专题12 解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略含解析

专题12解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略专题12解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题目录类型一：求三角形的周长 1类型二：三角形周长范围或最值 2类型三：求三角形的面积 3类型四：三角形面积的范围或最值 3类型五：其他元素的范围或最值 4满分策略：1.正弦定理+角的范围满分策略：1.正弦定理+角的范围2.余弦定理+基本不等式典型例题：在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2acos(1)求角A;(2)若D为BC边的中点,且AD=13,AC=2,求△ABC【答案】(1)A=(2)8+2试题分析：(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将sinC转化成sinA+B即可求解;(2)分别在两个三角形中用详细解答：（1）在△ABC中因为2acos由正弦定理得2sin所以2sin即sinB=2又因为A,B∈0,π,sinB≠0所以A=π（2）取AB边的中点E,连接DE,则DE//AC，且DE=12AC=1在△ADE中,由余弦定理得:AD解得AE=3,所以AB=6.在△ABC中,由余弦定理得:BC=所以△ABC的周长为8+27题型专练：1．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ccosB+bcosC=2acosA，a=2，△ABC的面积为A．4 B．6 C．8 D．182．（2023春·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，若(3b-c)cos(1)求cosA(2)若a=23，且△ABC的面积S△ABC=3(3)若b=3，且sinBsinC=3．（2023·黑龙江大庆·统考三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3b=a(1)求A；(2)若a=8，△ABC的内切圆半径为3，求△ABC的周长.4．（湖南省永州市2023届高三三模数学试题）在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c且c⋅cos(1)求C的值；(2)若AB边上的点M满足BM=2MA，c=3，CM=75．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a、b、c.设3b=c+(1)若A=π6，求(2)若c=1，cosC=156．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在①3absinC=4AB已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，___________.(1)求sinA(2)若△ABC的面积为2，a=4，求△ABC的周长.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.类型二：三角形周长范围或最值典型例题：已知△ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c．点O为△ABC的内心，b=23且S=(1)求B的大小；(2)求△AOC的周长的取值范围．【答案】(1)B=(2)4试题分析：（1）利用三角形的面积公式及余弦定理，结合同角三角函数的商数关系及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形内心的定义，利用正弦定理及两角差的正弦公式，结合辅助角公式及角范围的变化，再利用正弦函数的性质即可求解．详细解答：（1）因为S=3所以34×2accosB=1因为B∈(0,π)，所以（2）设△AOC周长为l，∠OAC=α，如图所示，由（1）知B=π3，所以0<∠BAC<2因为点O为ΔABC的内心，OA，OC分别是∠A，∠C的平分线，且B=所以∠AOC=2在△AOC中，由正弦定理可得OAsin所以l=OA+OC+AC=4sinα+4sin因为α∈(0,π3)，所以α+可得△AOC周长l=4sin题型专练：7．（湖南省名校教研联盟2023届高三下学期4月联考数学试题）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sin(1)求a的值；(2)若△ABC的面积为3b2+8．（2023·全国·高三专题练习）在①cosC=ba-c问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______，a＝4．(1)求A；(2)求△ABC周长的取值范围9．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求△ABC周长范围．10．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(sin(1)求角C；(2)若c=23，求△ABC11．（2023春·山西太原·高一统考期中）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知向量m=2b-c,cos(1)求A；(2)若△ABC的面积为33，求△ABC12．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asin(1)求角B的大小；(2)若a=2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围；(3)若b2=ac，且外接圆半径为2，圆心为O,P为⊙O上的一动点，试求13．（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：①2a=b+2ccosB；②2asin从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：___________.(1)求角C的大小；(2)若c=23，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分类型三：求三角形的面积典型例题：已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足ctan(1)求角A；(2)若b=2c，点D为边BC的中点，且AD=7，求△ABC【答案】(1)π(2)2试题分析：（1）根据正弦定理得到sinC（2）根据余弦定理得到BC2=10c2-28，再次利用详细解答：（1）由正弦定理，可得：sinCtanA=2A,C∈0,π，sinA≠0，sinC≠0，故（2）在△ACD中，AC在△ABD中，ABCD=BD，∠ADC=π-∠ADB,∴cos即(2c)2+c2=2⋅在△ABC中，B故BC2=3c2题型专练：14．