2023年高等数学微分方程试题及答案

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第九章常微分方程

一．变量可分别方程及其推广1．变量可分别的方程（1）方程形式：

()()()()0≠=yQyQxPdx

dy

通解()

()?

?+=CdxxPyQdy

（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而随意

常数另外再加）

（2）方程形式：()()()()02211=+dyyNxMdxyNxM

通解()()()()

CdyyNyNdxxMxM=+??1221

()()()0,012≠≠yNxM2．变量可分别方程的推广形式（1）齐次方程

??

?

??=xyfdxdy令

uxy=，则()ufdx

du

xudxdy=+=()cxcx

dx

uufdu+=+=-??

||ln

二．一阶线性方程及其推广

1．一阶线性齐次方程

()0=+yxPdx

dy它也是变量可分别方程，

通解()?-=dx

xPCey，（c为随意常数）2．一阶线性非齐次方程

()()xQyxPdx

dy

=+用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dx

xPexCy代入方程求出()xC则得

()()()[]

?+=??-CdxexQeydxxPdxxP

3．伯努利方程

()()()1,0≠=+ααyxQyxPdx

dy

令α

-=1y

z把原方程化为

()()()()xQzxPdx

dz

αα-=-+11再根据一阶线性非齐次方程求解。

4．方程：

()()xyPyQdxdy-=1可化为()()yQxyPdy

dx=+以y为自变量，x为未知函数再根据一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程

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.四．线性微分方程解的性质与结构

我们研究二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很简单地推广到更高阶的

线性微分方程。

二阶齐次线性方程()()0=

+'

+''y

x

q

y

x

p

y（1）

二阶非齐次线性方程()()()xf

y

x

q

y

x

p

y=

+'

+''（2）

1．若()x

y

1

，()x

y

2

为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合

()()x

y

C

x

y

C

2

2

1

1

+（

1

C，

2

C为随意常数）仍为同方程的解，特殊地，当

()()x

y

x

y

2

1

λ

≠（λ为常数），也即()x

y

1

与()x

y

2

线性无关时，则方程的通解

为()()x

y

C

x

y

C

y

2

2

1

1

+

=

2．若()x

y

1

，()x

y

2

为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x

y

x

y

2

1

-为

对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

3．若()xy为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()xy为对应的二阶齐次线性

方程的随意特解，则()()xy

x

y+为此二阶非齐次线性方程的一个特解。

4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()()x

y

C

x

y

C

2

2

1

1

+为对应的二

阶齐次线性方程的通解（

1

C，

2

C为自立的随意常数）则

()()()x

y

C

x

y

C

x

y

y

2

2

1

1

+

+

=是此二阶非齐次线性方程的通解。

5．设()x

y

1

与()x

y

2

分离是()()()x

f

y

x

q

y

x

p

y

1

=

+'

+''与

()()()x

f

y

x

q

y

x

p

y

2

=

+'

+''的特解，则()()x

y

x

y

2

1

+是

()()()()x

f

x

f

y

x

q

y

x

p

y

2

1

+

=

+'

+''的特解。

五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程

1．二阶常系数齐次线性方程

=

+'

+''qy

yp

y其中p，q为常数，特征方程0

2=

+

+q

pλ

λ

特征方程根的三种不怜悯形对应方程通解的三种形式

（1）特征方程有两个不同的实根

1

λ，

2

λ则方程的通解为x

xe

C

e

C

y2

1

2

1

λ

λ+

=

（2）特征方程有二重根

2

1

λ

λ=则方程的通解为()xex

C

C

y1

2

1

λ

+

=

（3）特征方程有共轭复根β

αi±，则方程的通解为()x

C

x

C

e

yxsin

cos

2

1

β

β

α+

=

2．n阶常系数齐次线性方程

()()()0

1

2

2

1

1

=

+'

+

+

+

+

-

-

-y

p

y

p

y

p

y

p

y

n

n

n

n

nΛ其中()n

i

p

i

,

,2,1Λ

=为常数。

相应的特征方程0

1

2

2

1

1

=

+

+

+

+

+

-

-

-

n

n

n

n

np

p

p

pλ

λ

λ

λΛ

特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。

（1）若特征方程有n个不同的实根

n

λ

λ

λ,

,

,

2

1

Λ则方程通解

x

n

x

xn

e

C

e

C

e

C

yλ

λ

λ+

+

+

=Λ

2

1

2

1

（2）若

λ为特征方程的k重实根()n

k≤则方程通解中含有

y=()x

k

k

e

x

C

x

C

C0

1

2

1

λ

-

+

+

+Λ

（3）若β

αi±为特征方程的k重共轭复根()n

k≤

2，则方程通解中含有

()()

