江西省抚州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文科）试卷Word版含解析

2020-2021学年江西省抚州市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|lnx＜1}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2}D．{1，2，3}2．复数的虚部为（）A．2B．﹣2C．﹣2iD．2i3．下面给出的类比推理中（其中R为实数集．C为复数集），结论正确的是（）A．由“已知a，b∈R，若|a|＝|b|，则a＝±b”类比推出“已知a，b∈C，若|a|＝|b|，则a＝±b”B．由“若直线a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c”类比推出“若向量，，满足，，则”C．由“已知a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b”类比推出“已知a，b∈C，若a﹣b＞0，则a＞b”D．由“平面向量满足”类比推出“空间向量满足”4．某篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了5次球，则5次都没投中的概率为（）A．0.25B．0.85C．0.8D．0.25．用反证法证明“连续的自然数a，b，c中至少有一个奇数”，假设正确的是（）A．a，b，c中至多有一个奇数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个奇数D．a，b，c都是偶数6．已知函数f（x）＝ln（|x|+1）+x2，若f（2a﹣5）＜f（3），则a的取值范围为（）A．（﹣∞，3）B．（1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）7．执行如图所示的程序框图，若输出i的值为7，则框图中①处可以填入（）A．S≥7B．S≥21C．S≥28D．S≥368．已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx，g（x）是函数f（x）的导函数，则函数y＝g（x）的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．碳14是碳的一种具有放射性的同位索．它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一且生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期）．大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称称为“半衰期”．1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国承相利苍的妻子，死于公元前168年．至今，女尸体内碳14的残余量约占原始含量的（）（参考数据：log20.7719≈﹣0.3735，log20.7674≈﹣0.3820，log20.7628≈﹣0.3906）A．75.42%B．76.28%C．76.74%D．77.19%10．已知定义在R上的函数f（x）＝ex﹣1，若函数k（x）＝|f（x）|﹣ax恰有2个零点，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣e）∪（0，e）D．（﹣e，0）∪（e，+∞）11．已知复数，为z的共轭复数．若复数ω＝，则下列结论错误的是（）A．ω在复平面内对应的点位于第二象限B．|ω|＝1C．ω的实部为D．ω的虚部为12．若1＜x1＜x2，则下列不等式正确的是（）A．x1lnx2＞x2lnx1B．x1lnx2＜x2lnx1C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若z（1﹣2i）＝3i﹣|﹣i|，则z的实部为．14．某同学数学成绩及格的概率是0.8，优秀的概率是0.6，已知在某次数学检测中该同学成绩及格了，则该同学此次检测成绩优秀的概率是．15．已知2a＝3b＝10，，则10m＝．16．毕达哥拉斯学派是由古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1，5，12，22，…，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为，若这些数构成一个数列，记为数列{an}，则＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某网站的调查显示，健身操类、跑步类、拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中比较火热，但是大多数人对健身科学类的知识相对缺乏，尤其是健身指导方面．现从某健身房随机抽取50名会员，其中男生有20人，对其平均每天健身的时间进行调查，并根据日均健身时间分为[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]五组，得到如图所示的男生日均健身时间频数表与女生日均健身时间频率分布直方图．规定日均健身时间不少于60分钟的人为“喜欢健身”．男生日均健身时间频数表：日均健身时间（分钟）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]人数26642（1）请完成下面的2×2列联表．喜欢健身不喜欢健身总计男生女生总计根据以上的2×2列联表，能否有95%的把握认为喜欢健身与性别有关？（2）现从日均健身时间在[70，80]的学员中选取3人进行表彰，求选取的3人中至少有1名男生的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.0250.010.005k03.8415.0246.6357.82918．已知函数．