2022届高考数学（文）一轮复习指数与指数函数

第九讲指数与指数函数共66页1回归课本共66页2共66页3(n∈N*);共66页4共66页53.有理指数幂的运算性质设a>0,b>0,则aras=ar+s(r,s∈Q);(ar)s=ars(r,s∈Q);(ab)r=arbr(r∈Q).4.指数函数的定义形如y=ax(a>0且a≠1,x∈R)的函数叫做指数函数.共66页65.指数函数的图象与性质共66页7y=axa>10<a<1图象定义域(-∞,+∞)值域(0,+∞)共66页8性质过定点(0,1)当x>0时,y>1;当x>0时,0<y<1;当x<0时,0<y<1当x<0时,y>1在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数[ZB)]考点陪练共66页9共66页10共66页11答案:D共66页12共66页13答案:D共66页14共66页15答案:C共66页16共66页17答案:D5.(2010·山东青岛二模)若y=e|x|(x∈[a,b])的值域为[1,e2],则点(a,b)的轨迹是图中的(

)A.线段BC和OC B.线段AB和BCC.线段AB和OA D.线段OA和OC共66页18解析:据题意当a=-2,0≤b≤2时,函数的值域符合条件,其轨迹为图中线段AB,当-2≤a≤0,b=2时,函数值域符合条件,此时其轨迹为图中线段BC,故选B.答案:B共66页19类型一 指数幂的化简与求值共66页20解题准备:解决此类问题的关键是利用幂指式的运算性质,将根式与指数幂互化.一般地,进行指数幂的运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,便于利用幂的运算性质,化繁为简.对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形式表示,如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示.①有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于0,否则不能用性质来运算.②结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.共66页21共66页22共66页23共66页24类型二 指数函数的图象解题准备:指数函数图象的特点

(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小;即无论在y轴的左侧还是右侧,底数随逆时针方向变大.

共66页25共66页26共66页27[分析]本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和值域.共66页28共66页29共66页30共66页31共66页32类型三 指数函数的性质共66页33解题准备:(1)复合函数问题,应细致分析由哪些基本函数复合而成,讨论此类函数的单调性应分层逐一求解;(2)换元法,通过换元将复杂的问题简单化,求解过程应注意中间变量的取值范围及转化的等价性.共66页34共66页35[分析]求定义域与值域时可根据指数函数的概念和性质,结合函数自身有意义去求,对复合函数的单调区间通常利用复合函数的单调性,“同则增,异则减”的原则.共66页36共66页37共66页38

(2)由函数解析式可知定义域为R,∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5,令t=2x,则t>0,f(t)=t2-2t-5,故f(t)=(t-1)2-6.又∵t>0,∴当t=1时,ymin=-6,故函数f(x)的值域是[-6,+∞).由于t=2x是增函数,∴要求f(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间,求f(x)的减区间实际上是求f(t)的减区间.共66页39∵f(t)在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增.故由t=2x≥1得x≥0;由t=2x≤1得x≤0,∴f(x)的增区间是[0,+∞),减区间是(-∞,0].共66页40

的单调区间时易忽视定义域.事实上,函数的单调性区间是其定义域的子集.

涉及复合函数单调性问题,首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的,求出复合函数的定义域,然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间.利用定义证明时可分层比较,对于内外层函数,注意“同增异减”.

共66页41类型四 指数函数的综合问题解题准备:指数函数是一类重要函数,与其他知识综合是高考考查的热点.解决这类问题的关键是熟练掌握指数函数的图象和性质,并注意分类讨论和等价转化的数学思想和方法.共66页42共66页43

[分析]先研究函数定义域,再依照奇偶函数的定义判断奇偶性;对于单调性,可结合指数函数的单调性进行分析;对于恒成立问题,则可借助单调性,求出f(x)的最值,再求解b的范围.共66页44共66页45

(2)当a>1时,a2-1>0,y=ax为增函数,y=a-x为减函数,从而y=ax-a-x为增函数,所以f(x)为增函数.当0<a<1时,a2-1<0,y=ax为减函数,y=a-x为增函数,从而y=ax-a-x为减函数.所以f(x)为增函数.故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.共66页46共66页47[反思感悟]判断函数的奇偶性时必须先研究函数的定义域,而研究函数的单调性时,可以在已知的常见函数的单调性的基础上进行讨论,对于恒成立问题,一般都会与函数的最值有关,通过分离参数,求出函数的最值,从而可得到参数的取值范围.共66页48错源一 忽视换元后新元的取值范围共66页49共66页50

[剖析]上述解法错误的原因在于忽视了换元后新元t的范围.事实上,新元t∈(0,+∞).共66页51共66页52[评析]换元法不管在什么情况下使用,都必须要注意确定新元的范围,因为它是换元后的新函数的定义域.共66页53错源二 忽视对参数的分类讨论造成漏解共66页54【典例2】如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,试求a的值.共66页55

[剖析]本题的错解在于忽视了对参数a的讨论,误认为a>1.当指数函数和对数函数的底数含有参数时,要先对参数进行讨论,确定单调性,进而解决问题.共66页56[正解]设t=ax,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,t∈[a-1,a],ymax=a2+2a-1=14,解得a=3或a=-5(舍);当0<a<1时,t∈[a,a-1],ymax=(a-1)2+2a-1-1=14,解得a=或a=

(舍).故所求a的值为3或

.

共66页57技法一 快速解题(构造函数)【典例1】已知x,y是实数,且3x+5y>3-y+5-x,则下列式子成立的是( )A.x+y>0 B.x+y<0C.x-y<0 D.x-y>0共66页58共66页59[答案]A技法二 四种策略比较指数大小共66页60一､若底数相同,则可用单调性比较【典例2】若0<a<1,则a,aa,aaa大小顺序是________.[解析]因为f(x)=ax(0<a<1)在x∈R上是减函数,又0<a<1,所以a0>aa>a1,所以aa0<aaa<aa1,即a<aaa<aa.[答案]a<aaa<aa共66页61二､若指数相同,则可用图象比较共66页62【典例3】比较0.7a与0.8a的大小.[解]设函数y=0.7x与y=0.8x,则两个函数的图象关系如图.当x=a≥0时,0.8a≥0.7a;当x=a<0时,0.8a<0.7a.[方法与技巧]对于不同底而同指数的指数值的大小的比较,利用图象法求解快捷而准确.共66页63三､若底数与指数均不同,则可用中间值1【典例4】比较30.4与0.43的大小.[解]因为y=3x是增函数,所以30.4>30=1,又y=0.4x是减函数,所以