（山东省日照市2023届高三下学期4月校际联合考试数学试题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2c-b=2acos(1)求角A的值；(2)若△ABC的面积S=323，c=15．（2023春·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2ccos(1)求角A；(2)若△ABC的周长为33，且△ABC外接圆的半径为1，求△ABC16．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足cosB=1114(1)C的大小；(2)若△ABC的外接圆半径R=1，求△ABC的面积．17．（河北省石家庄市部分学校2023届高三联考（二）数学试题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinA(1)求角B的大小；(2)若a+c=26asinC，且b=3，求18．（2023春·江苏镇江·高一统考期中）在①sin2B+sin2C-记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．(1)求角A；(2)若a=7，b=1，求△ABC19．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin(1)求A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=4，AC=6，求△ABC的面积．20．（2023·北京丰台·统考二模）在四边形ABCD中，AB=1，(1)求BD的长；(2)求四边形ABCD的面积．条件①：cos∠DBC=条件②：∠DCB+∠DAB=π注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．类型四：三角形面积的范围或最值典型例题：已知a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且a+cb(1)求B；(2)若b=2，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)B=(2)3试题分析：（1）应用正弦边角关系、三角形内角性质及和角正弦公式得cosB+1=3sin（2）应用余弦定理及基本不等式求得ac≤4，注意等号成立条件，再应用三角形面积公式求面积最值.详细解答：（1）由a+cb=cos则sinA+而sinA=所以cosBsinC+sinC=所以3sinB-cos由-π6<B-π6（2）由b2=a2+所以S△ABC=12ac题型专练：21．（2023·福建·统考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csin(1)求C；(2)若c=1，D为△ABC的外接圆上的点，BA⋅BD=22．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，且(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A,B是切点，求三角形PAB面积的最大值.23．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知直线y=kx+1与抛物线C：x2=8y交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，两条切线的交点为(1)证明点D在一条定直线上；(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，求△ADE面积的最小值．24．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c，且b(1)求角A的值；(2)已知D在边BC上，且BD=3DC,AD=3，求△ABC的面积的最大值25．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a(1)求角A的大小；(2)若BC边上的中线AD=1，求△ABC面积的最大值．26．（2023·河北张家口·统考一模）在△ABC中，2cos(1)求A；(2)如图，D为平面ABC上△ABC外一点，且CD=1，BD=3，若AC=AB，求四边形ABDC27．（2023·河南新乡·统考二模）如图，在△ABC中，D，E在BC上，BD=2，DE=EC=1，∠BAD=∠CAE．(1)求sin∠ACB(2)求△ABC面积的取值范围．类型五：其他元素的范围或最值典型例题：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA+(1)求角C；(2)设BC的中点为D，且AD=3，求a+2b【答案】(1)C=(2)2试题分析：（1）已知等式，由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求角C；（2）设∠CAD=θ，由正弦定理，把a+2b表示成θ的三角函数，利用三角函数的性质求取值范围.详细解答：（1）△ABC中，cosA+3sin所以sinC即sinC所以3sin又A∈0,π，则sinA≠0则有sinC-π6=12，又因为（2）设∠CAD=θ，则△ACD中，由C=π3可知由正弦定理及AD=3可得CD所以CD=2sinθ，所以a+2b=4sin由θ∈0,2π3可知，所以a+2b∈2即a+2b的取值范围23题型专练：28．（2023·河北·校联考二模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=7，且a+bc(1)求△ABC的外接圆半径R；(2)求△ABC内切圆半径r的取值范围.29．（2023·山东菏泽·统考二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R=22，且tan(1)求B和b的值；(2)求AC边上高的最大值.30．（2023·山东·校联考二模）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且AG⋅(1)若∠GAB=π6，求tan∠(2)求cos∠ACB的取值范围.31．（2023·全国·学军中学校联考二模）设x∈R，函数fx=cosωx+φω>0,-π2(1)求fx解析式，并通过列表､描点在给定坐标系中作出函数fx在(2)在锐角△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若2a-bcosB=32．