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设函数g（x）＝lgf（x），求g（x）的定义域和值域．19．已知函数f（x）＝2x3+5x2+4x，g（x）＝x2+2x﹣m﹣7（m∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若∀x1∈[﹣3，3]，∃x2∈[﹣3，1]，g（x1）＝f（x2），求m的取值范围．20．自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，如表是美国2020年4月9日～12月14日每隔25天统计1次共统计1次的累计确诊人数（单位：万）表．日期（月/日）4/095/045/296/237/188/129/0610/0110/2611/2012/15统计时间顺序x1234567891011累计确诊人数y43.3118.8179.4238.8377.0536.0646.0744.7888.91187.41673.7将4月9日作为第一次统计，若将统计时间顺序作为变量x，每次累计确诊人数作为变量y，给出两个函数模型：①y＝aebx（a＞0，b＞0），②y＝cx+d（c＞0，d＞0）．令ui＝lnyi，对如表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的参考值．，，，，，，取，e4.06＝57.97，e4.07＝58.56，e4.08＝59.15，e4.8＝121.51．（1）已知模型②y＝cx+d（c＞0，d＞0）的相关系数r2＝0.95，试判断模型①相比较②哪一个更适合作为y与x的回归方程，并说明理由；（2）根据（1）的结果及以上数据，求y与x的回归方程（精确到0.01，每一步用上一步的近似值进行解答）；（3）经过医学研究，发现新型冠状病毒有易传染．一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒就有可能传染病毒．根据（2）求出的回归方程，估计如果不加强防护措施，2021年3月25日美国的累计确诊人数是否会突破6500万．附：线性回归方程＝x+中，，，相关系数．21．已知函数f（x）＝lnx﹣kx．（1）若f（x）≤﹣1，求k的取值范围；（2）若函数g（x）＝（1﹣km）x（m＞0），且关于x的方程f（mx）＝g（x）有两个不同的实数根，求m的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，直线OM：与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）＜|x﹣3|的解集包含（0，1），求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|lnx＜1}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2}D．{1，2，3}解：因为集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|lnx＜1}＝{x|0＜x＜e}，所以A∩B＝{1，2}．故选：C．2．复数的虚部为（）A．2B．﹣2C．﹣2iD．2i解：，故z的虚部为﹣2．故选：B．3．下面给出的类比推理中（其中R为实数集．C为复数集），结论正确的是（）A．由“已知a，b∈R，若|a|＝|b|，则a＝±b”类比推出“已知a，b∈C，若|a|＝|b|，则a＝±b”B．由“若直线a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c”类比推出“若向量，，满足，，则”C．由“已知a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b”类比推出“已知a，b∈C，若a﹣b＞0，则a＞b”D．由“平面向量满足”类比推出“空间向量满足”解：在复数集C中，若两个复数满足|a|＝|b|，则只表示它们的模相等，a，b不一定相等或相反，所以A不正确；当为零向量，，为不共线的非零向量时，不满足向量平行的传递性，所以B不正确；在复数集C中，例如a＝2+i，b＝1+i，此时a﹣b＝1＞0，但a，b都是虚数，无法比较大小，所以C不正确；平面向量或空间向量，均满足，所以D正确．故选：D．4．某篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了5次球，则5次都没投中的概率为（）A．0.25B．0.85C．0.8D．0.2解：∵篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了5次球，∴5次都没投中的概率P＝．故选：A．5．用反证法证明“连续的自然数a，b，c中至少有一个奇数”，假设正确的是（）A．a，b，c中至多有一个奇数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个奇数D．a，b，c都是偶数解：因为反证法中的反设就是原命题的否定，所以正确的反设为“a，b，c都是偶数”．故选：D．6．已知函数f（x）＝ln（|x|+1）+x2，若f（2a﹣5）＜f（3），则a的取值范围为（）A．（﹣∞，3）B．（1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）解：f（x）＝ln（|x|+1）+x2的定义域为R，且f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，所以由f（2a﹣5）＜f（3），可得|2a﹣5|＜3，即﹣3＜2a﹣5＜3，解得1＜a＜3．故a的取值范围为（1，3）．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若输出i的值为7，则框图中①处可以填入（）A．S≥7B．S≥21C．S≥28D．