压杆稳定（材料力学）

材料力学压杆稳定的概念FF

当压力逐渐增加到某一极限值时，压杆的直线平衡变为不稳定，将转变为曲线形状的平衡。干扰力解除后，杆仍会恢复其原来的直线形状，如图(b)所示。即给杆一个微小的侧向干扰使其发生轻微弯曲，如图(a)所示。(a)这说明压杆直线形状的平衡是稳定的。F<FcrF(b)

杆件承受轴向压力，当压力逐渐增加，但小于某一极限值时，杆件一直保持直线形状的平衡。F=FcrF(c)

即再给杆一个微小的侧向干扰使其发生轻微弯曲，干扰力解除后，它将保持曲线形状的平衡，不能恢复到原有的直线形状，如图(c)所示。压力的极限值称为临界压力或临界力，记为Fcr。压杆稳定的概念

压杆丧失其直线形状的平衡而过度为曲线平衡，称为丧失稳定性，简称失稳，也称为屈曲。

杆件失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大，杆件已经丧失了承载能力。因失稳造成的失效，可以导致整个结构的损坏，其破坏具有突发性，没有征兆，后果严重。显然，承载结构中的受压杆件绝不允许失稳。感谢您的使用材料力学细长压杆的临界压力

一两端铰支细长压杆的临界压力

假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，从挠曲线入手，求临界力。①弯矩：②挠曲线近似微分方程：FxyFMFxly③微分方程的解：④确定积分常数,a、b和k均为待定常数。为确定这些常数，可以利用杆两端的位移约束条件。当x=0时，y=0，得到b=0，于是有当x=l时，y=0。得当取sin(kl)=0时，待定常数

必须满足条件或得

上式表明，使杆处于微弯平衡状态的临界载荷有无穷多个。工程上通常取其中不为零的最小值作为压杆的临界载荷，即n=1。细长压杆的临界压力

二其他约束情况下细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl/4l/4l/2l细长压杆的临界压力临界压力是压杆由原有直线形状从稳定平衡过渡到不稳定平衡的分界点。将临界压力的公式写成统一的形式，即欧拉公式：E——弹性模量I——最小的惯性矩

Imin

l——杆件长度m——长度因数，反映杆端约束情况细长压杆的临界压力各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由支承情况临界力的欧拉公式长度因数

=1=0.7=0.5=2细长压杆的临界压力从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。

式中，ml称为压杆的相当长度，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为ml的两端铰支压杆的临界力。感谢您的使用材料力学临界应力与柔度将临界压力除以杆件的横截面面积，所得到的应力即为临界应力，用scr表示。1.临界应力引入惯性半径得临界应力与柔度引入记号ml/i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的柔度或者长细比。2.柔度则临界应力可表示为根据欧拉公式只可应用于scr≤sp的条件亦即临界应力与柔度可见就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。

通常把l≥lp的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把l<lp的压杆，亦即不能应用欧拉公式的压杆，称为非细长压杆（包括中、小柔度杆）。对于Q235钢，按照E＝206GPa，sp

＝200MPa，有感谢您的使用材料力学欧拉公式的适用范围临界应力总图大柔度杆：l

≥lp（细长杆）中柔度杆：lp>

l

>

ls

（中长杆）小柔度杆：l

≤ls

(短粗杆)大柔度杆中柔度杆小柔度杆欧拉公式的适用范围对中小柔度杆，常采用建立在试验基础上的经验公式。常用的经验公式：直线公式和抛物线公式。1.直线型经验公式a,b值与材料有关适用于合金钢、铝合金、铸铁与松木等欧拉公式的适用范围2.抛物线型经验公式a，lc值与材料有关适用于结构钢与低合金结构钢等感谢您的使用材料力学细长压杆临界压力计算算例

例题1.两根圆截面压杆的直径均为d=160mm，材料为Q235钢，E=200GPa，sp=200MPa，ss=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，长度分别为l1=5m，l2=6m，压杆1为两端铰支，压杆2为两端固定，试计算两杆的临界压力。解：(1)计算压杆1的临界压力因为l1>lp，压杆1属于大柔度杆，所以采用欧拉公式计算临界压力。(2)计算压杆2的临界压力细长压杆临界压力计算算例因ls<l2<lp杆2属于中柔度杆，现采用直线公式（也可采用抛物线公式）计算临界应力细长压杆临界压力计算算例例题2

硅钢活塞杆,

d=40mm,E=210GPa,

lp=100,求临界压力Fcr解：大柔度杆感谢您的使用材料力学稳定安全系数法和折减系数法

为了保证压杆具有足够的稳定性，并具有一定的安全储备，必须掌握压杆的稳定条件及计算方法。工程中常采用的方法有两种：稳定安全系数法和折减系数法。1.稳定安全系数法

要保证压杆稳定，其上作用的工作压力F必须小于压杆的临界压力Fcr，并且为了使压杆更加安全，还需要考虑一定的安全储备。因此压杆的稳定条件可以表示为式中，[nst]为规定的稳定安全系数；[Fcr]为压杆的稳定许用压力。稳定安全系数法和折减系数法将式中的F和Fcr同时除以压杆的横截面面积A，可得到用应力形式表示的稳定条件式中，[scr]为压杆的稳定许用应力。工程实际中，也常用实际工作安全系数来表达稳定条件，即为保证压杆的稳定性，压杆的实际工作安全系数n不得小于稳定安全系数[nst]。稳定安全系数法和折减系数法2.折减系数法将强度许用应力[s]乘以一个小于1的系数j，以此作为稳定许用应力[scr]，即系数j称为折减系数，柔度l相关。引入折减系数后，压杆的稳定性条件可表示为稳定安全系数法和折减系数法

例题：千斤顶最大承载量F=150kN，丝杠的内径d=52mm，长度l=50cm，材料采用Q235钢。丝杠工作时认为下端固定，上端自由。试求千斤顶丝杠的工作安全系数。解：(1)确定丝杠的柔度。对于Q235钢因此，丝杠属于中柔度杆。稳定安全系数法和折减系数法(2)确定临界压力。(3)计算工作安全系数感谢您的使用材料力学提高压杆稳定性的措施提高压杆的稳定性，就是要提高压杆的临界力或临界应力。

欧拉公式:影响压杆稳定性的因素有：压杆的截面形状、压杆的长度、约束条件以及材料性质等。提高压杆稳定性的措施1.选择合理的截面形状由欧拉公式可知，截面的惯性矩I越大，其临界力越大，则稳定性越好。因此，压杆截面的合理形状是尽可能地把材料放在离截面形心较远处。在截面面积相同的情况下，空心环形截面比实心圆截面稳定性要好。

四根相同的等边角钢组成的组合截面，将角钢分散放置在截面的四角比集中放置在形心附近稳定性要好。提高压杆稳定性的措施2.加强杆件的约束条件

一般来说，增强压杆的约束，使其更不容易发生弯曲变形，可以提高压杆的稳定性。长为l，两端铰支的细长压杆，其临界力为若在压杆的中点增加一铰支座，相当于计算长度减小一半，其临界力为可见，临界压力变为原来的4倍。提高压杆稳定性的措施

对于细长压杆，