2023年高等数学导数与微分练习题(完整资料)

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作业习题

1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=xxy；（2）x

xysin=；（3）bxeyaxsin=；

（4）)ln(22axxy++=；（5）11arctan-+=xxy；（6）x

x

xy)1(

+=。2、求下列隐函数的导数。（1）0)cos(sin=+-yxxy；（2）已知,exyey=+求)0(y''。3、求参数方程??

?-=-=)

cos1()

sin(tayttax)0(>a所确定函数的一阶导数dxdy

与二

阶导数22dx

yd。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αxy=求)(ny；（2）,2sin2xxy=求)50(y。5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=xxyx；（2）2

1arcsinx

xy-=

。

6、求双曲线122

22=-b

yax，在点)3,2(ba处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f'，其中?????=,

0,1sin)(2

x

xxf.0,

0=≠xx并研究导函数的延续性。

作业习题参考答案：1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='xxxxxxy]))(1(2[)1(3223222'-+-=xxxxxxxxxx2)1(2)1(323222?-+-=

)37)(1(222--=xxx。

（2）解：2

sincos)sin(xx

xxxxy-=

'='。（3）解：bxbebxaebxeyaxaxaxcossin)sin(+='='

)cossin(bxbbxaeax+=。

（4）解：][1

])[ln(222

222'++++=

'++='axxaxxaxxy

])(21

1[1222

222'+++++=axaxaxx

]2211[12

22

2xa

xa

xx?++++=

]1[1

2

2

2

2

axx

a

xx++

++=

2

2

1

ax+=。

（5）解：)11

()

1

1(11)1

1

(arctan2'-+-++='-+='xxxxxxy1

1

)1()1()1()1(2)1(2

222+-=-+--?+-=xxxxxx。

（6）解：)(])1[(1ln'='+='+xx

xx

ex

xy]1ln)1()1()1([)1(2xxxxxxxxxxx+-+-+?++=)1ln11()1(x

xxxxx+-++=。

2、（1）解：两边直接关于x求导得

0)1)(sin(cossin='++++'yyxxyxy

)

sin(sin)sin(cosyxxyxxyy++++-='。

（2）解：将0=x代入原方程解得,1=y

原方程两边直接关于x求导得0='++'yxyyey，

上方程两边关于x再次求导得,02)(2=''+'+''+'yxyyeyeyy将0=x，,1=y代入上边第一个方程得1)0(--='ey，将0=x，,1=y1)0(--='ey代入上边其次个方程得2)0(-=''ey。3、解：

),cos1(tadtdx-=tadtdysin=；2

cot)cos1(sinttatadtdxdtdydxdy=-==；2csc

41)cos1(1)212csc()(4222tatatdx

dtdxdydtddxyd-=-?-=?=。

4、（1）解：1-='ααxy；2)1(--=''αααxy；……

依此类推)1(,)1()1()(≥+--=-nxnynnαααα。（2）解：设,,2sin2xvxu==

则)50,,2,1)(2

2sin(2)

(=?+=kkxukkπ

，

),50,,4,3(0,2,2)(===''='kvvxvk

代入萊布尼茨公式，得

2)2

482sin(2!249502)2

492sin(250)2502sin(2)2sin(4849250)

50(2)50(??+??+

??+?+??+==π

π

πxxxxxxxy)2sin2

1225

2cos502sin(2250xxxxx++-=。

5、（1）解：),1(ln)(ln+='='xxeyxxxdxxxdyx)1(ln+=.

（2）解：]122arcsin111

[

112

22

2x

xxxxxy--?

=

'

2

322)

1(arcsin1xxxx-+-=

；

=

'=dxydydxxxxx2

322)

1(arcsin1-+-。

6、解：首先把点

)

3,2(ba代入方程左边得

1343422

222222=-=-=-b

baabyax，即点)3,2(ba是切点。对双曲线用隐函数求导得,,0222222y

ax

bybyyax='?='-

过点)3,2(ba的切线的斜率为,3232)3,2(2

2a

bb

aa

bbay=

='

故过点)3,2(ba的切线方程为)2(323axa

bby-=

-；

过点)3,

2(ba的法线方程为)2(233axba

by--

=-。7、解：,01sin1sin

0)0()()0(limlimlim

200===--='+++

→→→+xxxxxxfxffxxx同理0)0(='-f；故0)0(='f。

明显x

x

xx

xxx

xxf1

cos1sin211cos1sin2)(22-=?-='在0≠x点延续，因

此只需考查)(xf'在0=x点的延续性即可。但已知x

1cos在0=x点不延续，由延续函数的四则运算性质知)(xf'在0=x点不延续。

研究习题：

1、设,)3()(-=xxxxf求)(xf'。

2、求和nnxnxxxS2322232++++=。

3、设函数)(xf在]1,1[-上有定义，且满足,11,)(3≤≤-+≤≤xxxxfx

证实)0(f'存在，且1)0(='f。研究习题参考答案：1、解：由于

??

?

??=),3(),3(),3()(222xxxxxxxf

.

0,30,

3<<≤≥xxx

易知)(xf在开区间),3()3,0()0,(+∞??-∞内都是可导的；又对于分段点0=x，3=x，有

00

)3(0)0()()0(20

0limlim

=--=--='++

→→+xxxxfxffxx，

00)3(0)0()()0(20

0limlim

=--=--='--

→→-xxxxfxffxx，即0)0(='f；

930

)3()3(2323limlim==='+

+→→+xxxxfxx，

9)(30

)3()3(2323limlim-=-=='-

-→→-xxxxfxx，即)3(f'不存在；

所以除3=x之外)(xf在区间),3()3,(+∞?-∞內均可导，且有

??

?

??--=',36,0,

63)(22xxxxxf

).

3,0(,0),

,3()0,(∈=+∞?-∞∈xxx

2、解：由于x

xxxxnn

--=+++++1111

2

，

2

12)1()1(1)1(xnxxnxxxnnn

-++-=

'++++?+，2

11

2)1()1(1321xnxxnnx

xxnnn-++-=

++++?+-；

]1)1()122([)

1(])1()1([})

1()1(1[])321([)32()321(32212223

2

2

12

1

123212132223222--++-+--='-++-='-++-?='++++='++++=++++=++++=?+++++xxnxnnxnxxxnxxnxxxnxxnxxnxxxxxnxxxxxxnxxxxnxxxSnnnnnnnnnnnn

3、证：由,11,)(3≤≤-+≤≤xxxxfx可知当0=x时，0)0(0≤≤f，

即0)0(=f。又

)0,11(,0)0()()(3≠≤≤-+≤--=≤xxx

xxxfxfxxfxx；已知130

0limlim=+=→→xx

xxxxx，由两边夹定理可得10)

0()()0(lim0

=--='→xfxffx。

思量题：

1、若)(uf在0u不行导，)(xgu=在0x可导，且)(00xgu=，则)]([xgf在0x处（）（1