S≥36解：第一次循环：S＝1，不满足条件，i＝2；第二次循环：S＝3，不满足条件，i＝3；第三次循环：S＝6，不满足条件，i＝4；第四次循环：S＝10，不满足条件，i＝5；第五次循环：S＝15，不满足条件，i＝6；第六次循环：S＝21，不满足条件，i＝7；第七次循环：S＝28，满足条件，输出i的值为7．所以判断框中的条件可填写“S≥28”．故选：C．8．已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx，g（x）是函数f（x）的导函数，则函数y＝g（x）的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：f'（x）＝﹣xsinx，即g（x）＝﹣xsinx，因为g（x）为偶函数，故排除A，又当x∈（0，π）时，g（x）＜0，故排除D．因为，所以g（x）在处的切线斜率为负数．排除C，故选：A．9．碳14是碳的一种具有放射性的同位索．它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一且生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期）．大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称称为“半衰期”．1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国承相利苍的妻子，死于公元前168年．至今，女尸体内碳14的残余量约占原始含量的（）（参考数据：log20.7719≈﹣0.3735，log20.7674≈﹣0.3820，log20.7628≈﹣0.3906）A．75.42%B．76.28%C．76.74%D．77.19%解：∵每经过5730年衰减为原来的一半，∴生物体内碳14的含量y与死亡年数t之间的函数关系式为．现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有2021+168＝2189年，由题意可得，．因为log20.7674≈﹣0.3820，所以y≈2﹣0.3820≈0.7674＝76.74%．故选：C．10．已知定义在R上的函数f（x）＝ex﹣1，若函数k（x）＝|f（x）|﹣ax恰有2个零点，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣e）∪（0，e）D．（﹣e，0）∪（e，+∞）解：画出函数y＝|f（x）|＝|ex﹣1|的图象如下图所示，当x≥0时，当直线y＝ax与y＝ex﹣1相切时，设切点为（x1，y1），则y'＝ex，所以该切线的斜率为：k＝，所以该切线的方程为：y﹣y1＝（x﹣x1），即y﹣（﹣1）＝（x﹣x1），即y＝x﹣x1+﹣1．于是：，解之得：x1＝0，a＝1，即此时直线y＝ax与y＝ex﹣1相切时，a＝1，由图可知：当a＞1时，直线y＝ax与y＝ex﹣1有两个交点，即函数k（x）＝|f（x）|﹣ax恰有2个零点；当x＜0时，当直线y＝ax与y＝﹣ex+1相切时，设切点为（x2，y2），则y'＝﹣ex，所以该切线的斜率为：k＝﹣，所以该切线的方程为：y﹣y2＝（x﹣x2），即y﹣（﹣+1）＝﹣（x﹣x2），即y＝﹣x+x2﹣+1．于是：，解之得：x2＝0，a＝﹣1，即此时直线y＝ax与y＝ex﹣1相切时，a＝﹣1，由图可知：当﹣1＜a＜0时，直线y＝ax与y＝ex﹣1有两个交点，即函数k（x）＝|f（x）|﹣ax恰有2个零点；综上所述，a的取值范围为（﹣1，0）∪（1，+∞）．故选：B．11．已知复数，为z的共轭复数．若复数ω＝，则下列结论错误的是（）A．ω在复平面内对应的点位于第二象限B．|ω|＝1C．ω的实部为D．ω的虚部为解：因为，所以，所以，ω在复平面内对应的点为，位于第二象限，，，ω的实部是，虚部是，所以A，B，C正确，D错误．故选：D．12．若1＜x1＜x2，则下列不等式正确的是（）A．x1lnx2＞x2lnx1B．x1lnx2＜x2lnx1C．D．解：构造函数，则，又当x∈（1，e）时，g'（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以g（x1），g（x2）的大小不确定．所以A、B均不正确；构造函数h（x）＝ex﹣lnx（x＞1），则，所以h（x）在（1，+∞）上为增函数，所以h（x2）＞h（x1），即，所以．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若z（1﹣2i）＝3i﹣|﹣i|，则z的实部为﹣2．解：∵，∴，故z的实部为﹣2．故答案为：﹣2．14．某同学数学成绩及格的概率是0.8，优秀的概率是0.6，已知在某次数学检测中该同学成绩及格了，则该同学此次检测成绩优秀的概率是0.75．【解答】解；记数学成绩及格为事件A，数学成绩优秀为事件B，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.6，P（AB）＝0.6，故P（B|A）＝．故答案为：0.75．15．已知2a＝3b＝10，，则10m＝15．解：由2a＝3b＝10，得a＝log210，b＝log310，则，．所以，所以10m＝15．故答案为：15．16．毕达哥拉斯学派是由古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1，5，12，22，…，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为92，若这些数构成一个数列，记为数列{an}，则＝336．解：根据题意，记第n个图形的点数为an，由题意知a1＝1，a2﹣a1＝4＝1+3×1，a3﹣a2＝1+3×2，a4﹣a3＝1+3×3，…，an﹣an﹣1＝1+3（n﹣1），累加得，即，所以a8＝92．又，所以．故答案为：92，336．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某网站的调查显示，健身操类、跑步类、拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中比较火热，但是大多数人对健身科学类的知识相对缺乏，尤其是健身指导方面．