第07讲分数的混合运算（3大考点）（解析版）

第07讲分数的混合运算（3大考点）考点考点考向分数与小数的混合运算：混合运算的一般原则（1）加减混合运算时，只需将题目中的数同时化成小数或分数后再运算；但当分数不能化成有限小数时，则应同时化成分数后再运算．（2）乘除运算中，一般将除法先转化为乘法，小数转化为分数，然后遵循先约分再运算的原则进行计算．（3）一般的运算顺序：先乘除，后加减；若有括号，则先算括号内．常用运算定律交换律：，；结合律：，；分配律：，．常用运算性质减法的运算性质：，；除法的运算性质：，常用运算技巧分组凑整法、提取公因数法、整体设元法、拆项相消法等．分数的拆分常用公式（1）；（2）；（3）；（4）．单位分数分子是1，分母是正整数的分数叫做单位分数，记为．如果要将拆分成两个单位分数的和，可以用以下方法（1）写出n的约数，，，…，从中挑选出两个约数，例如，．（2）把的分子、分母乘以两个约数的和（），得：．（3）把所得的分数拆成两个分数之和，使两个约数恰为两个分数的分子，得：．（4）把所得的两个分数约分，便得到要求的结果．注意：eq\o\ac(○,1)若，上式中等号右边的分母相同；若，等号右边的分母不同．eq\o\ac(○,2)如果改变约数的取法，可得到不同的解．考点精讲考点精讲考点一：分数小数的混合运算1.计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）； ．【总结】考察分数与小数的加减运算，注意计算结果要化到最简．2.计算：（1）； （2）．【答案】（1）2；（2）．【解析】（1）； ．【总结】考察分数与小数的乘除运算，注意先将小数化成分数．3.计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）； （2）； （3）； （4）．【总结】本题主要考察分数与小数的混合运算，计算时一方面遵循运算顺序，另一方面 准确运用相关的运算法则．考点二：速算与巧算1.计算：（1）； （2）．【答案】（1）1；（2）18.7．【解析】（1）； （2）．【总结】考察分数与小数的混合运算，注意法则的准确运用．2.计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）； ．【总结】考察分数与小数的混合运算，要熟记．3.计算：（1）； （2）．【答案】（1）0.2；（2）．【解析】（1）； ．【总结】考察分数与小数的混合运算，注意法则的准确运用．4.计算：．【答案】．【解析】．【总结】考察分数与小数的混合运算，注意法则的准确运用．5.计算：．【答案】．【解析】．【总结】考察分数与小数的混合运算，注意法则的准确运用．6.计算：（1）； （2）．【答案】（1）22；（2）18．【解析】（1）； ．【总结】考察分数与小数混合运算中的简便运算，主要是利用乘法分配率使运算简便．7.计算：（1）； （2）．【答案】（1）0；（2）．【解析】（1）； （2）．【总结】观察数字的规律，熟记常见的小数所对应的分数，判定是否能用简便方法计算．8.计算：．【答案】．【解析】．【总结】观察数字的规律，判定是否能用简便方法计算．9.阅读例题后，完成计算：例：．计算：．【答案】3．【解析】．【总结】本题主要是理解例题中的计算方法，并且应用到实际计算中，这也是分数运算 中的一种简便的运算方法．10.阅读例题后，完成计算：例：．计算：．【答案】．【解析】【总结】本题主要是理解例题中的计算方法，并且应用到实际计算中，这也是分数运算 中的一种简便的运算方法．11.阅读例题后，完成计算：例：．计算：．【答案】3．【解析】【总结】本题主要是理解例题中的计算方法，并且应用到实际计算中，这也是分数运算 中的一种简便的运算方法．12.计算：．【答案】．【解析】【总结】本题主要是通过“裂项法”，使复杂的计算变的简单．13.计算：．【答案】．【解析】【总结】本题主要是通过“裂项法”，使复杂的计算变的简单，注意对方法的准确理解 和运用．考点三：单位分数1.在下面的括号内填上不同的自然数：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】考察分数的加减运算．2.在下面的括号内填上不同的自然数：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】可以进行通分然后再拆分．3.请在括号内填入适当的自然数，使等式成立，并说出共有几种不同的填法？【答案】，无数种填法．【解析】进行通分，所以有无数种不同的填法．4.在括号内填上适当的自然数（必须互不相同），使等式成立．【答案】．【解析】．【总结】进行通分，然后通过约分，化成单位分数，所以有无数种不同的填法．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·上海·期末）计算：的值等于A．1 B． C．49 D．【答案】B【分析】除以一个数等于乘以这个数的倒数，依次乘除计算即可．【详解】解：原式故选：B．【点睛】本题考查了分数的乘除运算．解题的关键在于正确熟练运用运算法则．二、填空题2．（2021·上海·新中初级中学期中）小马虎在做分数的除法练习时，把一个数除以错看成加上，由此得出的结果是，那么这道题的正确结果应该是______．【答案】【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：，=．答：这道题正确的结果应该是．故答案为：．【点睛】本题考查了分数的加法和除法，求出正确的被除数是解本题的关键．3．（2021·上海市傅雷中学期中）规定四个数a、b、c、d的一种运算法则如下：＝ad﹣cb，计算＝___．【答案】【分析】根据新定义，代入计算，即可求解．【详解】解：根据题中的新定义得：原式＝×﹣2×＝﹣＝0．故答案为：0【点睛】本题主要考查了分数的混合运算，熟练掌握分数的混合运算法则是解题的关键．4.（浦东四署2019期中18）阅读理解：，，，……阅读以上材料后计算：=.【答案】；【解析】解：根据题意，=+=81+=81+=.5．