第11讲一元二次函数的最值精讲（原卷版）2022年初三升高中数学完美升级衔接精讲精练

第11讲一元二次函数的最值(精讲）目录一、知识衔接二、典型例题题型一：一元二次函数在已知范围（不含参数）的最值问题题型二：一元二次函数动轴定范围上的最值问题题型三：一元二次函数定轴动范围上的最值问题题型四：一元二次函数最值的应用一、知识衔接一、初中知识再现1、对于一元二次函数，,开口向上；，开口向下；2、二次函数解析式的三种表示形式：=1\*GB3①一般式：；=2\*GB3②顶点式：或；=3\*GB3③交点式：，其中是方程的两实根．二、高中相关知识1、对于一元二次函数，对称轴=1\*GB3①当时，随的增大而减小（单调递减）；当时，随的增大而增大（单调递增）．=2\*GB3②当时，随的增大而增大（单调递增）；当时，随的增大而减小（单调递减）．二、典型例题题型一：一元二次函数在已知范围（不含参数）的最值问题角度1：求最值1．（2022·河南南阳·一模）已知二次函数，当时，的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江温州·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·浙江温州·二模）已知二次函数，当自变量x取值在范围内时，下列说法正确的是（

）A．有最大值14，最小值－2 B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2 D．有最大值14，最小值24．（2022·河南商丘·九年级期末）二次函数，当时，的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2022·云南昭通·九年级期末）二次函数的最小值为______．6．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级开学考试）二次函数的最小值为______．7．（2022·安徽亳州·九年级期末）二次函数中，当时，的最小值是______．8．（2022·湖北湖北·模拟预测）若，且，则的取值范围为______．角度2：已知最值求参数1．（2022·四川泸州·一模）已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为9，则的值为(

)A．2或 B． C． D．12．（2022·河北廊坊·九年级期末）已知二次函数，当时，的最大值是5，则的值是（

）A．1 B．-1 C．2.25 D．-2.253．（2022·山东日照·九年级期末）二次函数的最小值是-1，则的值是____________．4．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数，在时，有最大值6，则______．5．（2022·山西·九年级期末）二次函数的最大值为，则的值为________．6．（2022·福建福州·九年级期末）二次函数的最小值为2，则的值为___．题型二：一元二次函数动轴定范围上的最值问题对于一元二次函数，解析式含参数，而范围是确定的不含参数，求这类问题的最值叫动轴定范围，如求函数，在上的最大值和最小值.角度1：已知最值求参数1．（2022·山东威海·模拟预测）已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为5，则的值为（

）A．5或 B．3或 C．5或3 D．3或12．（2022·陕西·模拟预测）已知二次函数，当时，的最大值与最小值的差为6，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏·无锡市江南中学二模）当时，二次函数的最小值为－1，则的值为（