（2023·云南红河·统考二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin(1)证明：0<B≤π(2)求sinB⋅33．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，C=π(1)若BC边上的高等于33a，求(2)若CA⋅CB=2，求AB34．（2023·山西·统考二模）在锐角△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，cosC-33sinB=a2-c(1)求A；(2)求△ABC外接圆面积的最小值.35．（2023·广西玉林·统考三模）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且αcos(1)求角A的大小；(2)若a=2，△ABC的面积为2-1236．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sin2(1)求a+bc(2)求证：在线段AB上恒存在点D，使得ADCD专题12解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题目录类型一：求三角形的周长 1类型二：三角形周长范围或最值 2类型三：求三角形的面积 3类型四：三角形面积的范围或最值 3类型五：其他元素的范围或最值 4满分策略：1满分策略：1.正弦定理+角的范围2.余弦定理+基本不等式典型例题：在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2acos(1)求角A;(2)若D为BC边的中点,且AD=13,AC=2,求△ABC【答案】(1)A=(2)8+2试题分析：(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将sinC转化成sinA+B即可求解;(2)分别在两个三角形中用详细解答：（1）在△ABC中因为2acos由正弦定理得2sin所以2sin即sinB=2又因为A,B∈0,π,sinB≠0所以A=π（2）取AB边的中点E,连接DE,则DE//AC，且DE=12AC=1在△ADE中,由余弦定理得:AD解得AE=3,所以AB=6.在△ABC中,由余弦定理得:BC=所以△ABC的周长为8+27题型专练：1．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ccosB+bcosC=2acosA，a=2，△ABC的面积为A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【分析】由正弦定理和和角公式得到cosA=12，得到A=π3【详解】ccosB+bcos又sinC所以sinA=2因为A∈0,π，所以sinA≠0因为A∈0,π，所以由三角形面积公式可得12bcsin由余弦定理得cosA=解得b+c=4或-4（舍去），故三角形周长为4+2=6.故选：B2．（2023春·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，若(3b-c)cos(1)求cosA(2)若a=23，且△ABC的面积S△ABC=3(3)若b=3，且sinBsinC=【答案】(1)1(2)6(3)6+2【分析】（1）由余弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；（2）由面积公式及余弦定理化简，解得b=c=3，由数量积公式计算即可得解；（3）根据三角恒等变换求出cosBcosC=13，再由两角差的余弦公式求出B=C，再由余弦定理求【详解】（1）∵(3b-c)cosA-acosC=0∴(3b-c)×b∴b∴cosA=b（2）由cosA=13，可得∴S∴bc=9，∵a∴b2+∴cosB=a2+∴BA（3）∵cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=13，∴cosBcosC=1∴cos(B-C)=sinBsinC+cosBcosC=2由0<B<π,0<C<π知，-π<B-C<π,∴B-C=0，即b=c=3，由余弦定理，cosA=b2+∴a+b+c=6+23即△ABC的周长为6+233．（2023·黑龙江大庆·统考三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3b=a(1)求A；(2)若a=8，△ABC的内切圆半径为3，求△ABC的周长.【答案】(1)2π(2)18【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tanA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；（2）利用三角形的面积公式可得出b+c+8=12bc，结合余弦定理可求得b+c【详解】（1）解：因为3b=a由正弦定理可得3sinB=sinA因为A+B+C=π，所以sinB=sinA+C代入①式整理得3cosAsinC=-sinAsinC又因为A、C∈0,π，sinC≠0，则3cosA=-sinA<0，所以又因为A∈0,π，解得A=（2）解：由（1）知，A=2π3，因为△ABC内切圆半径为所以S△ABC=1所以，b+c+8=1由余弦定理a2=b2+联立②③，得b+c2-2b+c+8所以△ABC的周长为a+b+c=18.4．（湖南省永州市2023届高三三模数学试题）在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c且c⋅cos(1)求C的值；(2)若AB边上的点M满足BM=2MA，c=3，CM=7【答案】(1)C=(2)答案见解析【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简可得答案；（2）由余弦定理可得9=a2+b2-ab，再利用向量的线性运算可得结合【详解】（1）由正弦定理得：sinCcosA+3在三角形中B=π-A+C故sinCcosA+3即sinCcosA+3因为A∈(0,π),sinx≠0，所以3sinC-cosC=1即sinC-而C∈(0,π)，∴C-π6∈(-π6（2）因为BM=2MA，∴BM=2，由余弦定理得c2=a又CM=7由于CM=故CM2则63=a①×7=②即7a2+7亦即2a-ba-b=0，则a=b或当a=b时，代入①得a=3，b=3，周长L=a+b+c=9；当a=b2时，代入①得a=3周长L=a+b+c=3+335．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a、b、c.