第03讲图形变换课-旋转变换-2022年八升九数学核心考点精讲精练（苏科版）（解析版）

图形变换课--旋转变换模块一.旋转作图方法技巧：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，同一旋转图中旋转角是相等的，根据这一性质可以画旋转图形；各对应点到旋转中心的距离相等，通过作两对对应点的中垂线，可以确定旋转中心。01.已知旋转中心与旋转角确定对应点01.已知旋转中心与旋转角确定对应点例题精讲例题精讲【例1】如图，△ABC绕B点旋转后，点O是点A的对应点，画出△ABC旋转后的三角形.【解析】要画出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C'.【例2】如图，在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点。已知A（－2，2），C（－1，－2），将△ABC绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（）A.（2，－2） B.（－5，－3） C.（2，2） D.（3，－1）答案：D.【解析】将点A右移2个单位，再下移2个单位到原点O，如图建立直角坐标系，取点D（－1，2），则△ADC为直角三角形，且AD＝1，DC＝4，将△ADC绕点C顺时针旋转90°到RtB△A'D'C，则A'D'＝1，CD'＝4.即将点C右移4个单位，然后上移1个单位，得点A'（3，－1）.02.已知旋转中心及旋转角度作图02.已知旋转中心及旋转角度作图例题精讲例题精讲【例3】如图，四边形ABCD绕点O旋转后，顶点A的对应点为点E，试确定点B，点C，点D的对应点的位置以及旋转后的四边形。【解析】如图，点B，C，D的对应点分别是点F，G，H，四边形EFGH是四边形ABCD绕点O旋转后得到的四边形。03.已知旋转前后图形作旋转中心03.已知旋转前后图形作旋转中心例题精讲例题精讲【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，△A'B'C'由△ABC绕点P旋转得到，则点P坐标为.答案：（1，－1）.【解析】连AM'，CC'，分别作它们的中垂线，两中垂线的交点为P（1，－1）.举一反三举一反三1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，－4），B（0，－4），C（1，－1）.（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，则点C2的坐标为；（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为.解：（1）如图C1（1，1）；（2）如图C2（－3，3）；（3）如图，作BB2的中垂线，作CC2的中垂线，两中垂线的交点为（－3，－1），即旋转中心为（－3，－1）.模块二.直角坐标系中画旋转图形方法技巧紧扣三要素画图，数形结合求坐标.01.直角坐标系中画旋转图形01.直角坐标系中画旋转图形例题精讲例题精讲【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，OA＝2，∠AOB＝30°，∠ABO＝45°（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转120°后的图形；（2）求旋转变换后点B的对应点B'的坐标；【解析】（1）如图；（2）过点A作AC⊥OB于点C，可求AC＝OA＝1，OC＝，OB＝O'B＝＋1，因∠B'OB＝120°，故点B'与点B关于y轴对称，过点B作BD⊥x轴于点D，BD＝OB＝＋，OD＝BD＝＋，故点B的坐标为（＋，＋），点B'坐标为（－－，＋）.02.直角坐标系中求点的坐标02.直角坐标系中求点的坐标例题精讲例题精讲【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－4，0），B（0，2），点P（a，a）.若∠APB＝90°，请直接写出a的值.答案：－1或0【解析】∵AP2＝（a＋4）2＋a2，BP2＝（a－2）2＋a2，AB2＝16＋4＝20，∠APB＝90°，∴AP2＋BP2＝AB2，即2a2＋8a＋16＋2a2－4a＋4＝20，a1＝－1，a2＝0.举一反三举一反三1.如图，已知直线y＝2x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，将该直线绕点B顺时针旋转45°，求旋转后所得直线的解析式.解：A（－1，0），B（0，2），过点A作AC⊥AB交旋转后的直线于点C，作CD⊥x轴于点D，∵∠ABC＝45°，∴AB＝AC，再证△AOB≌△CDA，∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴C（－3，1），由B（0，2），C（－3，1），可求旋转后直线的解析式为y＝x＋2.2.已知点A的坐标为（2，4），点M为x轴上一动点，将点A绕点M（m，0）顺时针旋转90°得到点C.若点C恰好落在坐标轴上，则m＝.答案：2或－4解：当m＞2时，点C在第一象限，不合；当m＝2时，若点C在x轴上，AM⊥MC，故△AMC为等腰直角三角形，符合，∴m＝2；当m＜2时，点C只可能在y轴负半轴上，此时△AM2C2为等腰直角三角形，△AM1M2≌△M2OC2，M2O＝AM1＝4，m＝－4，故m＝2或－4.模块三.