）A．-2 B．±2 C．2或 D．2或4．（2022·云南昆明·一模）已知二次函数，当时有最小值5，则的值为______．5．（2022·江西赣州·九年级期末）若二次函数在时的最大值为3，那么的值是_________．6．（2022·安徽滁州·九年级期中）已知抛物线(为常数，且)，当时，该抛物线对应的函数值有最大值-7，则的值为______．7．（2022·安徽·合肥市第四十五中学二模）已知二次函数（，是常数）．(1)当，时，求二次函数的最大值；(2)当时，函数有最大值为7，求的值；(3)当且自变量时，函数有最大值为10，求此时二次函数的表达式．8．（2022·云南昭通·二模）已知抛物线（为常数）．(1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式．(2)若抛物线的顶点坐标为，当的值变化时，求q关于p的函数关系式．(3)若，当时，函数的最大值与最小值之差为4，求的值．9．（2022·湖南·永州市零陵区实验中学二模）已知二次函数；(1)求证：无论取任何值，二次函数的图像与轴总有两个不同的交点；(2)若此函数图像的顶点为点，与轴的交点于点，直线与轴相交于点，对称轴的直线与轴相交于点，求证：；(3)当时，二次函数有最大值，求的值．角度2：求最值（与高中接轨）1．设函数，．当时，求函数的最小值.2．已知a，若函数在区间[1，2]上的最小值为求的函数表达式；3．已知函数，若，求函数的最小值．4．设函数，求函数在区间上的最小值．题型三：一元二次函数定轴动范围上的最值问题对于一元二次函数，解析式含参数，而范围是确定的不含参数，求这类问题的最值叫动轴定范围，如求函数，在上的最大值和最小值.角度1：已知最值求参数1．（2022·黑龙江大庆·三模）若时，二次函数的最大值为31，则的值为_____．2．（2022·四川南充·九年级期末）若二次函数在时的最小值为6，那么的值是______．3．（2022·全国·九年级单元测试）已知函数，当时，函数的最大值是2，则实数的取值范围是_____．4．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线：的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当时，二次函数的最小值为，求的值．5．（2022·河南濮阳·二模）如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中．(1)①求点的坐标及抛物线的表达式；②请你根据图象分析回答，一元二次方程有一正根和一负根时，的取值范围是．(2)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出的取值范围．6．（2022·河北廊坊·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点，抛物线的对称轴是直线，连接、．(1)用含的代数式求；(2)若，求抛物线的函数表达式：(3)在（2）的条件下，当时，的最小值是-2，求的值．7．（2022·贵州遵义·一模）如图，抛物线与轴交于点，，交轴于点C．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)当时，函数有最小值，求的值．8．（2022·浙江温州·一模）已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点．(1)求抛物线与轴的另一个交点坐标．(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．9．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数．(1)若该函数图象与轴的两个交点横坐标分别为﹣1和3，求函数的表达式；(2)若该函数与轴有两个交点，求的取值范围；(3)若在范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求的值．10．（2022·云南昆明·一模）已知点是二次函数图象上的点．(1)求二次函数图象的顶点坐标：(2)当时，求函数的最大值与最小值的差：(3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．角度2：求最值（与高中接轨）1．已知函数的图象过点，且满足．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最小值；2．二次函数满足且．(1)求的解析式；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．(3)设函数在区间上的最小值为，求的表达式．.3．已知函数.(1)若，求函数的最小值和最大值；(2)当时，求函数的最小值．4．已知是二次函数，且满足，，.(1)求函数的解析式；(2)当时，表示出函数的最小值.题型五：一元二次函数最值的应用1．（2022·辽宁鞍山·二模）某科技公司生产一款精密零件，每个零件的成本为80元，当每个零件售价为200元时，每月可以售出1000个该款零件，若每个零件售价每降低5元，每月可以多售出100个零件，设每个零件售价降低元，每月的销售利润为元，(1)求与之间的函数关系式；(2)为了更好地回馈社会，公司决定每销售1个零件就捐款元作为抗疫基金，当时，捐款后每月最大的销售利润为135000元，求的值．2．（2022·贵州贵阳·二模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如表：售价（元/件）556575销售量（件）150013001100(1)求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利30000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为（元），求与之间的函数关系式，为多少时，有最大值，最大利润是多少？3．（2022·安徽·合肥市庐阳中学三模）2022年2月，在北京冬奥会跳台滑雪中，中国选手谷爱凌、苏翊鸣夺金，激起了人们对跳台滑雪运动的极大热情．某跳台滑雪训练场的横截面如图所示，以某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方4米处的点滑出，滑出后沿抛物线运动．当运动员从点滑出运动到离处的水平距离为4米时，距离水平线的高度恰好为8米．(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；(2)运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为多少米时，运动员达到最大高度，此时，距离水平线的高度是多少米？(3)运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值是多少米？4．（2022·河南开封·二模）“慈母手中线，游子身上衣”，为感恩母亲，许多子女选择用康乃馨这种鲜花来表达对母亲的祝福．某花店采购了一批康乃馨，进价是每支8元．当每支售价为12元时，可销售30支；当每支售价为10元时，可销售40支．在销售过程中，发现这种康乃馨的销售量（支）是每支售价（元）的一次函数．(1)求与之间的函数关系式；(2)设此花店这种康乃馨的销售利润是元，根据题意：当销售单价为多少元时，商家获得利润最大．5．（2022·山东菏泽·二模）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．(1)当的长为