第15讲抛物线（原卷版）

第15讲抛物线【知识点梳理】知识点一：抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点诠释:（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.知识点二：抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，。知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。知识点三：抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程的几何性质范围：，，抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）顶点O（0，0）范围x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径知识点诠释：（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；（2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.【题型归纳目录】题型一：抛物线的定义题型二：求抛物线的标准方程题型三：抛物线的综合问题题型四：轨迹方程题型五：抛物线的几何性质题型六：抛物线中的范围与最值问题题型七：焦半径问题【典型例题】题型一：抛物线的定义例1．（沪教版（2020）选修第一册领航者第2章2.4抛物线第3课时抛物线的性质（2））若动点满足，则点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线例2．（江苏省扬州市仪征中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题）对抛物线，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为例3．（吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题）已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（

）A．①④ B．②③ C．①② D．③④例4．（四川省南充市阆中市阆中中学校2021-2022学年高二下学期期中数学（文）试题）抛物线的焦点到准线的距离是（

）A．8 B．4 C． D．例5．（安徽省蚌埠市2021-2022学年高二上学期期末数学试题）抛物线的准线方程是，则实数___________.例6．（第二章平面解析几何2.7抛物线及其方程抛物线的几何性质）如图，l是平面上一条直线，A在与l垂直的直线m上，且A到l的距离为2，图中的圆是以A为圆心的一组同心圆，它们的半径分别为1，2，3，…，除直线m外，图中的直线都是与直线m垂直的，相邻两直线之间的距离为1.在图中直线与圆的交点中，找出到点A与到直线l距离相等的点，并把这些点用光滑的曲线顺次连接起来，观察所得曲线的形状.例7．（抛物线的标准方程）已知动点到点的距离比到直线的距离小1，试判断点M的轨迹是什么图形．例8．（习题2-3）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：(1)准线方程为；(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；(4)对称轴是y轴，经过点．例9．（3.2抛物线的简单几何性质）在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线.（1）；（2）；（3）．通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系．题型二：求抛物线的标准方程例10．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（文））焦点在直线上的抛物线的标准方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或例11．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））抛物线的准线方程是，则实数a的值（

）A． B． C．8 D．-8例12．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为3，离心率为，则以双曲线C的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（

）A． B．C． D．例13．（2022·全国·高二课时练习）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（

）A． B．C． D．例14．（2022·海南华侨中学高二期中）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．例15．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））抛物线上一点的坐标为，则点到焦点的距离为（

）A． B． C． D．例16．（2022·全国·高二课时练习）焦点在x－y－1＝0上的抛物线的标准方程是______．例17．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为_____例18．（2022·天津市第一中学滨海学校高二开学考试）若抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则抛物线方程为______.例19．（2022·全国·高二课时练习）准线方程为的抛物线标准方程为______．例20．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，点在抛物线上，则PF的长为______．例21．（2022·全国·高二课时练习）求焦点在直线上的抛物线的标准方程．例22．（2022·全国·高二课时练习）已知方程的抛物线上有一点，点M到焦点F的距离为5，求m的值．例23．（2022·江苏·高二）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，其上一点到焦点F的距离为6．求抛物线的方程及点A的坐标．题型三：抛物线的综合问题1例24．（2022·浙江·高二阶段练习）已知点是抛物线的焦点，，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．例25．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））已知抛物线:（其中为常数）过点（1，3），则抛物线的焦点到准线的距离等于（