设3b=c+(1)若A=π6，求(2)若c=1，cosC=15【答案】(1)π(2)2【分析】（1）由已知条件可用正弦定理的性质进行边化角方法，利用A=π（2）c=1这个条件带入主干条件中，得到a、b等式关系，利用条件cosC=15结合余弦定理，求出【详解】（1）∵3b=c+∴由正弦定理得3sinB=sinC+∴∴∴sin∵B∈∴B-∴B-∴B=π（2）∵3b=c+∴3b-∵cosC=∴由余弦定理得a∴a2∴(a+b)2=2因此△ABC的周长为a+b+c=26．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在①3absinC=4AB已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，___________.(1)求sinA(2)若△ABC的面积为2，a=4，求△ABC的周长.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)sinA=(2)4+4【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求sinA的值；（2）由面积公式求得bc=5，再利用余弦定理求得b+c，可得△ABC的周长.【详解】（1）若选①，由已知得3absinC=4bccosA，所以3asinC=4ccosA，由正弦定理得3sinAsinC=4sinCcosA，又C∈0,π，所以sinC>0，所以3sinA=4cosA，又sin由A∈0,π，sinA>0，解得sinA=若选②，由已知及正弦定理得3sinAsinB+4sinAcosB=4sinC，所以3sinAsinB+4sinAcosB=4sinA+B所以3sinAsinB+4sinAcosB=4sinAcosB+4cosAsinB，所以3sinAsinB=4cosAsinB，又B∈0,π，所以sinB>0，所以3sinA=4cosA，又sin由A∈0,π，sinA>0，解得sinA=（2）由△ABC的面积为2，得12bcsinA=2由（1）可得cosA=1-由余弦定理得cosA=b所以b2+c所以△ABC的周长为a+b+c=4+42类型二：三角形周长范围或最值典型例题：已知△ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c．点O为△ABC的内心，b=23且S=(1)求B的大小；(2)求△AOC的周长的取值范围．【答案】(1)B=(2)4试题分析：（1）利用三角形的面积公式及余弦定理，结合同角三角函数的商数关系及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形内心的定义，利用正弦定理及两角差的正弦公式，结合辅助角公式及角范围的变化，再利用正弦函数的性质即可求解．详细解答：（1）因为S=3所以34×2accosB=1因为B∈(0,π)，所以（2）设△AOC周长为l，∠OAC=α，如图所示，由（1）知B=π3，所以0<∠BAC<2因为点O为ΔABC的内心，OA，OC分别是∠A，∠C的平分线，且B=所以∠AOC=2在△AOC中，由正弦定理可得OAsin所以l=OA+OC+AC=4sinα+4sin因为α∈(0,π3)，所以α+可得△AOC周长l=4sin题型专练：7．（湖南省名校教研联盟2023届高三下学期4月联考数学试题）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sin(1)求a的值；(2)若△ABC的面积为3b2+【答案】(1)a=4(2)12【分析】（1）法一：设4=at，t>0，由正弦定理得到tsin2A-法二：设4=at，t>0，由正弦定理得到tsin2A-（2）由面积公式得到A=π3，由正弦定理结合三角恒等变换得到b+c=8sinB+【详解】（1）法一：设4=at，t>0，在△ABC中，由正弦定理得a=2R⋅sinA，b=2R⋅sinB，c=2R⋅sinC，代入已知化简得tsin又在△ABC中有：sinC=sinA+B即tsin∵sinA+B即tsin2A-sin2法二：设4=at，t>0，在△ABC中，由正弦定理得a=2R⋅sinA，b=2R⋅sinB，c=2R⋅sinC，代入已知化简得tsin又在△ABC中有：sinC=sinA+B即tsin∵sin=sin2即tsin2A-sin2（2）在△ABC中有S=12bcsinA，1即tanA=3由正弦定理得：bsinB故b=83⋅sinBb+c=8因在△ABC中，A=π3，0<B<2π所以b+c≤8，当A=B=C时，等号成立，周长取得最大值12.8．（2023·全国·高三专题练习）在①cosC=ba-c问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______，a＝4．(1)求A；(2)求△ABC周长的取值范围【答案】(1)A=(2)8,12【分析】（1）根据所选的条件，应用正余弦定理边角关系、三角恒等变换可得cosA=1（2）由余弦定理及基本不等式求得0<b+c≤8，结合三角形三边关系和已知确定三角形周长范围.【详解】（1）选①：由cosC=ba-由正弦定理得2sinAcosC=2sinB-sinC，即2sinAcosC=2sin(A+C)-sinC=2sinAcosC+2cosAsinC-sinC，化简得sinC=2cosAsinC，因为sinC≠0，所以cosA=1由三角形内角性质知：A=π选②：在△ABC中，由正弦定理得：cb因为1+tanAtanB=即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，因为sinC≠0，所以cosA=1由三角形内角性质知：A=π选③：在△ABC中，由(c-b)sin(A+B)=(a-b)(sinA+sinB)得：(c-b)sinC=(a-b)(sinA+sinB)，由正弦定理得c2-bc=a由三角形内角性质知：A=π（2）由余弦定理得16=b所以(b+c)2-16=3bc≤3当且仅当b＝c时等号成立，又b+c>a=4，所以b+c∈4,8，a+b+c∈故△ABC周长的取值范围是8,12．9．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求△ABC周长范围．【答案】(1)C=(2)(2+2【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可；（2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得.【详解】（1）在△ABC中，由射影定理得acosB+bcosA=c，则题述条件化简为a2由余弦定理得a2可得cosC=1所以C=π（2）在△ABC中，由正弦定理得asinA则△ABC周长C△ABC因为sinA+sin2π3-A因为△ABC为锐角三角形，A+B=2π则得A∈π故sinA+10．