2021高中人教A版数学必修第2册教学用书：6.4.1平面几何中的向量方法-向量在物理中的应用举例

6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例素养目标·定方向素养目标学法指导1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.(直观想象)2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.(数学抽象)3．能够将几何问题和物理问题转化为平面向量问题.(数学建模)4．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.(数据分析)1．向量是工具，实现这一工具应用的关键是运算，平行与相交是平面几何中的重要线性关系，线性运算常用于解决平行(共线)问题，数量积运算常用于解决相交问题.2．凡是涉及平行的问题都可以用数乘运算处理，而与相交有关的夹角、垂直、长度等问题则可以用数量积运算处理.其中基底法和坐标法能实现形与数的相互转化，体现的是数形结合思想.3．速度、位移是向量，与线性运算挂钩；功是数量，与数量积运算相连.凡涉及速度、位移均可以考虑用线性运算工具(向量加法的平行四边形法则)，而功的问题则直接运用数量积处理.必备知识·探新知知识点1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.知识点2向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.(3)动量mv是向量的数乘运算.(4)功是力F与位移s的数量积.关键能力·攻重难题型探究题型一向量在平面几何证明问题中的应用典例1如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.[证明]法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，∴eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→)))·(eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(PF,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0．∴eq\o(DP,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，即DP⊥EF.法二：设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以eq\o(DP,\s\up6(→))＝(x，x－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1－x，x)，由于eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以eq\o(DP,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，即DP⊥EF.[归纳提升]向量法解决平面几何问题的两种方法用向量法解决平面几何问题，一般来说有两种方法：(1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法.【对点练习】❶如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.[解析]方法一：设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(b＋eq\f(a,2))·(－a＋eq\f(b,2))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0．故eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，－2).因为eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.题型二平面几何中的长度问题典例2如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2．求对角线AC的长.[分析]把eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))看作一组基底，表示出eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))，利用|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2，可求得eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值，进而求出|eq\o(AC,\s\up6(→))|.[解析]设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，而|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)＝eq\r(5－2a·b)＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq\f(1,2)，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).[归纳提升]利用向量法解决长度问题的策略向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).【对点练习】❷已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示).[解析](1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0).∵D为AB的中点，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，\f(m,2)))，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(n2＋m2)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(m2＋n2)，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，即CD＝eq\f(1,2)AB.(2)∵E为CD的中点，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4)))，设F(x,0)，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x，－m).∵A，E，F三点共线，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→)).即(x，－m)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))故λ＝eq\f(4,3)，即x＝eq\f(n,3)，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，0))，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2)，即AF＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2).题型三向量在物理中的应用典例3(1)在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.(2)已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功.[分析](1)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算.(2)物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积.[解析](1)如图，两根绳子的拉力之和eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，且|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OG,\s\up6(→))|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°，从而|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|·cos30°＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|·sin30°＝150(N)，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝150(N).答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150eq\r(3)N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15).∴W1＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦).[归纳提升]用向量方法解决物理问题的“三步曲”【对点练习】❸(1)河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10eq\r(3)km/h，求小船的实际航行速度.(2)两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i、j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).求：①F1、F2分别对该质点所做的功；②F1、F2的合力F对该质点所做的功.[解析](1)设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为邻边作矩形OACB，连接eq\o(OC,\s\up6(→))，如图，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，并且eq\o(OC,\s\up6(→))即为小船的实际航行速度.∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋b2)＝20(km/h)，tan∠AOC＝eq\f(10\r(3),10)＝eq\r(3)，∴∠AOC＝60°，∴小船的实际航行速度为20km/h，按北偏东30°的方向航行.(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j，①F1所做的功W1＝F1·s＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28；F2所做的功W2＝F2·s＝F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23．②因为F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F所做的功W＝F·s＝F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5．易错警示做功问题因对角度认识不清而致错典例4如图所示，某人用1.5m长的绳索，施力25N，把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2m.求此人对物体所的功.[错解]记沿斜面向上方向的单位向量为e，则位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cosθ＝25×6×eq\f(\r(3),2)＝75eq\r(3)(J)，所以此人对物体所做的功为75eq\r(3)J.[错因分析]要求此人对物体所做的