）A． B． C． D．3例26．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，为上的动点，直线与的另一交点为，关于点的对称点为．当的值最小时，直线的方程为________．例27．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点（点在轴的上方），则______．例28．（2022·全国·高二期末）一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度______米．例29．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））圆的圆心在抛物线上，且圆与轴相切于点A，与轴相交于、两点，若（为坐标原点），则______．例30．（2022·上海市大同中学高二期中）已知椭圆上存在两点M、N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数t的值为______．例31．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.(1)求该抛物线的方程；(2)为坐标原点，求的面积.题型四：轨迹方程例32．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．例33．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．例34．（2022·江苏·高二）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．例35．（2022·江苏·高二）若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹方程是__________．例36．（2022·全国·高二课时练习）已知点到点的距离比点到直线的距离小，求点的轨迹方程．例37．（2022·全国·高二课时练习）已知点M到点的距离比到y轴的距离大2，求点M的轨迹方程．例38．（2022·全国·高二课时练习）已知点M与点的距离比它到直线的距离小2，求点M的轨迹方程．例39．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．例40．（2022·江苏·高二课时练习）已知点到椭圆的右焦点的距离与到直线的距离相等，求点的轨迹方程．例41．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆，直线，求与直线l相切且与圆F外切的圆的圆心M的轨迹方程．例42．（2022·江苏·高二课时练习）从抛物线上任意一点向x轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．例43．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线和圆．若圆与直线相切，与圆外切，求圆的圆心的轨迹方程．例44．（2022·全国·高二课时练习）已知动点P到点的距离与它到直线的距离相等，求点P的轨迹方程.例45．（2022·全国·高二课时练习）已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为___________；若动点M满足，则M的轨迹方程为___________.题型五：抛物线的几何性质例46．（2022·浙江·高二期末）下列命题中正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标为．B．抛物线的准线方程为x=−1．C．抛物线的图象关于x轴对称．D．抛物线的图象关于y轴对称．例47．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的对称轴是直线A． B．C． D．例48．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（

）A． B．C．或 D．或例49．（2022·全国·高二专题练习）已知直线垂直于抛物线的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，则p=（）A． B．C． D．例50．（多选题）（2022·江苏镇江·高二期中）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（

）A． B． C． D．例51．（多选题）（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）关于抛物线，下列说法正确的是（

）A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴例52．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（

）A．曲线的方程为B．曲线关于轴对称C．当点在曲线上时，D．当点在曲线上时，点到直线的距离例53．（多选题）（2022·山西省长治市第二中学校高二期中）已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（

）A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个C．使得的点M有且仅有4个D．使得的点M有且仅有4个例54．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校高二期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点，则___________.例55．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列方程所表示的曲线是否关于x轴、y轴或原点对称：(1)；(2)；(3)；(4)．例56．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2.（1）求点的轨迹的方程；（2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由.题型六：抛物线中的范围与最值问题例57．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（理））已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例58．（2022·贵州·遵义四中高二期末）点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是（

）A．4 B．6 C． D．例59．（2022·江苏·高二）已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．例60．（2022·四川成都·高二开学考试（文））已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足，则OB的斜率的最大值为（

）．A． B． C． D．例61．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（理））已知抛物线的焦点为F，且点F与圆上点的距离的最大值为6，则抛物线的准线方程为（

）A． B．C． D．例62．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知抛物线，直线，且在上恰有两个点到的距离为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例63．（多选题）（2022·福建泉州·高二期中）在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（

）A．当时，的最小值为3B．当时，的最小值为4C．当时，的最大值为1D．当轴时，为定值例64．（2022·广东梅州·高二阶段练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．例65．（2022·河南·舞阳县第一高级中学高二阶段练习（文））已知抛物线的焦点为F，则抛物线上的动点P到点与F距离之和的最小值为______．例66．（2022·江苏·高二）如图所示，已知P为抛物线上的一个动点，点，F为抛物线C的焦点，若的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.例67．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知定点，则的最小值是___________.例68．（2022·北京师大附中高二期末）已知点及抛物线，若抛物线上点P满足，则m的最大值为_____________．例69．（2022·江苏苏州·高二期末）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于A，B两点，以F为圆心的圆交线段AB于C，D两点（从上到下依次为A，C，D，B），若，则该圆的半径r的取值范围是____________.题型七：焦半径问题例70．（2022·江苏·高二）已知抛物线上的一点到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．5例71．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点．则当取最大值时，的值为（

）A． B． C． D．例72．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））抛物线上一点的坐标为，则点到焦点的距离为（

）A． B． C． D．例73．（2022·江苏·高二）已知抛物线上一点满足（其中为坐标原点，为抛物线的焦点），则（

）A．1 B．