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(sin(1)求角C；(2)若c=23，求△ABC【答案】(1)C=2π(2)4+23【分析】（1）由正弦定理化角为边，由余弦定理求得C；（2）由正弦定理用A表示出a,b，计算a+b+c，利用两角和与差的正弦公式化简变形，再由正弦函数性质得最大值．【详解】（1）因为(sinA+sinB)2=sin2C+sinAsinB所以cosC=a2+b2（2）由（1）C=2π3，则由正弦定理asinA=bsinB=csinCa+b+c=4sinA+4sin(=4sinA+4(=4sin(A+π0<A<π3，则π3所以43A=π6时，a+b+c取得最大值11．（2023春·山西太原·高一统考期中）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知向量m=2b-c,cos(1)求A；(2)若△ABC的面积为33，求△ABC【答案】(1)A=(2)6【分析】（1）由向量共线的坐标运算可得2b-ccosA=acosC（2）根据△ABC的面积公式可得bc=12，再根据余弦定理以及基本不等式化简即可得出结论.【详解】（1）在△ABC中，A+B+C=π，∵向量m与n向量共线，∴2b-c由正弦定理可得2sinB-sinCcosA=sinAcosC∴2sinBcosA=sinA+C又A∈0,π，所以（2）因为S=12bcsinA=3由余弦定理得：a2所以b+c=a所以a+b+c=a所以周长的取值范围是6312．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asin(1)求角B的大小；(2)若a=2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围；(3)若b2=ac，且外接圆半径为2，圆心为O,P为⊙O上的一动点，试求【答案】(1)B=(2)3+(3)-2,6【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将周长转化为关于角A的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；（3）易得三角形ABC为等边三角形，取AB中点M，可得PA⋅PB=PM2-MA2=【详解】（1）依题意，由正弦定理，asinA由asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA可得a2由余弦定理2accosB=a则a2+c因为0<B<π，所以B=π（2）由△ABC为锐角三角形，B=π3，可得由正弦定理asinA=b则b=3则△ABC的周长为a+b+c=3+3由A∈π6,π2tan2π12+23所以tanA2∈（3）由正弦定理bsinB=2R，则b=23由a2+c2=则三角形ABC为等边三角形，取AB中点M，如图所示：则PA==PM由OP=2,OM=1，则PM∈1,3，则PA【点睛】方法点睛：（1）利用正余弦定理可进行边角互换用以化简条件；（2）涉及三角形周长与面积的最值问题，可将问题转化为基本不等式或三角函数来求最值；（3）外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围.13．（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：①2a=b+2ccosB；②2asin从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：___________.(1)求角C的大小；(2)若c=23，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分【答案】(1)条件选择见解析，C=π(2)4+23【分析】（1）选①，利用余弦定理求解作答；选②，利用二倍角正弦、正弦定理边化角求解作答；选③，利用二倍角的余弦公式计算作答.（2）根据给定条件，结合（1）的结论求出∠AIB，再利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.【详解】（1）选择条件①，2a=b+2ccosB，在△ABC中，由余弦定理得2a=b+2c⋅a整理得a2+b2-所以C=π选择条件②，2asinAcosB+bsin2A=23于是asinAcosB+bsinAcosA=3在△ABC中，由正弦定理得，sin2因为sinA≠0，则sinAcosB+sinBcosA=3cosC，即因为A+B+C=π，因此sinC=3cosC，即tanC=3所以C=π选择条件③，3sinC=3-2在△ABC中，因为3sinC=2-(2cos2则sinC+π6=1，又C∈0,π所以C=π（2）由（1）知，C=π3，有而∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，即有∠ABI+∠BAI=π3，于是设∠ABI=θ，则∠BAI=π3-θ在△ABI中，由正弦定理得，BIsin(所以BI=4sin(π3-θ)所以△ABI的周长为23+4sin(=23+23cosθ+2sinθ=4sin(θ+π则当θ+π3=π2，即θ=所以△ABI周长的最大值为4+23类型三：求三角形的面积典型例题：已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足ctan(1)求角A；(2)若b=2c，点D为边BC的中点，且AD=7，求△ABC【答案】(1)π(2)2试题分析：（1）根据正弦定理得到sinC（2）根据余弦定理得到BC2=10c2-28，再次利用详细解答：（1）由正弦定理，可得：sinCtanA=2A,C∈0,π，sinA≠0，sinC≠0，故（2）在△ACD中，AC在△ABD中，ABCD=BD，∠ADC=π-∠ADB,∴cos即(2c)2+c2=2⋅在△ABC中，B故BC2=3c2题型专练：14．（山东省日照市2023届高三下学期4月校际联合考试数学试题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2c-b=2acos(1)求角A的值；(2)若△ABC的面积S=323，c=【答案】(1)A=(2)直角三角形【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦变形可求得A角；（2）由三角形面积求得b，由余弦定理求得a，然后用正弦定理可得sinB,判断△ABC的形状即可.【详解】（1）因为2c-b=2acosB，由正弦定理得2sinC-sinB=2sinAcosB，sinB=2sin又B是三角形内角，sinB≠0，所以cosA=1所以A=π（2）S△ABC=1a2=b又asinA=bsinB所以B=π2,15．