第五章函数应用复习课导学案高中数学新北师大版必修第一册3

第五章函数应用复习课(1分钟)1.构建知识体系，明确知识与方法的联系，将知识转化为技能，提高综合应用能力.2.掌握本章主要题型及解法，熟悉各类题型的解题步骤和思想方法.3.培养数学运算、数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等素养.(2分钟)教师引导学生先自行构建思维导图，可选几个学生进行展示，充分肯定学生的优点，在主体结构基本合理的前提下，允许有漏洞，鼓励形式多样化，然后公布下面的知识框图：(2分钟)1.有关函数零点的三个注意点(1)函数的零点是一个实数，不是一个点.(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的，反映在图象上就是函数图象与x轴有无交点.(3)方程有几个解，则其对应的函数就有几个零点.若函数y=f(x)有零点，则零点一定在其定义域内.2.使用二分法的注意事项(1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，既保证所选区间符合条件，又使区间长度尽量小.(2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求.(3)二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在区间(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得.3.定义域在函数中的“优先”地位在研究函数时，首先要考虑定义域，在实际应用问题中，除了从式子本身考虑外，还要注意自变量的实际意义.4.解函数应用问题，一般可按以下四步进行.第1步：阅读理解、认真审题.读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质.尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息.在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试找出问题包含的函数关系.审题时要抓住题目中关键的量，要勇于尝试、探索，敢于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化.第2步：引进数学符号，建立数学模型.一般设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即建立数学模型.第3步：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果.第4步：将结果转译成具体问题作出回答.(1分钟)题型一：函数零点的求法题型二：函数的零点与方程的解题型三：用二分法求方程的近似解题型四：零点与最值综合考查题型五：建立确定的函数模型解决实际问题……(自主归纳)(根据学情，选讲部分探究，约31分钟)探究1：函数零点的求法【例1】求函数y=x3-2x2-x+2的零点.【方法指导】对于一些比较简单的方程，我们可以通过因式分解、公式等方法求函数的零点，对于不能用公式解决的方程，我们可以把方程f(x)=0与函数y=f(x)联系起来，并利用函数的图象和性质找出零点，从而求出方程的解.【解析】y=x3-2x2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)，令y=0，得已知函数的零点为-1，1，2.【方法小结】本题主要考查对函数零点概念的理解以及函数零点与方程的关系.探究2：函数的零点与方程的解【例2】已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+lnx，h(x)=x-x-1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是.【解析】令x+2x=0，得2x=-x；令x+lnx=0，得lnx=-x；在同一平面直角坐标系内作出y=2x，y=lnx，y=-x的图象，由图可知x1<0<x2<1.令h(x)=x-x-1=0，则(x)2-x-1=0，所以x=1+52，即x所以x1<x2<x3.【答案】x1<x2<x3【方法小结】(1)在解决函数与方程问题时，要注意三者之间的关系，在解题中要充分利用这个关系实现问题的转化，同时还要注意使用函数的性质，如函数的单调性、奇偶性等.(2)确定函数零点的个数或所在区间的两个基本方法：①利用零点的存在性定理，②数形结合转化为函数图象的交点问题.探究3：用二分法求方程的近似解【例3】求方程x2-2x-1=0的一个大于零的近似解.(精确度为0.1)【解析】设f(x)=x2-2x-1，先作出函数图象的草图，如图所示.∵f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴在区间(2，3)上，方程x2-2x-1=0有一个解，记为x1，取2和3的中间数2.5，∵f(2.5)=0.25>0，∴x1∈(2，2.5).再取2与2.5的中间数2.25，∵f(2.25)=-0.4375<0，∴x1∈(2.25，2.5)，如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.4375)>0，则x1∈(2.375，2.4375).∵|2.4375-2.375|=0.0625<0.1.∴此方程大于零的近似解为x1≈2.4375.【方法小结】用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件既要包括零点，又要使其长度尽量小；二是进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.