高二数学-双曲线及其标准方程

高二年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：专题双曲线及其标准方程目标掌握双曲线的定义、焦点、离心率；渐进线等概念重难点双曲线的定义和标准方程常考点求双曲线的标准方程；求弦中点的轨迹方程第一部分、基础知识梳理（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：与（）表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图形xxOF1F2PyA2A1xxOF1PB2B1F2顶点对称轴轴，轴；虚轴为，实轴为焦点焦距离心率（离心率越大，开口越大）渐近线通径（3）双曲线的渐近线：①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；（4）等轴双曲线为，其离心率为（5）常用结论：双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，线段AB的长度为,则的周长=设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是第二部分例题解析考点一：求双曲线的标准方程例1：讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征。例2：根据下列条件，求双曲线的标准方程。（1）过点，且焦点在坐标轴上。（2），经过点（－5，2），且焦点在轴上。（3）与双曲线有相同焦点，且经过点1、设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.2、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3、设O为坐标原点，，是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P＝60°，∣OP∣＝，则该双曲线的渐近线方程为（）A.x±y＝0 B.x±y＝0C.x±＝0 D.±y＝04、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线5、已知双曲线的一条渐近线方程是y＝，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.6、已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠＝，则（）A.2 B.4 C.6 D.8二、填空题：7、点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则＝___8、已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。9、已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为。10、若双曲线－＝1（b＞0）的渐近线方程为y＝，则ｂ等于。巩固练习参考答案：1、C解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，进而得出a与b之间的等量关系，由此可知答案选C。本题主要考查三角形与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属于中档题。2、D解析：不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：，则一个焦点为，B（0，b）。一条渐近线的斜率为：，直线FB的斜率为：，，，解得。3、D解析：本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题。4、D解析：本题使用了排除法。轨迹是轴对称图形，因此排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，故排除D。5、B解析：本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及标准方程，属于容易题。依题意知，所以双曲线的方程为6、B本小题主要考查双曲线的定义、几何性质、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题还可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】由余弦定理得cos∠【解析2】由焦点三角形面积公式得：7、2解析：考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，得到a＝2，c＝6，，8、9、解析：本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准