（2023春·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2ccos(1)求角A；(2)若△ABC的周长为33，且△ABC外接圆的半径为1，求△ABC【答案】(1)A=(2)3【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求角；（2）利用正弦定理求出边长a，然后再根据周长和余弦定理列式解出bc，从而求解面积.【详解】（1）∵2ccosA=acosB+bcosA，由正弦定理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA，因为sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC，所以2sinCcosA=sinC，因为C∈0,π，所以sinC≠0，所以cosA=又A∈0,π，所以A=（2）设△ABC外接圆的半径为R，则R=1，由正弦定理得a=2RsinA=3因为△ABC的周长为a+b+c=33，所以b+c=3由余弦定理得a2即3=12-2bc-2bc×12，所以所以△ABC的面积S=116．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足cosB=1114(1)C的大小；(2)若△ABC的外接圆半径R=1，求△ABC的面积．【答案】(1)2π(2)45【分析】（1）根据平方公式求得sinB的值，代入已知式子即可得3，根据两角和差公式与诱导公式化简求解即可得角C的大小；（2）结合正弦定理即可求得边a,b的值，再利用面积公式求解即可.【详解】（1）∵cosB=1114，B∈0,π，∴sinB=1-cos2∴sinA=sin(B+C)=5∴-514sinC=∵C∈(0,π)，∴C=2π（2）由正弦定理asinA=b∴△ABC的面积为1217．（河北省石家庄市部分学校2023届高三联考（二）数学试题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinA(1)求角B的大小；(2)若a+c=26asinC，且b=3，求【答案】(1)B=(2)3【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化简已知条件，由此求得B.（2）正弦定理求得sinC，根据余弦定理、三角形的面积公式求得正确答案.【详解】（1）依题意，sinAcosBcosC由余弦定理得sinAcosBcosC则sinAcosB=3由于sinA≠0，则tanB=3所以B为锐角，则B=π（2）由正弦定理得csinCa+c=26由余弦定理得32由a+c=2ac两边平方得代入①得2a2c2-3ac=9所以S=118．（2023春·江苏镇江·高一统考期中）在①sin2B+sin2C-记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．(1)求角A；(2)若a=7，b=1，求△ABC【答案】(1)A=(2)3【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，结合余弦定理或者三角形中两角和差的三角函数公式求得；（2）利用余弦定理求得c=3，进而求得三角形的面积.【详解】（1）选①sin2由正弦定理角化边得到：b2+c∵0<A<π,∴A=π选②acosC=2b-c由正弦定理边化角得到sinA即sin(A+C)由于sin(A+C)∴cosA∵0<A<π,∴A=π选③ccosCsinA=2b-c由正弦定理边化角得到sinCcosCsinA=2sinB-sinC∵sinC>0,∴cosCsinA=2sinB-sinC由于sin(A+C)∴cosA∵0<A<π,∴A=π（2）由余弦定理得7=1+c∴c2-c-6=0，解得c=3(∴△ABC的面积为1219．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin(1)求A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=4，AC=6，求△ABC的面积．【答案】(1)A=(2)18【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求得结果；（2）由AD是△ABC的角平分线，可得S△ABD+S【详解】（1）因为2asinA=所以根据正弦定理得：2即a由余弦定理得：a故cosA=-又A∈所以A=2π（2）因为AD是△ABC的角平分线，由S△ABD得：12所以AB=12故S△ABC20．（2023·北京丰台·统考二模）在四边形ABCD中，AB=1，(1)求BD的长；(2)求四边形ABCD的面积．条件①：cos∠DBC=条件②：∠DCB+∠DAB=π注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)选①，BD=5；选②，(2)选①，5+1；选②，【分析】（1）选①，利用余弦定理得到BD=5；选②，利用互补得到cos∠BAD+cos∠BCD=0（2）选①，在（1）的基础上，得到AB⊥AD，结合三角形面积公式求出△ABD和△BCD的面积，相加即可；选②，在（1）的基础上求出∠BAD=2π3和∠BCD=π3，利用三角形面积公式求出【详解】（1）选①，由余弦定理得cos∠DBC=D解得BD=5选②，在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD=A在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD=C因为∠DCB+∠DAB=π，所以cos∠BAD+cos∠BCD=0，即5-BD24（2）选①，BD=5，sin∠DBC=故S△BCD在△ABD中，AB2+AD2=BD所以四边形ABCD的面积为5+1选②，BD=7，故cos∠BAD=5-74因为∠DCB+∠DAB=π，所以∠BCD=π故S△ABDS△BCD故四边形ABCD的面积为32类型四：三角形面积的范围或最值典型例题：已知a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且a+cb(1)求B；(2)若b=2，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)B=(2)3试题分析：（1）应用正弦边角关系、三角形内角性质及和角正弦公式得cosB+1=3sin（2）应用余弦定理及基本不等式求得ac≤4，注意等号成立条件，再应用三角形面积公式求面积最值.详细解答：（1）由a+cb=cos则sinA+而sinA=所以cosBsinC+sinC=所以3sinB-cos由-π6<B-π6（2）由b2=a2+所以S△ABC=12ac题型专练：21．