第6课时对数与对数函数（解析版）

第6课时对数与对数函数编写：廖云波【回归教材】1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．(2)常见对数：①常用对数：以为底，记为；②自然对数：以为底，记为；(3)对数的性质和运算法则：①；；其中且；②(其中且，)；③对数换底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数且叫做对数函数．图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，【方法技巧与总结】1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见右图)【典例讲练】题型一对数式的运算【例1-1】(1)；(2)；(3)2log32－log3＋log38－；【答案】(1)(2)-1(3)－1【解析】(1)原式.(2)(3)原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.【例1-2】（1）已知，，试用表示；（2）已知，，试用表示．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）（2）同类型题，根据指数与对数的互化及换底公式即可求解.【详解】（1），，，，；（2），，．归纳总结：【练习1-1】计算下列各题：(1)已知，求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算性质计算可得；（2）根据换底公式及对数的运算性质计算可得；(1)解：因为，所以、，所以，，所以；(2)解：【练习1-2】（1）若，求的值；（2）设，用表示．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解；（2）利用换底公式以及对数的运算性质求解．【详解】（1）∵，∴．（2），根据换底公式，∴．题型二对数函数的图像【例2-1】画出下列函数的图象：（1）；（2）．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；【解析】【分析】（1）将图象向左平移个单位，作出关于轴对称图象，即可求得答案；（2）画出的图象中负数部分沿轴翻折，即可求得．【详解】（1）将图象向左平移1个单位，做出关于轴对称图象的图象如图所示；（2）画出的图象中负数部分沿轴翻折，可得：的图象如图所示【点睛】本题考查作对数函数图象，解题关键是掌握对数图象画法，考查了分析能力，属于基础题．【例2-2】当时，，则a的取值范围是A．(0，)B．(，1)C．(1，)D．(，2)【答案】B【解析】【分析】分和两种情况讨论，即可得出结果.【详解】当时，显然不成立.若时当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B.【点睛】本题主要考查对数函数与指数函数的应用，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型.【例2-3】已知函数，若，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由，可得，，得，所以，然后构造函数，利用可求出其单调区间，从而可求出其范围【详解】的图象如图，因为，所以，因为，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，则，所以，令，则，当时，，所以在上递减，所以，所以，所以的取值范围为，故答案为：归纳总结：【练习2-1】分别画出下列函数的图象：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）作出y＝lgx的图象C1，先右平移1个单位，再利用翻转变换即可得解．（2）作y＝lgx的图像，沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像，再向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像，再将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折即可得到的图像.【详解】(1)首先作出y＝lgx的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|,如图1所示(实线部分).(3)第一步作y＝lgx的图像．第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像．第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折，得的图像，如图3．.【点睛】图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．【练习2-2】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．【练习2-3】如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b【答案】Dy＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.故选：D．题型三解对数方程、不等式【例3-1】若，则的值是______.【答案】##【解析】【分析】先解出，得到，，即可求解.【详解】因为，所以，所以，，所以.故答案为：【例3-2】函数的定义域是.【答案】【解析】【分析】利用具体函数的定义域求解.【详解】因为函数，所以，即，解得，所以函数的定义域是，故答案为：归纳总结：【练习3-1】不等式的解集是_______．【答案】当时，解集为；当时，解集为【解析】【分析】将原不等式变形为，讨论对数单调性解不等式即可.【详解】∵，∴原不等式等价于，当>1时，，解得0＜x＜2．当时，，解得2＜x＜4．∴当>1时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为故答案为：当>1时，解集为；当时，解集为【练习3-2】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数，，则不等式的解集为___．【答案】【解析】【分析】根据函数的性质将原不等式转换为，再结合对数函数的单调性求解即可【详解】∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数．，∴．则不等式等价为不等式，即，即不等式的解集为．故答案为：题型四比较大小【例4-1】已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】对数指数混合类型的比大小常见方法是找中间量，例如本题可以找到中间量，即可得出答案.【详解】因为，，所以．故选：B.【例4-2】已知，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用指数运算和对数函数的单调性判断.【详解】解：因为，，，所以．故选：A【例4-3】设，，．则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0<x<2时，,即,,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,,由于，在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;综上，,故选：B.