第07课时双曲线及其性质（原卷版）

第7课时双曲线及其性质编写：廖云波【回归教材】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做，两焦点间的距离叫做．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当时，P点的轨迹是双曲线；(2)当时，P点的轨迹是两条射线；(3)当时，P点不存在．2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：对称中心：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝(c>a>0，c>b>0)3.等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：(1)方程形式为；(2)渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；(3)实轴长和虚轴长都等于，离心率．【典例讲练】题型一双曲线的定义及其应用【例1-1】已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（）A．x2－＝1(x≤－1)B．x2－＝1C．x2－＝1(x1)D．－x2＝1【例1-2】已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（）A．3B．1C．D．【例1-3】已知双曲线的两个焦点分别为、，为双曲线上一点，且，则的面积为_________.归纳总结：【练习1-1】已知圆，动圆过点，且圆与圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程是___________.【练习1-2】过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（）A．8B．9C．10D．11题型二双曲线的标准方程【例2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点，，一个顶点为；(2)一个焦点为，离心率为3；(3)一条渐近线为，且过点；(4)经过点，.归纳总结：【练习2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)经过点，；(2)焦点为，，经过点；(3)，经过点；【练习2-2】已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则___________；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以为___________.（写出一个答案即可）题型三双曲线的渐近线【例3-1】已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线E的焦距等于______.【例3-2】已知为双曲线的焦点，过作轴的垂线交于点，且，则的渐近线方程是（）A．B．C．D．归纳总结：【练习3-1】已知双曲线：的离心率，则双曲线的渐近线方程为___________.【练习3-2】已知，分别是双曲线C：的左右焦点，双曲线C的右支上一点Q满足，O为坐标原点，直线与该双曲线的左支交于P点，且，则双曲线C的渐近线方程为______．题型四双曲线的离心率【例4-1】已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．2或D．或【例4-2】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为A．3B．1C．D．2【例4-3】已知为双曲线的左焦点，若双曲线右支上存在一点，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．归纳总结：【练习4-1】设双曲线：的左、右焦点分别为是上一点，且．若的面积为，则离心率______.【练习4-2】已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【练习4-3】若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【完成课时作业（五十六）】【课时作业（五十六）】A组基础题1．已知双曲线C：的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为（）A．B．2C．D．32．设，是双曲线的焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A．24B．C．D．303．双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为（）A．B．C．4D．4．如图，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．6．“k<2”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知是双曲线C：上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．9．【多选题】已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的（）A．M的离心率为B．M的标准方程为C．M的渐近线方程为D．直线经过M的一个焦点10．（2021·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.11．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．12．双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．13．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．14．已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______．B组能力提升1．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．【多选题】双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过