（2023·福建·统考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csin(1)求C；(2)若c=1，D为△ABC的外接圆上的点，BA⋅BD=【答案】(1)π6(2)32【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出tanC=3（2）解法一：由已知可推出BC⊥CD，然后根据正弦定理可求出2R=2，进而求出BD=2，AD=3.设BC=x，CD=y，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出BC⊥CD，然后同解法一求得AD=3.设∠CBD=θ，表示出四边形的面积，根据θ的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得AD=3【详解】（1）因为b=2csinA+在△ABC中，由正弦定理得，sinB=2sinCsinA+又因为sinB=sinπ-A-C所以sinA+C展开得sinAcosC+cosAsinC=2sinC3即sinAcosC-3因为sinA≠0，故cosC=3sinC，即又因为C∈0,π，所以C=（2）解法一：如图1设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为BA⋅BD=即BA⋅AD=0故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD.在△ABC中，c=1，2R=csin∠BCA=在△ABD中，AD=B设四边形ABCD的面积为S，BC=x，CD=y，则x2S=S△ABD≤3当且仅当x=y=2所以四边形ABCD面积最大值为32解法二：如图1设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，BD在BA上的投影向量为λBA所以BA⋅又BA⋅BD=所以BD在BA上的投影向量为BA，所以DA⊥BA.故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD.在△ABC中，c=1，2R=csin∠BCA=在△ABD中，AD=B设四边形ABCD的面积为S，∠CBD=θ，θ∈0,则CB=2cosθ，CD=2sinθ，所以S=S△ABD+S△CBD当2θ=π2时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为解法三：如图1设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为BA⋅BD=BA2所以DA⊥BA.故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD.在△ABC中，c=1，2R=csin∠BCA=在△ABD中，AD=B设四边形ABCD的面积为S，点C到BD的距离为h，则S=S△ABD+S△CBD当h=R=1时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为32解法四：设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，在△ABC中，c=1，2R=c故△ABC外接圆⊙O的半径R=1.即OA=OB=AB=1，所以∠AOB=π如图2，以△ABC外接圆的圆心为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A12,因为C，D为单位圆上的点，设Ccosα,sinα，D其中α∈0,2π，β∈所以BA=-1代入BA⋅BD=BA2即sinβ-由β∈0,2π可知β-所以解得β-π6=π6或β-当β=π3时，A，D重合，舍去；当β=π时，BD是设四边形ABCD的面积为S，则S=S由α∈0,2π知sinα≤1，所以当α=3π所以四边形ABCD面积最大值为3222．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，且(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A,B是切点，求三角形PAB面积的最大值.【答案】(1)2(2)32【分析】（1）求出圆心及半径r，再根据点F0,p2到圆M（2）设切点Ax1,y1，Bx2,y2，根据导数的几何意义求出切线PA,PB的方程，从而可求得P点的坐标，设直线【详解】（1）圆M:x2+y+32由点F0,p2到圆M上的点的距离的最小值为FM（2）由（1）知，抛物线的方程为x2=4y，即y=1设切点Ax1,y1则kPA则直线PA:y=x12联立y=x12从而得到Px设直线AB:y=kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理，得x2则Δ=16k2+16b>0且x1+x2=4k因为AB=点P到直线AB的距离d=2所以S△PAB又点P2k,-b在圆M:故k2=1-而yP=-b∈-4,-2，故当b=4【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；最值问题经常转化成函数问题处理.23．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知直线y=kx+1与抛物线C：x2=8y交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，两条切线的交点为(1)证明点D在一条定直线上；(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，求△ADE面积的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）设Ax1,y1，Bx2,y2，Dx0,（2）由（1）知D4k,-1则E为4k,2k2，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可表示出P点坐标，即可得到E为DP的中点，再用弦长公式表示出AB及D到直线y=kx+1的距离d，即可求出【详解】（1）设Ax1,y1，Bx2C在点A处的切线方程为y-y将x12=8∴x1同理x2∴A，B两点都在直线xx0=4y0∴x0=4k，y0=-1，即点（2）由（1）可知，x0=4k，即D为4k,-1，∴E为将y=kx+1与x2=8y联立得∴x1+x∴线段AB的中点为P4k,4∴D，E，P三点共线，且E为DP的中点．∵AB=D到直线y=kx+1的距离d=2∴S△ABD=1∵S△ADE∴△ADE面积的最小值为2．24．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c，且b(1)求角A的值；(2)已知D在边BC上，且BD=3DC,AD=3，求△ABC的面积的最大值【答案】(1)A=(2)4【分析】（1）由正弦定理边角互化结合和差角关系可得sin(A+B)=2sinCcosA，即可得cosA=1（2）根据向量的线性表示以及模长公式可得9=1【详解】（1）在△ABC中因为bcosA+acosB=2ccosA．