用无刻度的直尺画旋转图形方法技巧格点多边形绕格点旋转90°的整数倍后，各格点仍落在格点上，所以常构造“K型”全等寻找旋转后多边形的顶点。01.确定旋转中心或旋转角度，再画图01.确定旋转中心或旋转角度，再画图例题精讲例题精讲【例1】如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（－1，－1），B（－3，3），C（－4，1）都是格点，点B关于y轴的对称点为点B1；（1）描出点B1，并写出点B1的坐标。（2）画出△ABC绕某格点按顺时针方向旋转n°（0＜n＜180）后得到△A1B1C1，且A，C的对应点A1，C1都在图中的格点上，写旋转中心的坐标及n的值；（3）写出线段BC与B1C1的关系。【解析】（1）画图略，B1（3，3）；（2）旋转中心的坐标为（0，0），n＝90；（3）BC⊥B1C1且BC＝B1C1.02.按题中所给步骤画图02.按题中所给步骤画图例题精讲例题精讲【例2】如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（2，1），B（5，4），C（1，8）都是格点。（1）直接写出△ABC的形状；（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC统点A顺时针旋转角度α得到△AB1C1，α＝∠BAC，其中B，C的对应点分别为B1，C1，操作如下：第一步：找一个格点D，连接AD，使∠DAB＝∠CAB；第二步：找两个格点C1，E，连接C1E交AD于B1；第三步：连接AC1，则△AB1C1即为所作出的图形；请你按步骤完成作图，并直接写出D，C1，E三点的坐标。【解析】（1）△ABC为直角三角形；（2）D（9，0），C1（7，6），E（6，－1）.模块四.利用旋转图形的性质求角度方法技巧1．利用等腰求角度；2．通过旋转“化散为聚”求角度．01.利用旋转的位置关系求角度01.利用旋转的位置关系求角度例题精讲例题精讲【例1】如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△，点恰好落在边AB上，连接，则∠＝．答案：【解析】＝AB，∠＝＝70°，∠＝90°－∠＝20°．【例2】一副三角尺按如图的位置摆放（顶点B，C，D在一条直线上，点C，F重合），将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后得到△（0＜n＜180），如果//AB，那么n的值为．答案：【解析】当//AB时，∠＝∠BAC＝45°，n＝45．02.利用旋转构造02.利用旋转构造全等求角度例题精讲例题精讲【例1】如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，，求∠BPQ的度数．答案：【解析】将△APD绕点A顺时针旋转90°，得△；结合边的隐含关系()＋()＝()，利用勾股定理逆定理可得到△是直角三角形，∠APB＝135°，故∠BPQ＝145°．【例2】如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD，∠BAE＋∠BCD＝180°，M是ED的中点，连接AM，CM，且AM＝CM，求∠BCD的度数．答案：【解析】将△CDM绕点M旋转180°得△FEM，则△CDM≌△FEM，∴EF＝CD＝BC，∠FEM＝∠D，∴∠ABC＝∠AEF，证△AEF≌△ABC，∴∠BAC＝∠EAF，AC＝AF，又MF＝MC＝AM，∴△ACF为等腰直角三角形，∴∠CAF＝90°，又∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BCD＝180°－∠BAE＝90°．【点评】这一类题型具有的特点是：等线段、共端点以及特殊角．通过旋转“使相等的边重合，得出特殊图形”．【例3】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．答案：【解析】将△APC绕点A顺时针旋转60°，得△ADB，连接DP，得AD＝AP，DB＝PC＝，∠DAP＝60°，从而可证△ADP为等边三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°，在△DPB中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°，从而可得∠APB＝120°．举一反三举一反三1．如图，点P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△．（1）求点P与点之间的距离；（2）求∠APB的度数．答案：解：（1）连接，由题意可知＝AP，∠PAC＝∠，PC＝，又∵∠PAC＋∠BAP＝60°，∴∠＝60°．∴△为等边三角形，∴＝AP＝＝6．（2）∵＋BP＝，∴△为直角三角形，且∠＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°．2．如图，点P为等边△ABC内一点，∠APB＝113°，∠APC＝123°，求证：以AP，BP，CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数．