[]x

x

D

x

D

D

x

x

C

x

C

C

ek

k

k

k

xsin

cos1

2

1

1

2

1

β

β

α-

-+

+

+

+

+

+

+Λ

Λ

由此可见，常系数齐次线性方程的通解彻低被其特征方程的根所打算，但是

三次及三次以上代数方程的根不一定简单求得，因此只能研究某些简单求特征方程

的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。

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六、二阶常系数非齐次线性方程

方程：()xfqyypy=+'+''其中qp,为常数通解：()()xyCxyCyy2211++=

其中()()xyCxyC2211+为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经研究。所以关键要研究二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求？

1．()()x

nexPxfα=其中()xPn为n次多项式，α为实常数，

（1）若α不是特征根，则令()x

nexRyα=（2）若α是特征方程单根，则令()x

nexxRyα=（3）若α是特征方程的重根，则令()x

nexRxyα2=

2．()()xexPxfxnsinβα=或()()xexPxfx

ncosβα=

其中()xPn为n次多项式，βα,皆为实常数

（1）若βαi±不是特征根，则令()()[]xxTxxReynnx

sincosββα+=（2）若βαi±是特征根，则令()()[]xxTxxRxeynnx

sincosββα+=

例题：

一、齐次方程

1.求dx

dy

xydxdyxy=+2

2

的通解2.011=??????-+???

???+dyyxedxeyx

yx二、一阶线形微分方程

1..1)0(,0)(==-+ydyxyydx

2.求微分方程4y

xydxdy+=的通解

三、伯努力方程6

3'yxyxy=+四、可降阶的高价微分方程

1.求)1ln()1(+='+''+xyyx的通解

2.1)0(',2)0()'(''22

===+yyyyy，五、二阶常系数齐次线形微分方程

1.0'''2'''2)4()

5(=+++++yyyyyy

2.06'10''5)

4(=-+-yyyy

，14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(-====yyyy

六、二阶常系数非齐次线形微分方程

1.求x

eyyy232=-'+''的通解2.求方程xyyycos222=-'+''的通解3.xxxyycos22sin3''++=+七、作变量代换后求方程的解

1.求微分方程232

2)1(1)(ydx

dyxxy+=+-的通解

2.0)2

(0)sin()1(==+++'π

yyxyx，

3.

2

12

22sin22sin'1xeyxyyx++=+

4.0)cos1(cossinln'=-+yxyyxxy

八、综合题

1.设f（x）＝xxsin－

?

-x

dttftx0

)()(，其中f（x）延续，求f（x）

2.已知x

x

exey21+=，x

x

e

xey-+=2，x

xxeexey--+=23是某二阶线性

非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.

3.设在，其中)()(),()()(xgxfxgxfxF=),(+∞-∞内满足以下条件

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.

xexgxffxfxgxgxf2)()(,0)0(),()(),()(=+=='='且

（1）求)(xF所满足的一阶和二阶微分方程（2）求出)(xF的表达式

4.设函数y＝y（x）在()+∞∞-,内具有二阶导数，且()yxxy=≠',0是y＝y（x）

的反函数.（1）试将x＝x（y）所满足的微分方程()0sin3

22=???

???++dydxxydyx

d变换为y＝y（x）满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）＝0，

()2

3

0=

'y的解.5.设(x)?是以2π为周期的延续函数，0)(20,(0)(x),(x)≠=='πφφ?φ

（1）求微分方程

cosx(x)eysinxdx

dy

?=+的通解以上这些解中，有没有以2π为周期的解？若有，求出，若无，说明理由

6.已知曲线y＝f(x)（x>0）是微分方程2y//+y/-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为0，试求：（1）曲线y＝f(x)到x轴的最大距离。（2）计算

?

+∞

)(dxxf

九、微分方程的几何和物理应用

1.设函数)0)((≥xxy二阶可导，且,1)0(,0)(=>'yxf过曲线)(xyy=上随意一点),(yxP作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为,1S区间[]x,0上以)(xyy=为曲边的曲边梯形面积记为2S，并设212SS-恒为1，求此曲线)(xyy=的方程。

2.设曲线L的极坐标方程为)(θrr=，),(θrM为L任一点，)0,2(0M为L上一定

点，若极径0OM，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上0MM两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。

3.有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光洁曲线，P(x,y)为曲线上的任一点。设曲线在原点与P点之间的弧长为S1，曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的长度为S2，且

2123SS+=x

x)

1(2+，求该曲线的方程。4.设函数f（x）在[)+∞,1上延续，若曲线y＝f（x），直线x＝1，x＝t（t>1）与x轴围成平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（t）＝

()()[]

13

2

ftft

-π

，试

求y＝f（x）所满足的微分方程，并求9

2

2=

=xy

的解.5.一个半球体状的雪球，其体积溶化的速率与半球面面积S成正比，比例常数0>K，

假设在溶化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r的雪堆开头溶化的3小时内，溶化了其体积的

8

7

，问雪堆所有溶化需要多少小时。