数字信号处理实验第一次报告

数字信号处理试验汇报第一次试验：快速傅立叶变换（FFT）及其应用姓名：田昱学号：04003625试验日期：11月7日试验目标：在理论学习基础上，经过本试验，加深对FFT了解，熟悉MATLAB中关于函数。应用FFT对经典信号进行频谱分析。了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现问题，方便在实际中正确应用FFT。应用FFT实现序列线性卷积和相关。试验原理：混叠：采样序列频谱是被采样信号频谱周期延拓，当采样频率不满足奈奎斯特采样定理时候，就会发生混叠，使得刺痒后序列信号频谱不能真实反应原采样信号频谱。泄露：依照理论分析，一个时间信号其频带宽度为无限，一个时间无限信号其频带宽度则为有限。所以对一个时间有限信号，应用DFT进行分析，频谱混叠难以防止。对一个时间无限信号即使频带有限，但在实际运算中，时间总是取有限值，在将信号截断过程中，出现了分散扩展谱线现象，称之为频谱泄露或功率泄露。栅栏效应：DFT是对单位圆上Z变换均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就在一定意义上看，用DFT来观察频谱就好象经过一个栅栏来观看一个景象一样，只能在离散点上看到真实频谱，这么就有可能发生一些频谱峰点和谷点被“尖桩栅栏”所挡住，不能被我们观察到。圆周卷积：把序列X（N）分布在N等份圆周上，而序列Y（N）经反摺后也分布在另一个具备N等份同心圆圆周上。两圆上对应数两量两相乘求和，就得到全部卷积序列。这个卷积过程称做圆周卷积。相互关函数反应了两个序列X（N）和Y（N） 相同程度，用FFT能够很快计算相互关函数。试验内容：试验中用到函数序列：Gaussian序列Xa(n)=exp(-(n-p).^2)/q),0=<n=<15=0,其余（b）衰减正弦序列X(b)=exp(-an)*sin(2pi*fn),0=<n=<15=0,其余(c)三角波序列Xb(n)=n,0=<n=<3=8-n,4=<n=<7=0,其余(d)反三角波序列Xc(n)=4-n,0=<n=<3=n-4,4=<n=<7=0,其余上机试验内容：1．观察高斯序列时域和幅频特征，固定信号xa(n)中参数p=8，改变q值，使q分别等于2，4，8，观察他们时域和幅频特征，了解当q取不一样值时，对信号序列时域和幅频特征影响；改变p，使p分别等于8，13，14，观察参数p改变对信号序列时域和幅频特征影响，注意p等于多少时，会发生显著泄漏现象，混叠是否也随之出现？统计试验中观察到现象，绘出对应时域序列和幅频特征曲线。程序：n=0:15;xa=exp(-(n-p).^2/q);subplot(2,1,1);plot(n,xa);ya=fft(x);ya=abs(ya);subplot(2,1,2);stem(n,ya);p=8,q=2（注：上面是时域，下面是频域）P=8,q=4P=8,q=8P=13,q=8P=14,q=8结论：X（n）中参数p为高斯序列峰值位置，q则表示高斯序列峰尖锐度，（即峰值边缘陡峭度）q值越大，时域图中图象越平缓，序列改变越慢；其幅频特征图中高频分量越少，频谱越窄，越不轻易产生混叠。p值越大，序列右移，在要求窗口内有效值被截断越多。因为窗口截断会造成窗口泄露，所以我们能够在幅频特征图中看到，伴随p值变大，高频分量会增加。易出现泄露，当p=13时，尤其是p=14时，产生了显著泄露与混叠。观察衰减正弦序列xb(n)时域和幅频特征，a=0.1,f=0.0625,检验谱峰出现位置是否正确，注意频谱形状，绘出幅频特征曲线，改变f，使f分别等于0.4375和0.5625，观察这两种情况下，频谱形状和谱峰出现位置，有没有混叠和泄漏现象？说明产生现象原因。程序：n=0:15;a=0.1;xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);subplot(2,1,1);plot(n,xb);yb=fft(xb);yb=abs(yb);subplot(2,1,2);stem(n,yb);f=0.0625;f=0.4375;f=0.5625结论：该试验中f=F/fsF—固有频率fs—采样频率，统一做归一化处理fs=1图中幅频特征图：当f=0。0625时，没有产生显著混叠和泄露，；当f=0。4375和f=0。5625时，产生了混叠，是因为不满足奈奎斯特采样定理缘故图中后两个序列时域图：因为0。4375+0。5625=1，满足以下等式（此情况只适适用于正弦序列），Xb(n)|f=0.4375=-Xb(n)|0.5625,即sin(2pi*fn）=-sin[2pi(1-f)n],其幅频特征是完全相同。