由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，所以sin(A+B)=2sinCcosA，因为A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC．故sinC=2sinCcosA又C是△ABC的内角，所以sinC≠0．从而cosA=1而A为△ABC的内角，所以A=π（2）因为BD=3DC所以AD-从而9=1由基本不等式可得：9≥38bc+故△ABC的面积的最大值为1225．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a(1)求角A的大小；(2)若BC边上的中线AD=1，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)2π(2)3【分析】（1）通过三角恒等变换和正弦定理化简即可.（2）将中线AD=1转化为向量AB+AC2【详解】（1）依题意有3∴3sinAsinB=(1-cosA)sinB，又∴3sinA=1-cosA，又解得sinA=32,cosA=-∴A=2π（2）因为|所以|AB∴(|AB||故△ABC面积的最大值为S=126．（2023·河北张家口·统考一模）在△ABC中，2cos(1)求A；(2)如图，D为平面ABC上△ABC外一点，且CD=1，BD=3，若AC=AB，求四边形ABDC【答案】(1)A=(2)2【分析】（1）由2cos2A+8sin2A（2）在△BCD中，利用余弦定理得到BC2=4-23cos∠BDC，易得△ABC为等边三角形，再由∠BDC表示S【详解】（1）解：由2cos2A+8sin得22化简得4cos所以(2cosA-1)2=0，故又0<A<π，所以A=π（2）在△BCD中，BC由（1）知A=π3．又AC=AB，所以所以△ABC的面积S=3又△BCD的面积S△BCD故四边形ABCD的面积S=S=3=3当∠BDC=5π6时，四边形ABCD的面积最大，最大值为27．（2023·河南新乡·统考二模）如图，在△ABC中，D，E在BC上，BD=2，DE=EC=1，∠BAD=∠CAE．(1)求sin∠ACB(2)求△ABC面积的取值范围．【答案】(1)sin∠ACBsin∠ABC(2)(0,43【分析】（1）根据三角形面积公式结合条件可得AB⋅ADAC⋅AE=21，（2）设AC=x，根据余弦定理及三角形面积公式结合条件可表示三角形面积，然后利用二次函数的性质结合条件即得.【详解】（1）因为BD=2，DE=EC=1，∠BAD=∠CAE，所以S△ABDS△ABE故AB2A则在△ABC中，根据正弦定理可得，sin∠ACBsin∠ABC（2）设AC=x，则AB=3x，由x+3在△ABC中，cos∠ABC=A则sin2S△ABC由2(3-1)<x<2(3则0<S故△ABC面积的取值范围为(0,43类型五：其他元素的范围或最值典型例题：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA+(1)求角C；(2)设BC的中点为D，且AD=3，求a+2b【答案】(1)C=(2)2试题分析：（1）已知等式，由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求角C；（2）设∠CAD=θ，由正弦定理，把a+2b表示成θ的三角函数，利用三角函数的性质求取值范围.详细解答：（1）△ABC中，cosA+3sin所以sinC即sinC所以3sin又A∈0,π，则sinA≠0则有sinC-π6=12，又因为（2）设∠CAD=θ，则△ACD中，由C=π3可知由正弦定理及AD=3可得CD所以CD=2sinθ，所以a+2b=4sin由θ∈0,2π3可知，所以a+2b∈2即a+2b的取值范围23题型专练：28．（2023·河北·校联考二模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=7，且a+bc(1)求△ABC的外接圆半径R；(2)求△ABC内切圆半径r的取值范围.【答案】(1)7(2)r∈【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得B=π3，由2R=b（2）由正弦定理求a+c的范围，再用S△ABC=12acsinB=【详解】（1）由正弦定理，a+bc=再由余弦定理，cosB=12，又B∈0,π因为2R=bsinB=（2）由（1）可知：a2+cS则r=3在△ABC中，由正弦定理，asinA=c则a+c===14又A∈0,π3所以sinA+14sinA+π629．（2023·山东菏泽·统考二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R=22，且tan(1)求B和b的值；(2)求AC边上高的最大值.【答案】(1)B=π4，(2)22【分析】（1）把给定的等式切化弦，再逆用和角的正弦求出B，利用正弦定理求出b作答.（2）利用余弦定理、均值不等式求出ac的最大值，借助面积三角形求出AC边上高的最大值作答.【详解】（1）由tanB+tanC=2sinAcosC，得sinB因此sin(B+C)=2sinAcosB，在△ABC中，sin(π-A)=2而0<A<π，即sinA>0，于是cosB=22，又0<B<π，解得因为△ABC的外接圆半径R=22，由正弦定理得b=2RsinB=4所以B=π4，（2）由（1）知，B=π4，b=4，由余弦定理b2于是ac≤162-2=8(2+2)，当且仅当a=c时取等号，令则由12bh=所以AC边上高的最大值是2230．（2023·山东·校联考二模）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且AG⋅(1)若∠GAB=π6，求tan∠(2)求cos∠ACB的取值范围.【答案】(1)tan∠GAC=(2)cos∠BAC∈【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设AB=2，则可求C52（2）设∠GAB=θ,θ∈0,π2【详解】（1）以A为原点，AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设AB的中点为D，则D,G,C共线且DG=设AB=2，则B2,0，G32,故GC=-GB-GA=所以tan∠GAC=tan∠GAB-（2）设∠GAB=θ,θ∈0,π2故GA=-2cos故GC=-故GC=2cos2θ,2sin2θ，所以故C3cos2θ+1,3sin2θ，而CACB=故cos=8而θ∈0,π2，故2θ∈所以45≤831．（2023·全国·学军中学校联考二模）设x∈R，函数fx=cosωx+φω>0,-π2(1)求fx解析式，并通过列表､描点在给定坐标系中作出函数fx在(2)在锐角△ABC中，a,b,c分别是角A