一元微积分期末复习提纲

《一元微积分》期末复习提纲一、高阶导数，包括简单有〃阶导数；DDDDDDDDDD1)2)rin(1+x)T)=(-1>-1(n-1)!;

(1+x)2)3)'1、(n)/、—二=3)'1、(n)/、—二=(-1>n!(x+1)+14)(sinx)n)=sinx+n-(cosx)n)=cosx+n•—例题：P11011-6、PA:1,2119曲线的凹凸性及拐点;DDDDDDDDDDDD口1)求DDDDDDD y川y〃口(2)1y〃=0DOO y〃=0000 y〃不□在□点 x□0(3)口口(2)0000DDDD0DDDD(4)[DDDDDDD(5)代DDDDDDODOODDDDDDODDD口口: P18-11Dpa：4-6113 119三、相关变化率利用复合函数的求导法则：dy=dy.dxdtdxdt解题步骤：(1利用题设条件，写出函数关系式y=f(x)或F(x,y)=0；()求出dy；dxdy(3利用已知条件求出变化率：dy=dy.dx或dx=五dtdxdtdtdydx口口: P11-21PA:4—5TOC\o"1-5"\h\z132 134四、微分的计算；微分的计算公式：dy=ydx或df(x)=f(x)dx。例题：P12-3,PA4138 141五、微分在近似计算中的应用；微分的近似计算公式:由dy|=f^(x)Ax一阶近似计算公式得:x=x0 0(1Ay=f(x+Ax)-f(x"f,(x)Ax；()f(x+Ax”f(x)+f(x)Ax。0 0 0特别地，当x=0,Ax=x时，则有f(x”f(0)+f,(0)x0例题：P口6-8,PA6140 141六、隐函数求导；DDDDD(1)□□□ F(x,y)=0DDDDDD()DDDDDDDDD y川口□□□□□□□□□□DDDDDDDDDD y=y,将(x,y)DDDDDDD0 L=x0 0'0程,□出dydxx=x

0例题：P□1-4、PA1-4、P5,6。126 131 158七、参数方程求导;

求导法则：如果羽y间的函数关系由参数方程来确定，则由参数方程确定的函数的一阶导数公式为dyU(dyU(t)

=dx8(t)dy_dtndxdxdt二阶导数公式为：d(dy'd2y_d(dy]_dtIdtJdx2 dxIdxJdxdt例题：P例7—10、PA5—7、P7,8。130 106 158八、中值定理(定理内容)；共性条件：函数在闭区间上连续，在开区间内可导；个性条件：罗尔定理要求区间端点的函数值相等；拉格朗日中值定理的两个推论：推论、若y=f(x)在区间I上恒有f'(x).0，则f(x)在I上是一个常数，即f(x)=C。推论、若y=f(x),y=g(x)在区间I上恒有f^(x)^g，(x)，则f(x),g(x)在I上仅相差一个常数，即f(x)=g(x)+C。九、洛必达法则“0”t=“8 f(x)<f<(x)与 标准型：lim =lim——ly；0 8 g(x) g'(x)“0日”型可先利用“无穷大与无穷小的关系”变形为“0”或0

“三”标准型后，再使用洛必达法则求解；8、“8”型可先“通分”后变形为“0”或“8”标准型，再0 8使用洛必达法则求解；、“00”、“18”与“80”型，可先利用公式尸Ony变形为指数函数后，再利用复合函数连续性的推论和洛必达法则求解;例题：P11-11、PA、P9。151 156 159十、不定积分的概念、性质[F'(x)=f(x)口口口 F(x)是f(x)口口口口口口。DDDDDDDDDDDDDDDD(1)[DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD:Jf(x)dx=f(x)□dJf(x)dx=f(x)dx(2)对DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDJFJF/(x)dx=F(x)+C□JdF(x)=F(x)+C例题：PA:1-3;B1168不定积分、定积分的第一类换元法Jf[①(x)y>f(xx)dx=Jf[①(x)]d^(x)①(x①(x)=tJf(t)dt=F(t)+Ct=5(x)F「①(x)]+CJbf[①(x加(x)dx=Jbf[p(x)]d3(x)a a=F(p)-F(a)p(x)=tJpf=F(p)-F(a)=a a注：（1第一换元法又称为“凑微分法”（即“凑”复合函数的中间变量的导数），可以不设代换完成;(2)不定积分与积分变量有关，故需要“回代”变量；而定积分与积分变量无关，运算时不需要“回代”；例题：P例1-16,18、PA3；171 179P例1-3、PA:1；225 229十二、不定积分、定积分的第二类换元法1、根式代换题型:被积函数中含有根式物：竺¥的形式(被开方式为线性函数)mcx+d解题思路：“去根号”；解题方法：令/=m"，解出x=b-dtm，有dx/”也]dt；Vcx+d ctm-a Ictm-a)特别地，t-/ax+b，解出x=tn_b，有dx=ntn-idt；a a代换原则：由左至右、依次代换、一次完成；例题：P□22；PB2(1)(2)；P例4176 180 225补充例题：J4,dx口j8，dx[J4^l：Ldx；01+vx 1x+3x 02xx+12、三角代换题型：被积函数中含有根式”工x2,而。,*x千的形式(被开方式为线性二次函数)解题思路：“去根号”；解题方法：(1含有病二的形式：令x-asint，有dx-acostdt；