归纳总结：【练习4-1】已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可.【详解】，，，所以.故选：B．【练习4-2】设，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.题型五综合应用【例5-1】已知函数.(1)当时，求函数的值域；(2)是否存在，使在上单调递增，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）设并配方，进而得到定义域，并算出t的范围，进而得到函数的值域；（2）根据题意，只需在上单调递减且在上恒成立，进而列出不等式组求得答案.(1)当时，，设，则，所以，所以的值域为.(2)要使在上单调递增，只需在上单调递减且在上恒成立，所以，此不等式组无解.故不存在，使在上单调递增.【例5-2】已知函数，．(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；(2)在（1）的条件下，对，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）要使得函数的定义域为，即在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数的性质，即可求解；（2）由，恒成立，转化为不等式在和恒成立，设，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.(1)解：由题意，函数，要使得函数的定义域为，即在上恒成立，当时，不等式在上恒成立，符合题意；当时，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围为.(2)解：由，恒成立，即恒成立，即不等式在和恒成立，即不等式在和恒成立，设若时，不等式，显然不能恒成立；若时，函数表示开口向上，且对称轴的抛物线，当时，即时，函数在单调递增，因为，所以，所以恒成立；当时，即时，则在递减，在递增，要使得，只需，即，解得，所以，综上可得，实数的取值范围．归纳总结：【练习5-1】已知函数.（1）当时，求的值域和单调减区间；（2）若存在单调递增区间，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，，令，求出的单调区间与取值范围，即可得出结果；（2）若存在单调递增区间，则当，则函数存在单调递增区间即可，当，则函数存在单调递减区间即可，根据判别式即可得出结果.【详解】解：（1）当时，，设，由，得，得，即函数的定义域为，此时，则，即函数的值域为，要求的单调减区间，等价为求的单调递减区间，的单调递减区间为，的单调递减区间为．（2）若存在单调递增区间，则当，则函数存在单调递增区间即可，则判别式得或舍，当，则函数存在单调递减区间即可，则判别式得或，此时不成立，综上实数的取值范围是．【请完成课时作业（十二）】【课时作业（十二）】A组基础题1．方程的解是（）A．1B．2C．eD．3【答案】D【解析】【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.【详解】∵，∴，∴.故选：D.2．设函数，则（）A．8B．9C．10D．11【答案】B【解析】【分析】根据分段函数结合指对数的运算求解即可【详解】设函数，则.故选：B.3．已知，则（）A．25B．5C．D．【答案】C【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为，，即，所以．故选：C.4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据单调性分析a，c的大小，再根据判断即可【详解】∵，，，∴.故选：B.5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据题目中所给公式直接计算可得.【详解】因为，所以．故选：B6．若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】令对数型函数的真数为，即可求出函数过定点的坐标，再根据三角函数的定义得到，最后根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得；【详解】解：对于函数，令，解得，所以，所以函数恒过定点，又点在角的终边上，所以，所以；故选：A7．函数的图像的大致形状是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求解函数的零点，根据排除法判断即可【详解】求可得或，解得或，排除BCD；故选：A【点睛】本题主要考查了根据函数解析式分析函数图像的问题，属于基础题8．设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分析出函数为奇函数，可得出，然后分、两种情况解不等式，即可得出实数的取值范围.【详解】当时，，则，当时，，则，所以，函数为奇函数，由可得，当时，由，可得；当时，由，可得，解得.综上所述，实数的取值范围的取值范围是.故选：D.9．若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用对数的单调性证明，即得解.【详解】解：因为，则，则，所以，从而，所以故选：A．10．【多选题】已知函数，下列说法中正确的是（）A．若的定义域为R，则B．若的值域为R，则或C．若，则的单调减区间为D．若在上单调递减，则【答案】BD【解析】【分析】根据函数的知识对选项逐一判断【详解】对于A，若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误；对于B，若的值域为R，则，所以或，所以B正确：对于C，若，则，函数的定义域为，设，即求函数的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以C错误；对于D，若在上单调递减，则且，所以，所以D正确．故选：BD11．的值为______.【答案】11【解析】【分析】进行对数和分数指数幂的运算即可．【详解】原式．故答案为：11．12．已知，则实数a的取值范围为______．【答案】.【解析】【分析】分和两种情况求解即可.【详解】解：当时，由，可得，解得；当时，，可得，得，不满足，故无解.综上所述a的取值范围为：.故答案为：.13．已知，若，则___________.【答案】8【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．【详解】解：由，且所以是方程的两根，解得或，又，所以，即，又从而，且，则，．所以.故答案为：8.14．已知函数．(1)若，求函数的定义域．(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】（1）由对数的性质有求解集，即可得定义域.（2）由题设是值域的子集，根据二次函数的性质有即可求m的范围.（3）首先根据二次函数、对数函数的性质判断复合函数的单调区间，再由已知区间的单调性有，即可求m的范围.(1)由题设，，则或，所以函数定义域为.(2)由函数的值域为R，则是值域的子集，所以，即.(3)由在上递减，在上递增，而在定义域上递减，所以在上递增，在上递减，又在上是增函数，故，可得.B组能力提升能1．设函数，关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（）A．B．C．9D．10【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，再分析函数性质结合均值不等式求解作答.【详解】抛物线的对称轴，当时，图象关于直线对称，