答案：解：将△APC绕点C逆时针旋转60°，得△BCP1，∴AP＝BP1，∠BP1C＝∠APC＝123°，由CP＝CP1，∠PCP1＝60°得△PCP1为等边三角形，∴PP1＝CP，∠CPP1＝∠CP1P＝60°，这时，△BPP1就是以BP，AP，CP为三边构成的三角形，∠BP1P＝∠BP1C－∠CP1P＝∠APC－60°＝63°，又∠BPC＝360°－113°－123°＝124°，∴∠BPP1＝∠BPC－∠CPP1＝64°，∠PBP1＝180°－63°－64°＝53°．模块五.利用旋转图形的性质求线段长或面积01.利用旋转图形性质求线段长01.利用旋转图形性质求线段长例题精讲例题精讲【例1】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，把△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE，AE，DC交于点F，当F为CD的中点时，求AF的长．答案：【解析】过点D作DM⊥AE于点M，过点C作CN⊥AE于点N，DM＝AE＝4，由△DMF≌△CNF得CN＝DM＝4，在Rt△ANC中，AN＝＝，AM＝DM＝4，MN＝－4，MF＝MN＝－2，故AF＝AM＋MF＝4＋－2＝＋2．02.利用旋转图形性质求面积02.利用旋转图形性质求面积例题精讲例题精讲【例2】如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，求四边形AB1OD的面积．答案：【解析】AC＝，AB1＝1，故B1C＝－1，在Rt△OB1C中，∠OCB1＝45°，故OB1＝CB1＝－1，＝OB1·B1C＝，S△ADC＝DA·DC＝，故S＝S△ADC－＝－＝＝－1．【例3】在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接DP，将DP绕点D逆时针旋转90°后得到线段DE，连接PE，点C关于直线PE的对称点是，连接，，，若四边形是平行四边形，PC＝2，则平行四边形的面积是．答案：【解析】过点P作PQ⊥CD于点Q，延长交AD于点G，设交DC于点H，则△PQD≌△DHE，∵PC＝2，∴PQ＝GD＝DH＝＝，∵点与点C关于PE对称，∴＝PC＝QH＝2，∴CD＝AD＝2＋2，∴＝AD·DH＝4＋2．举一反三举一反三1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且点A，，在同一条直线上，则的长为（）A．6 B．4 C．3 D．3答案：解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，BC＝2，故AB＝4，AC＝＝2，＝AC，∠＝∠＝30°，故∠＝120°，过点C作CH⊥于点H，则HC＝AC＝，＝＝3，＝2＝6，故选A．2．如图．在△ABC中，∠BAC＝150°，D，E为线段BC上的两点，∠DAE＝60°，且AD＝AE，若DE＝3，CE＝5，则BD的长为．答案：解：将△ABC沿BA向上翻折至△BAF，连接AF，EF，FC，可得∠BAF＝∠BAC＝150°，∠FAC＝60°，△AFC为等边三角形，可证△ADC≌△AEF，∠AFE＝∠ACD，可得∠FEC＝∠FAC＝60°，过点F作FH⊥BC于点H，EH＝EF＝8×＝4，HC＝1，FH＝4，设BD＝x，则BF＝BC＝x＋8，在Rt△BFH中，BF2－BH2＝FH2即(x＋8)2－(x＋7)2＝48，x＝，故BD＝．课后巩固课后巩固1.如图，点A（0，2），B（1，2），C（2，4）.将△ABC绕点D旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1.（1）画出点D的位置并写出点D的坐标；（2）六个点A，B，C，A1，B1，C1中，取三点能构成直角三角形的个数有___个。解：（1）D（2，1）；（2）4.2．横，纵坐标均为整数的点叫做格点，如图，点A（1，3），B（2，0），C（0，1）都是格点．将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1（点B，C的对应点分别为B1，C1）．（1）作出△AB1C1；（2）找一个格点D，使直线BD平分四边形ACBB1的周长，画出该直线并直接写出点D的坐标．答案：（1）B1（4，4），C1（3，2）；（2）D（3，7）．3．如图，在下列14×14的网格中，横，纵坐标均为整数的点叫做格点，例如：A（1，3），B（7，－5），C（12，5）都是格点．（1）直接写出△ABC的形状是；（2）爱思考的小明探究出一种在网格中通过作图求△ABC的面积的方法：①作出AB的中点E；②将△ABC绕点E旋转锐角，使//y轴，并且点也是格点，请画出△，直接写出下列点的坐标：（，），（，），（，）；③求△ABC的面积．答案：（1）等腰三角形；（2）①作图略；②（4，4），（4，－6），（14，－1）；③50．4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C都在格点上．（1）△ABC的面积是；（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点C顺时针旋转a°得到△DEC（其中0＜a＜180），点B的对应点E落在AC所在的网格线上，操作步骤如下：第一步：取格点E，使CE＝CB＝5；第二步：取格点F，使∠FCE＝∠ACB，且CF＝5，连接EF；第三步：在射线AC上取一点N，使CN＝6，另取一点格点M，MN//EF；第四步：延长CF交MN于点D，则△DEC为所作．请你按步骤完成作图，并直接写出AD的长．答案：（1）12；（2）图略，AD＝．5．如图，在每个小