(2含有4a+X2的形式:令X-atant，有dx=asec2tdt；(3含有JX=的形式:令x-asect,有dx=asecttantdt；代换原则：由左至右、依次代换、一次完成；例题：P例23-25;PB2(3)—(5),P3(15)(16)；177 180 197P例5；PA1(6),P1(8),6(1)(2)。226 229 252注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关。十三、不定积分、定积分的分部积分法、不定积分的分部积分公式：』udv=uv—Jvdu；定积分的分部积分公式：/W=uvb—Jbvdu。a aa、凑成公式中的v(x)的“优先次序”：)指数函数：eaxdx=1deax；a)三角函数：sinaxdx)三角函数：sinaxdx=—1dcosax

acosaxdx=1dsinax；

a(3幂函数：x四dx=J-dx5。口+1例题：P例1—5,10,11;PA1,B2—3;；182 186P例9—12、PA,2;。227 229十四、定积分的性质关于被积函数的性质：Jbdx=b—a；aJbPkf(x)土土kf(x)]dx=kJbf(x)dx土土kJbf(x)dx口11 nn 1 1 nna aa关于积分区间的性质：… …(1)1adx=0;a2)1bf(x)dx=」af(x)dx;a b1bf(x)dx=1cf(x)dx+1bf(x)dx口a a cDDDDDDDDDDDaf(卜 2"f(x法f(x)DDDD-a 0 f(x)为□□数DDDDDDDDD(M口口□口 [a,b]00f(x)>0,口 1bf(x)dx>0;a口口□口 [a,b]口口f(x)<g(x),口1bf(x)dx<1bg(x)dx;aa(3口口M及mDDDDD f(x)□□口 [a,b]口□□口□□口口□,口 m(b-a)<1bf(x)dx<M(b-a)口aDDDDDDDaaaa f(x)□□口 [a,b]dddddd [a,b]dddddd口占DOO 1bf(x)dx=f(d)(b一a)口a例、利用定积分的几何意义计算定积分的值：PB:2(1)-(2)；212例、利用定积分的性质比较定积分的大小：PA,6;；212例、利用定积分的性质、单调性与函数的最大(小)值估算定积分的值：PA,5;；212例、利用对称区间上的定积分的性质计算定积分的值：

P例7、PA:3；226 229十五、变限求导变上限函数有求导：定理及解法：dfxf(t)dt=f(x)；dxa—f从x)f(t)dt=f(b(x))br(x)-f(a(x))ar(x)dxa(x)例题：P例1-例4;PA,1-2;P□□□□□ 1(1)⑵(4)(6),2(2);216 222 204含有变上限定积分的极限：解法：洛必达法则+微积分基本定理例题：P例5,PA,3;P1（3）；217 2 252十六、定积分应用：面积、体积；解题步骤：画出草图；建立联立方程组，解出两条曲线的交点坐标；画出“穿透射线”，确定积分方向与积分区间（选择与旋转体相同的积分方向）；解出平面图形的面积：A=fb["出口曲线 "-"入口曲线 "]dxa或A=f”"出口曲线 "-"入口曲线 "]dyc与绕轴旋转而成的旋转体的体积：（出口曲线（出口曲线）2-（入（出口曲线（出口曲线例题：）2-（入口曲线）]dy]例题：P例1-3、P例7-9、PA1,2,5,6；

232 226-237 244十七、无穷区间上的广义积分概念及解法:f+C0/(xU=limP/GU；概念及解法:a b-^+coa,\bf^x)dx=lim\bf(x)dx；-co >-ooaf+co/(x)dx=fc/(x)dx+f+0°f(^x)dx=limP/GU+lim\