探究4：零点与最值综合考查【例4】设函数g(x)=e2x+|ex-a|，x∈[0，ln3]，其中a≤22，(1)当a=1时，函数g(x)是否存在零点?若存在，求出所有零点；若不存在，说明理由.(2)求函数g(x)的最小值.【方法指导】先把函数解析式中的绝对值去掉，对含参数型的函数要分类讨论，零点是g(x)=0时对应的x的值，而最值需要对函数的单调性进行讨论.【解析】(1)当a=1时，设t=ex(t∈[1，3])，则g(x)=h(t)=t2+t-1，令h(t)=t2+t-1=0，解得t=-1+52或t=-1-52∴函数g(x)不存在零点.(2)设t=ex，则g(x)=h(t)=t2+|t-a|(t∈[1，3]).当a≤1时，h(t)=t2+t-a在区间[1，3]上是增函数，∴h(x)的最小值为h(1)=2-a.当1<a≤22时，h(t)=t∵函数h(t)在区间(a，3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，又函数h(t)在区间[1，3]上连续，∴h(t)的最小值为h(1)=a.综上可知，当a≤1时，g(x)的最小值为2-a；当1<a≤22时，g(x)的最小值为a.【方法小结】其实g(x)是个复合函数，由指数函数与二次函数复合而成，对于复合函数的单调性判断要熟练，同时换元后要注意新元的取值范围.探究5：建立确定的函数模型解决实际问题【例5】某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据上表的数据，从下列函数模型中选取一个函数模型描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.①Q=at+b；②Q=at2+bt+c；③Q=a·bt；④Q=a·logbt.(2)利用你选取的函数模型，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.【方法指导】先描点，再筛选函数模型，筛选时注意所选的函数模型特征是否接近描点的位置.【解析】(1)由提供的数据可知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数①③④中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合.所以选取②进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c中，得150=2500a+50故描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=1200t2-32t+(2)Q=1200(t-150)2+100，当t=150时，Qmin故西红柿种植成本最低时的上市天数为150天，最低种植成本为100元/102kg.【方法小结】实际问题在转化为函数模型时，首先要选择合理的函数模型，其次要注意变量的实际意义.(1分钟)素养图谱(5分钟)1.(2020年天津卷)已知函数f(x)=x3，x≥0，-x，x<0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)A.-∞，-12∪(22，+∞)B.-∞，-C.(-∞，0)∪(0，22)D.(-∞，0)∪(22，+∞)【解析】当k=0时，g(x)=x3-2x，x≥0，x，x<0，令x3-2x=0，得x=0，x=2，x=-2(舍去当k>0时，g(x)=x即g(x)=x当x<0时，-x(kx-1)<0，g(x)无零点.当0≤x≤2k时，设h(x)=x2+kx-2，因为h(0)=-2<0，h2k=4k2>0，由函数零点存在性定理可知，g(x)在0，2k上有1个零点，又g(0)=0，所以g(x)在0，2k上有2个零点.若使g(x)有4个零点，则x2-kx+2=0在2k，+∞上有2个不相等的实根.设s(x)=x2-当k<0时，g(x)=x即g(x)=x当x<2k时，令kx-3=0，得x=3k<2k，g(x)在-∞，2k上有1个零点；当2k≤x<0时，令kx-1=0，得x=1k，2k<1k<0，所以g(x)在2k，0上有1个零点；当x≥0时，令m(x)=x2+kx-2.因为函数m(x)图象的对称轴为x=-k2>0，Δ=k2+8>0，m(0)=-2<0，所以g(x)在(0，+∞)上有1个零点，又g(0)=0，所以g(x)在[0，+∞综上，若g(x)恰有4个零点，则k<0或k>22，故选D.【答案】D2.(2020年新高考Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为().(ln2≈0.69)天天天天【解析】因为R0=3.28，T=6，R0=1+rT，所以r=3.28-16=0.38，所以I(t)=e设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，【答案】B3.(2018年浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)=x-4，x≥λ，x2-4x+3，x<λ.当λ=2时，不等式f(【解析】当λ=2时，由题意得x≥2，x-4<0或x<2，x2-当λ>4时，f(x)=x-4>0，此时令f(x)=x2-4x+3=0，解得x=1或x=3，即函数f(x)在(-∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x-4=0，得x=4，由f(x)=x2-4x+3在(-∞，λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.故λ的取值范围为(1，3]∪(4，+∞).【答案】(1，4)(1，3]∪(4，+∞)4.(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=1