（北京燕山2020期末18）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助图（1），可以把算式转化为＝36．请你观察图（2），可以把算式转化为＝．图（2）图（2）图（1）【答案】；【解析】解：根据图2，可得.6.（浦东四署2017期中18）观察：那么直接写出下面的计算结果：.【答案】三．解答题7.（闵行区2020期末19）计算：.【答案】;【解析】解：原式====.8.（浦东四署2019期中22）计算：.【答案】12；【解析】解：原式===8+4=12.9.（奉贤2019期中23）计算：.【答案】；【解析】解：原式===.10.（奉贤2019期中22）计算：；【答案】;【解析】解：原式====（或）.11.（闵行区2020期末20）计算：.【答案】；【解析】解：原式====.12.（浦东南片2019期中23）计算：【答案】；【解析】解：原式=.13．（2022·上海市彭浦初级中学期中）某数的比还少，求这个数．【答案】【分析】根据题意列出算式，解出即可．【详解】解：根据题意得：这个数为．【点睛】本题主要考查了分数混合运算的应用，明确题意，准确列出算式是解题的关键．14．（2021·上海市彭浦初级中学期末）计算：．【答案】34【分析】先将小数化为分数，再算括号内的，再计算乘除，即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了分数的四则混合运算，熟练掌握分数的四则混合运算法则是解题的关键．15．（2021·上海普陀·期末）计算：【答案】【分析】先计算括号内的，再把各数转化假分数，并把除法转化为乘法，然后按照运算顺序进行运算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了分数的四则混合运算，解答的关键是对相应的运算法则和运算顺序的掌握．16．（2021·上海市民办新复兴初级中学期中）计算：．【答案】【分析】直接利用有理数的混合运算，先提取公因式，再算括号里面的加减运算，再算乘法即可．【详解】原式，，，．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．17．（2022·上海市彭浦初级中学期中）计算：．【答案】【分析】先算括号内的，再计算乘法，最后计算加法，即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了分数的混合运算，熟练掌握分数的混合运算法则是解题的关键．18．（2021·上海·青教院附中阶段练习）小明用三天看完一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的，则第三天小明看了全书的几分之几？【答案】第三天小明看了全书的【详解】，答：第三天小明看了全书的.【点睛】本题考查了分数的混合运算，掌握分数的运算是解题的关键．19．（2021·上海复旦五浦汇实验学校期中）计算：（1﹣）×（2﹣）×（3﹣）×（4）×（5﹣）×（6﹣）×（7﹣）×（8﹣）×（9﹣）××．【答案】12【分析】先计算括号内的式子，然后约分化简即可．【详解】解：（1﹣）×（2﹣）×（3﹣）×（4）×（5﹣）×（6﹣）×（7﹣）×（8﹣）×（9﹣）××＝×××＝2×3×4×5×6×7×8×9×××＝12．【点睛】本题考查了分数的计算，掌握分式的性质是解题的关键．20．（2021·上海·新中初级中学期中）一根2米长的线段，第一次截去米，第二次截去余下的，还剩多少米？【答案】米【分析】根据题意，用2米减去米，再减去，即可求解．【详解】解：根据题意得：（米），答：还剩米．【点睛】本题主要考查了分数四则运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．21．（2021·上海市毓秀学校期中）计算：【答案】11【分析】先利用乘法的分配律，可得，然后再次利用乘法的分配律，即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了分数的混合运算，灵活利用乘法的运算律解答是解题的关键．22．（2021·上海市傅雷中学期中）计算：．【答案】【详解】解：＝＝＝3﹣+0.7+2＝3﹣0.625+0.7+2＝5.075．【点睛】本题考查了分数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘除，再算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．23．（2021·上海·新中初级中学期中）根据下边的流程图回答下列问题：（1）输入后，得到的输出结果是____________．（2）如果输出的结果，请推测输入的数可能是哪些？并写出结果．【答案】（1）（2）或【分析】（1）根据流程图直接进行列式求解即可；（2）根据题意分两种情况：一是大于输出的结果，二是小于或等于输出的结果，然后分别求解即可．【详解】解：（1）由流程图可得：，，；故答案为；（2）①当输出的结果是由大于计算而得的，则有：；②当输出的结果是由小于或等于计算而得的，则有：；答：输入的数可能是或．【点睛】本题主要考查分数的混合运算，熟练掌握分数的混合运算是解题的关键．24．（2022·上海徐汇·期末）计算：．【答案】【分析】先计算括号内的，在计算乘除，最后进行加减运算．【详解】解：【点睛】本题考查分数的四则混合运算，掌握运算顺序时解决本题的关键．25．（2021·上海·期末）计算：．【答案】【分析】原式先计算括号内的，再进行除法运算即可．【详解】解：．【点睛】本题讨要考查了分数的混合服从调剂，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．26．（2022·上海市彭浦初级中学期中）计算：．【答案】【分析】把除法统一到乘法上，后按照运算顺序依次计算即可．【详解】==．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键．27．（2021·上海市毓秀学校期中）计算：【答案】1【详解】解：＝==1【点睛】本题考查了分数的四则混合运算，当算式中同时含有分数与小数时，可根据式中数据的特点