【2022届高考数学一轮复习】《任意角及任意角的三角函数》

-1-第1讲任意角及任意角的三角函数1．理解任意角的概念、弧度的意义．2．能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示角的正弦、余弦和正切．-1-基础自查1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的

，射线的端点O叫做角的

，按

时针方向旋转所形成的角叫做正角，按

时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个

角．2．象限角使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是．3．终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为

．4．角度制：用度作为单位来度量角的单位制叫做．5．弧度制长度等于

的圆弧所对的

叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做

，弧度的单位符号是rad，读作

，弧度二字通常略去不写．始边顶点顺零第几象限角{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}角度制半径圆心角弧度制弧度逆-1-6．度与弧度的换算关系

360°＝

rad,1°＝rad,1rad＝度．7．弧长公式及扇形面积公式弧长l＝，扇形面积S＝.8．任意角的三角函数的定义 直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P的坐标(x，y)，它到原点的距离是r(r>0)，那么任意角的三角函数的定义如下：sinα＝，cosα

＝，tanα＝.9．有向线段规定了方向的线段称为

线段．根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的

，记为AB.10．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，单位圆与x轴的正半轴的交点为A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)，我们把有向线段MP、OM、AT(或AT′)叫做α

的

、

、．有向线段MP、OM、AT(或AT′)都称为．2π|α|r有向数量正切线三角函数线正弦线余弦线-1-11．正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanα12.各象限角的三角函数值的符号如下图所示三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦．-1-联动思考想一想：终边相同的角是相等角吗？它的表达形式唯一吗？答案：终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．一般地，终边相同的角的通式表达形式不唯一，如α＝k·180°＋90°(k∈Z)与β＝k·180°－90°(k∈Z)都表示终边在y轴上的所有角．议一议：α的三角函数与P(x，y)点的选取有关吗？答案：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在角α的终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，对于确定的角α，其终边位置也就确定了，因此三角函数的大小只与角α的终边位置有关．-1-联动体验1．把－1485°写成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式是________．解析：－1485°＝－5×360°＋315°，－5×360°＝－5×2πrad

＝－10πrad,315°＝315×.∴－1485°＝rad.答案：rad2．(2010·淮安市四星级高中数学学科学习能力评价测试)已知角α的终边经过点P(－3,4)，则sinα＝________.

解析：sinα＝.

答案：-1-3．已知cosα＝m,0<|m|<1，且tanα＝，则α在第________象限．解析：因为cosα＝m,0<|m|<1，所以角α的终边不会落在坐标轴上，又因为

>0，所以cosα与tanα同号．所以角α的终边在第一或第二象限．答案：一或二4．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，则sinα＝________.5．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为________．解析：设圆内接正方形的边长为a，圆的半径为R，则2R＝a，则圆弧所对的圆心角θ

，故弧所对的圆周角为.答案：-1-考向一任意角【例1】(1)已知角α是第二象限角，试确定2α，所在的象限；(2)若角θ的终边与168°的角终边相同，求在[0°，360°)内终边与角的终边相同的角．解：(1)∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)，∵2k·360°＋180°<2α<2k·360°＋360°(k∈Z)，∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上．∵k·180°＋45°<<k·180°＋90°(k∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°<<m·360°＋90°；当k＝2m＋1(m∈Z)时，m·360°＋225°<<m·360°＋270°；∴为第一或第三象限角．-1-

对判断所在区间可用如下方法：将坐标系中每象限二等分，再自x轴正向逆时针依次标Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图，所在区域如图中阴影部分(标有Ⅱ的部分)．故为第一或第三象限角．

(2)∵θ＝k·360°＋168°(k∈Z)，∴＝k·120°＋56°(k∈Z)，依题意得0°≤k·120°＋56°<360°，当k＝0,1,2时，

k·120°＋56°在[0°，360°)内，∴＝56°，176°，296°.反思感悟：善于总结，养成习惯一般地，要确定所在象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把圆周角等分成4n个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这

4n个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号是几的区域，就是θ为第几象限的角时终边落在的区域，所在的象限就可直接看出来．-1-迁移发散1．如果α是第三象限的角，那么－α、、2α的终边落在何处？解：∵α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋π(k∈Z)①

则－2kπ－π<－α<－2kπ－π(k∈Z)，即－α为第二象限角．由①式得，kπ＋kπ＋π(k∈Z)．∴当k为偶数时，为第二象限角．当k为奇数时，为第四象限角．由①式得：4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π.

即2(2k＋1)π<2α<2(k＋1)π＋π(k∈Z)．故2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．-1-考向二扇形的弧长、面积公式【例2】已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；

(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，-1-反思感悟：善于总结，养成习惯在应用扇形弧长公式λ＝|α|r和面积公式S＝|α|r2时，圆心角必须用弧度表示，没有化成弧度的，应化成弧度．-1--1-考向三三角函数的概念【例3】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－

3t)(t≠0)，-1-反思感悟：善于总结，养成习惯任意角的三角函数定义的理解根据三角函数的定义可知：(1)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，即角α与β＝2kπ＋α(k∈Z)的同名三角函数值相等；(2)在单位圆中

|x|≤r，|y|≤r，故有|sinα|≤1，|cosα|≤1，这是三角函数中最基本的一组不等关系．迁移发散3．已知角α的终边上一点为P(4t，－3t)(t>0)，求2sinα＋cosα的值．-1-课堂总结感悟提升1．弧度制与角度制不能混用，如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋(k∈Z)

都是不正确的．2．相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等．3．终边在坐标轴上的角，不能称为任何象限的角，称为象限界角．4．象限角与区间角不同，如：第一象限角与区间角不等价，后者是前者的