第一章函数极限连续第三次课程加持续

. "e>0,$某个时刻,从此时刻后,不等|y|< limy=无穷小量通常用希腊字母abg表示alimbab

记作bo(aaa

¥ limbC(Ca

a~blimb

(C„0,xfi0x~sinx~tanx~arcsinx~arctan~ex-1~ln(1+1-cosx~1x2，(1+x)m-1~mx(m„0)2x-sinx~1x3，x-arcsinx~-1x3,

x-ln(1+x)~1x2x

1x tanx~-x,x-arctanx xfi

4sin

-316(2013-2)cosx-1=xsina(x),其中|a(x

p,xfi0时,a(x)2(A)x(C)x同阶但不等价的无穷小【分析】cosx-1=xsina(x),

(B)x低阶的无穷小(D)与x等价无穷小. xsina(x)~-1x2sina(x)~-1xa(x)~-1x (1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无2

(A)1 (B) (C) (D)4. 18(2019-1231题)xfi0xtanxxk同阶无穷小，则k 1

(C) (D)19(2009-1231题)xfi0时，fx)xsinaxgx)x2ln(1(A)a=1,b=-1 (B)a=1,b=1. a=-1,b=-1 a=-1,b=1 (A)1-e 1+x-

(B)ln(1+x

=1sinx,g(x)=1,则当x 时,f(x)是g(x) (A)

(B)低阶的无穷小(D)同阶但非等价无穷小. 22(1998-2)xnyn满足limxnyn0nfixnyn必发散

若 ，则yn必有界1xnyn必为无穷小

yn必为无穷小 例23(2016-2)设a= x-1),a=xln(1+3

=3x+1-1(A)a1,a2,a3 (B)a2,a3,a1 (C)a2,a1,a3 (D)a3,a2,a1limf(x)=

f(xAa(x其中a(x)例24.已知limf(x)-1-sinx=2,,则limf(x)= xfi0 xfi即:E>0(不论它多大),变量y$某个时刻从此时刻后|y|> 则称y为无穷大量,或称y趋于无穷大.记作limy 正无穷大,负无穷大．记作limy=+¥, 或limy=-¥.-25.yexx xfi xfi0- 量量26.若limfx)¥limgx)¥xfi xfi lim[f(x)+g(x)]=¥ lim[f(x)-g(x)]=xfi limf(

xfi= limkf(x)=¥(k„xfi

g(

xfi当xfi+¥(或nfi¥ 时,下列函数(数列)趋于正无穷大的速越来越快,或者说越来越大ln xa(a>0),ax(a> xx

na(a>0),an(a> n于是，n

lnx=0（a>0

=0（a>1

aa

nfi+¥

=ln10xg(xxh e10,xg(x)<

(x)<f(x)

h(x)<g(x)<f(x)f(x)<g(x)<h(x)

g(x)<f(x)<h(x)x

=

=lime10 xfi

g( xfi+¥ xfi ln9 limf(x)=lim x=lim10 x=10lim xfi+¥g( xfi

xfi ln8

xfi =10fi =109lim x 2limlnx=10!=10fi xfi xfi+¥x充分大

fx)gx)h(x 变量,但 如y=xsinx k˛Z 2 =2kp2

,例28.当nfi¥时，数列{xn}:1,0,3,0,5, ,2n-1, (A)无穷小量 (B)无穷大量 变量. f在某极限过程中,若f(x)为无穷大量,则f反之若f(x)为无穷小量(fx)0

为无穷大量

x 0时

1sin1

f(x)(A)无穷小.(B)无穷大.(C)有界的但不是无穷小 的但不是无穷 分析：x

,yn

2np+2

设limf(x)=Alimg(x)=Blim[f(x)–g(x)]=A–Blim[f(x)g(x)]=A

limf(x)=Ag(

B„0f(1、若limg(

limg(x)=0limf(x)=limf(x)=0,A„0limg(x)=2、若limfx)gx)Alimf(x)=¥limg(x)=limf(x)=0,A„0limg(x)= 3.若f(x)=axn+axn-1++ x+a(n limf(x)=f(x0),limf(x)=xfi xfi m- m-+am-1x+ ++am-1x0+ n-+bn-1x+ b0x0+b1x0 ++bn-1x0+

+axm-1 lim xfi

bxn+bxn-1

m<ax

aa=

m=xfi

+ + limnn=1,limna=

m>nfi nfi

x<limenx= x=nfi

+¥ x> 30求极限xfi

3-x-1+ x2+x- -例31求下列极限(1)lim

x2+x-1

x2-x+1)xfi-1

x+ 1-x2

xfi 【分析】(1) 型

型

3,12

lim x2+100+x)xfi- 0型-50例33极限lim +

nfi

1· 3· 1)(2n+1)+(2n+(2n1 34已知xfi

x2+ax+1-

x2+35limxfi¥x+

-ax-b=0，则 limsinx=1xfi 1lim(1+x) =xfi

或lim1xfi¥

1xx =ex

3x2+

sin2xfi¥5x+

3x2+

sin2xfi¥5x+

tan(x2-=xfi x-38limn21cos1n n394

2x+3x-

1lim1-2xxfi

;(2)limxfi¥2x-1

;(3)lim1nfi¥

n

1

(C)ea-b (D)eb-a

sin1nfi¥(n 1lim1+2x22

xfi0 xfi0x~sinx~tanx~arcsinx~arctan~ex-1~ln(1+1-cosx~1x2，(1+x)m-1~mx2sinx~1x3，x-arcsinx~-1x3,

x-ln(1+x)~1x2x

1x tanx~-x,x-arctanx

-1=ealn

-1~alna，1+a-1~122、设axfi0bx)fi0且a～ab～blima(x)f(x)=lima(x)f(x)lima(b(

f(x)=lima((

f(a+o(a)~若limab若limb

A1，则lim(ab