观察三角波和反三角波序列时域和幅频特征，用N=8点FFT分析信号序列xc(n)和xd(n)幅频特征，观察二者序列形状和频谱曲线有什么异同？绘出两序列及其幅频特征曲线。在xc(n)和xd(n)末尾补零，用N=32点FFT分析这两个信号序列幅频特征，观察频谱特征发生了什么改变？两种情况下FFT频谱还有相同之处吗？这些改变说明了什么？程序：n1=0:3;xc1=n1;xd1=4-n1;n2=4:7;xc2=8-n2;xd2=n2-4;xc=[xc1,xc2];xd=[xd1,xd2];subplot(2,2,1);n1=0:31;n2=0:7;plot(n2,xc);yc=fft(xc,n);yc=abs(yc);subplot(2,2,2);stem(n1,yc);subplot(2,2,3);plot(n2,xd);subplot(2,2,4);yd=fft(xd，n);yd=abs(yd);stem(n1,yd);n=8;(左边是时域，右边是频域，下同)n=32;结论：反三角波边缘比较陡峭，所以它幅频特征曲线中高频分量比较多。由图知：当N=8时，正反三角波幅频特征相同，因为二者时域只差一个相位；当N=16时，正，反三角波幅频特征不一样。这是因为栅栏效应，当N=8时，一些谱线被挡住。经过在原序列末端补零，N=16，即增加采样点数和改变采样位置，使这些被挡住谱线显露出来，弱化了栅栏效应。一个连续信号含两个频率分量，经采样得x(n)=sin[2π*0.125n]+cos[2π*(0.125+∆f)n]n=0,1,…N-1已知N=16，∆f分别为1/16和1/64，观察其频谱；当N=128时，∆f不变，其结果有何不一样？程序：n=0:N-1;x=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+f)*n);subplot(2,1,1);plot(n,x);subplot(2,1,2);y=fft(x);y=abs(y);stem(n,y);N=16，f=1/16N=16,f=1/64N=128,f=1/16N=128,f=1/64结论：当N=16，f=1/16，N=128,f=1/16以及N=128,f=1/64时，均反应了真实频谱；只有当N=16,f=1/64时，频谱发生了严重栅栏效应。这是因为分辨率等于1/N，当f>=1/N时，能分辨，不会发生栅栏效应；当f=<1/N时，不能分辨，会发生栅栏效应。用FFT分别计算xa(n)(p=8,q=2)和xb(n)(a=0.1,f=0.0625)16点循环卷积和线形卷积。程序：n=0:15;p=8;q=2;xa=exp(-(n-p).^2/q);a=0.1;f=0.0625;xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);ya=fft(xa);ya=abs(ya);yb=fft(xb);yb=abs(yb);y1=ya.*yb;subplot(2,1,1);stem(n,y1);yaa=fft(xa，32);yaa=abs(yaa);ybb=fft(xb，32);ybb=abs(ybb);y2=yaa.*ybb;subplot(2,1,2);n=0:31;stem(n,y2);（上图是循环卷积，下列图是线性卷积）结论：比较图中线性卷积与圆周卷积序列：Xa(n)（序列长度为N1）与Xb(n)(序列长度为N2)N点圆周卷积序列（当N<N1+N2-1）,即为将Xa(n)与Xb(n)线性卷积序列中序号从N到N1+N2-1序列叠加到原序列序号从0到N-1地方。产生一512点随即序列xe(n)并用xc(n)和xe(n)做线形卷积，观察卷积前后xe(n)频谱改变。要求将xe(n)分成8段，分别采取重合相加法和重合保留法。用重合保留法和重合相加法实现线形卷积过程为：xc(n)序列长度为8，xe(n)序列长度为512，分xe(n)序列为8段，每段长度为64，则每段序列与xc(n)序列卷积后长度为72，总长度为520。（凑成2整数倍）程序：（重合相加法）e=rand(1,512);n1=0:3;xc1=n1;n2=4:7;xc2=8-n2;xc=[xc1,xc2];yc=fft(xc,72);//将短序列补零后做72点FFTxe1=xe(1:64);ye1=fft(xe1,72);//对长序列第一段做72点FFTy1=ye1.*yc;//将上述两个FFT相乘y1=[y1,zeros(1,448)];//补上448个零，方便相加，以下7段重复上述过程xe2=xe(65:128);ye2=fft(xe2,72);y2=ye2.