现从某健身房随机抽取50名会员，其中男生有20人，对其平均每天健身的时间进行调查，并根据日均健身时间分为[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]五组，得到如图所示的男生日均健身时间频数表与女生日均健身时间频率分布直方图．规定日均健身时间不少于60分钟的人为“喜欢健身”．男生日均健身时间频数表：日均健身时间（分钟）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]人数26642（1）请完成下面的2×2列联表．喜欢健身不喜欢健身总计男生女生总计根据以上的2×2列联表，能否有95%的把握认为喜欢健身与性别有关？（2）现从日均健身时间在[70，80]的学员中选取3人进行表彰，求选取的3人中至少有1名男生的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.0250.010.005k03.8415.0246.6357.829解：（1）由时间频数表和频率分布直方图可得，列联表如下：喜欢健身不喜欢健身总计男生61420女生62430总计123850∵，∴没有95%的把握认为喜欢健身与性别有关．（2）记3名女生为A，B，C，2名男生为a，b，则从5人中抽取3人的所有可能情况为（A，B，C），（A，B，a），（A，B，b），（A，C，a），（A，C，b），（A，a，b），（B，C，a），（B，C，b），（B，a，b），（C，a，b），共10种，其中3人中至少有1名男生的情况有9种，故所求概率．18．已知函数．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设函数g（x）＝lgf（x），求g（x）的定义域和值域．解：（1），，则．又，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即．（2）由x3+x≠0，得x≠0，又f（x）＞0，所以g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．因为x≠0，所以x2+1＞1，所以，则g（x）＜0，故g（x）的值域为（﹣∞，0）．19．已知函数f（x）＝2x3+5x2+4x，g（x）＝x2+2x﹣m﹣7（m∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若∀x1∈[﹣3，3]，∃x2∈[﹣3，1]，g（x1）＝f（x2），求m的取值范围．解：（1）f'（x）＝6x2+10x+4＝（x+1）（6x+4）．在（﹣∞，﹣1）和上，f'（x）＞0，f（x）单调递增．在上，f'（x）＜0，f（x）单调递减．综上，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和，单调递减区间为．（2）由（1）可知，f（x）在[﹣3，﹣1）和上单调递增，在上单调递减．又f（﹣3）＝﹣21，f（﹣1）＝﹣1，，f（1）＝11．所以在[﹣3，1]上，﹣21≤f（x）≤11．又g（x）＝x2+2x﹣m﹣7＝（x+1）2﹣m﹣8．所以在[﹣3，3]上，g（x）min＝g（﹣1）＝﹣m﹣8，g（x）max＝g（3）＝﹣m+8，即﹣m﹣8≤g（x）≤﹣m+8．因为∀x1∈[﹣3，3]，∃x2∈[﹣3，1]，g（x1）＝f（x2），所以解得﹣3≤m≤13．故m的取值范围是[﹣3，13]．20．自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，如表是美国2020年4月9日～12月14日每隔25天统计1次共统计1次的累计确诊人数（单位：万）表．日期（月/日）4/095/045/296/237/188/129/0610/0110/2611/2012/15统计时间顺序x1234567891011累计确诊人数y43.3118.8179.4238.8377.0536.0646.0744.7888.91187.41673.7将4月9日作为第一次统计，若将统计时间顺序作为变量x，每次累计确诊人数作为变量y，给出两个函数模型：①y＝aebx（a＞0，b＞0），②y＝cx+d（c＞0，d＞0）．令ui＝lnyi，对如表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的参考值．，，，，，，取，e4.06＝57.97，e4.07＝58.56，e4.08＝59.15，e4.8＝121.51．（1）已知模型②y＝cx+d（c＞0，d＞0）的相关系数r2＝0.95，试判断模型①相比较②哪一个更适合作为y与x的回归方程，并说明理由；（2）根据（1）的结果及以上数据，求y与x的回归方程（精确到0.01，每一步用上一步的近似值进行解答）；（3）经过医学研究，发现新型冠状病毒有易传染．一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒就有可能传染病毒．根据（2）求出的回归方程，估计如果不加强防护措施，2021年3月25日美国的累计确诊人数是否会突破6500万．附：线性回归方程＝x+中，，，相关系数．解：（1）由y＝aebx，得lny＝ln（aebx）＝bx+lna，即u＝bx+lna，因为，所以r1＞r2，所以模型①拟合得更好，更适合作为y与x的回归方程．（2）因为，，所以a≈e4.06＝57.97，所以回归方程为y＝57.97e0.32x．（3）2021年3月25日对应的时间序号x＝15，当x＝15时，y＝57.97e0.32×15＝57.97e4.8＞57×120＝6840＞6500，所以如果不加强防护措施，2021年3月25日美国的累计确诊人数将会突破6500万．21．已知函数f（x）＝lnx﹣kx．（1）若f（x）≤﹣1，求k的取值范围；（2）若函数g（x）＝（1﹣km）x（m＞0），且关于x的方程f（mx）＝g（x）有两个不同的实数根，求m的取值范