～U(a,b),E(X)(6)若2023/5/2733四、计算数学期望的方法1.利用数学期望的定义；2.利用数学期望的性质；3.利用常见分布的期望；常见的基本方法：将一个比较复杂的随机变量X

拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.2023/5/2734作业习题三(P92)：1、2、3、4、112023/5/2735备用题

A.1；B.0；C.3；D.11/2(2)随机变量X服从参数为1的指数分布,则

A.2；B.1；C.4/3；D.3/2(1)设随机变量X和Y相互独立，且X~B(10,0.3),且Y~P(2),则Z=2X-3Y+1的数学期望为（）1.选择题2023/5/2736分析(1)

X~B(10,0.3),于是E(X)=10×0.3=3.(2)X~e(1),于是E(X)=1,且X的概率密度为Y~P(2),于是E(Y)=2.根据数学期望的性质，E(Z)=2E(X)-3E(Y)+1=1，选A.从而2023/5/2737

2.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品,装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品,则扔掉重新任取一只;如仍然是废品,则扔掉再取一只.试求在取到正品之前,已取出的废品只数的解：设X表示在取到正品前已取出的废品数,则X=0，1，2.分布和数学期望.(1)X的概率分布设Ak={第k次取得的是正品}k=1,2,32023/5/2738由乘法公式，有2023/5/2739

X

012

P

0.88/451/45由此得离散随机变量X的概率分布为(2)根据定义,随机变量X的数学期望E(X)=0×0.8+1×(8/45)+2×(1/45)=2/9.2023/5/2740试求解:

3.

设X的概率密度函数为(奇函数)2023/5/27414.设有N个人,每个人将自己的帽子扔进屋子中央,把帽子混合后，每个人再随机地从中选一顶.试求选中自己帽子的人数的数学期望.解：设X表示配对的人数，将X写成X=X1+X2+…+Xn2023/5/27422023/5/27435.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,X在[0,60]上服从均匀分布,其概率密度为电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行.假设在早上的8点的第X分钟到达底层候梯处,且X在[0,60]上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望.（考研试题）解：2023/5/2744设Y是游客等候电梯的时间