*yc;y2=[zeros(1,64),y2,zeros(1,384)];xe3=xe(129:192);ye3=fft(xe3,72);y3=ye3.*yc;y3=[zeros(1,128),y3,zeros(1,320)];xe4=xe(193:256);ye4=fft(xe4,72);y4=ye4.*yc;y4=[zeros(1,192),y4,zeros(1,256)];xe5=xe(257:320);ye5=fft(xe5,72);y5=ye5.*yc;y5=[zeros(1,256),y5,zeros(1,192)];xe6=xe(321:384);ye6=fft(xe6,72);y6=ye6.*yc;y6=[zeros(1,320),y6,zeros(1,128)];xe7=xe(385:448);ye7=fft(xe7,72);y7=ye7.*yc;y7=[zeros(1,384),y7,zeros(1,64)];xe8=xe(449:512);ye8=fft(xe8,72);y8=ye8.*yc;y8=[zeros(1,448),y8];y=y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8;//将这8个序列相加，便可得到最终结果。y=abs(y);n=1:520;plot(n,y)（重合保留法）xe=rand(1,512);xe=[zeros(1,8),xe,zeros(1,56)]//长序列前添8个零，后添56个零，组成576点序列n1=0:3;xc1=n1;n2=4:7;xc2=8-n2;xc=[xc1,xc2];yc=fft(xc,72);对短序列做72点FFTxe1=xe(1:72);//将所得序列分成8段，每段序列长度为72ye1=fft(xe1,72);对长序列第一段做72点FFTy1=ye1.*yc;将上述两段序列相乘y1=y1(9:72);取第一段所得结果后64点，以下七段同上述布骤。xe2=xe(73:144);ye2=fft(xe2,72);y2=ye2.*yc;y2=y2(9:72);xe3=xe(145:216);ye3=fft(xe3,72);y3=ye3.*yc;y3=y3(9:72);xe4=xe(216:288);ye4=fft(xe4,72);y4=ye4.*yc;y4=y4(9:72);xe5=xe(289:360);ye5=fft(xe5,72);y5=ye5.*yc;y5=y5(9:72);xe6=xe(361:432);ye6=fft(xe6,72);y6=ye6.*yc;y6=y6(9:72);xe7=xe(433:504);ye7=fft(xe7,72);y7=ye7.*yc;y7=y7(9:72);xe8=xe(505:576);ye8=fft(xe8,72);y8=ye8.*yc;y=[y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8]//将上述8段合并，变可得到最终止果y=abs(y);n=1:520;plot(n,y)结论：比较图中序列线形卷积频谱：原序列频谱曲线较线性卷积序列频谱曲线陡峭，即一个长序列与一个短序列作线性卷积，短序列就相当于一个低通滤波器，滤除长序列一部分高频分量；用FFT分别计算xa(n)(p=8,q=2)和xb(n)(a=0.1,f=0.0625)16点循环相关和线形相关，问一共有多少种结果，他们之间有何异同点。程序：functiony=t27N=16;n=0:N-1;m=(-N+1):(N-1);xa=exp(-(n-8).^2/2);xb=exp(-0.1*n).*sin(2*pi*0.0625*n);Xa1=abs(fft(xa,N));Xb1=abs(fft(xb,N));Xa2=fft(xa,2*N);Xb2=fft(xb,2*N);rm1=real(ifft(conj(Xa1).*Xb1));rm2=real(ifft(conj(Xa2).*Xb2));rm2=[rm2(N+2:2*N)rm2(1:N)];subplot(2,1,1)stem(n,rm1)subplot(2,1,2)stem(m,rm2)(上面是循环相关，下面是线性相关)由上图能够看到，16点循环相关因为高斯噪声干扰，衰减发生了微小改变，时间位置不对了。而且线形相关32点，循环相关只有16点。用FFT分别计算xa(n)(p=8,q=2)和xb(n)(a=0.1,f=0.0625)自相关函数。程序：n=0:15;p=8;q=2;xa=exp(-(n-p).^2/q);a=0.1;f=0.0625;xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f