新教材北师大版高中数学必修第一册第二章函数 知识点重点难点归纳总结汇总

第二章函数

2.1生活中的变量关系....................................................1

2.2函数................................................................3

1、函数概念.........................................................3

2、函数的表示法.....................................................8

2.3函数的单调性和最值.................................................14

1、函数的单调性....................................................14

2、函数的最大(小)值................................................18

2.4函数的奇偶性与简单的基函数........................................21

1、函数的奇偶性....................................................21

2、简单寻函数的图象和性质.........................................26

2.1生活中的变量关系

1.依赖关系

一般地，在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，

另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系.

2.函数关系

一般地，当变量x每取一个值，另一个变量，都有唯一确定的值与之对应时,

变量x,/之间具有函数关系,并且y是x的函数.

思考(1)某人坐摩天轮一圈用时8分钟.若摩天轮匀速转动，则他的高度

与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少

分钟？

(2)某人坐摩天轮一圈用时8分钟.若摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动

时间作为自变量,他的高度力为因变量，则每取一个£值，有几个力值与之对应？

［提示］(1)该人的高度与摩天轮转动时间有依赖关系.当他位于摩天轮一

半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟.

(2)每取一个2值，有唯一一个力值与之对应.

疑难解惑

□类型1依赖关系与函数关系的辨析

【例1】下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关

系？

①速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；

②家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；

③正三角形的面积和它的边长.

［解］①中在速度不变的情况下，行驶路程S与行驶时间£之间存在正比例

关系；

②中家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；

③中正三角形的面积S与其边长a间存在S=牛才的关系.

综上可知①②③中两个变量间都存在依赖关系，其中①③是函数关系.

〔......••反C®领悟........................

判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，另一个变量是否

随之变化.而判断两个变量是否具有函数关系，关键是看对于一个变量的每一个

值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应.

口类型2变量关系的表示

【例2】声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些

数据如下表：

气温x/℃05101520

音速y(米/秒)331334337340343

(1)根据表内数据作图；

(2)用x表示y；

(3)气温为22C时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃

放的烟花所在地约相距多少米.

［解］⑴

*音速y(米般)

344________________________

342-----------------------------*-------

340---------------------«--------------

338--------------------------------------

336--------------------------------------

334——«------------------------------

332T------------------------------------

330ZM而1'52025.气融/七

此图反映的是变量音速随气温的变化.

⑵由表中数据可知，气温每升高5℃,音速加快3米/秒，又过点(0,331),

3

故所求函数关系式为y=-^-+331.

□

3

(3)由(2)可知气温为22℃时，音速y=mX22+331,

0

故此人与燃放的烟花所在地约相距为5X^X22+331^=66+1655=1

721(米).

厂......••反G®领悟*....................

借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律.

2.2函数

1、函数概念

知识点1函数的有关概念

给定实数集R中的两个非空数集4和B,如果存在一个对应

关系£使对于集合力中的每一个数x,在集合8中都有唯

函数的定义

一确定的数1和它对应,那么就把对应关系/称为定义在集

合A上的一个函数

函数的记法y=f{x),x^.A

定义域集合4称为函数的定义域,x称为自变量

与x值对应的y值称为函数值，集合｛f(x)|xe⑷称为函数

值域

的值域

思考(1)有人认为“y=f(x)”表示的是“y等于F与x的乘积”，这种看

法对吗？

(2)f(x)与F(a)有何区别与联系？

［提示］(1)这种看法不对.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,

应理解为X是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或

几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当X

允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅

是函数符号，不表示“y等于F与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)

外，还常用g(x),尸(x),G(x)等来表示函数.

(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x=a时，函数f(x)的值，是一

个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)

的一个特殊值，如一次函数/U)=3x+4,当x=8时，/"(8)=3X8+4=28是一

个常数.

知识点2同一个函数

一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.如果两个函数的定义域

相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两

个函数是同一个函数.

思考:(1)函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是

否是同一个函数，只看定义域和对应关系？

(2)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？

［提示］(1)由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两

个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可.

(2)不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数.

疑难解惑

□类型1函数的概念

【例1】判断下列对应是否为集合/到集合6的函数.

(1)4=R,Q{x|x>0},f：x-^y=\x\；

(2)4=Z,B=T,f：x-^y=x；

(3)4=Z,B=Z,fi

(4)4={x|—1WxWl},B={0},f：xfy=0.

［解］(1)4中的元素0在6中没有对应元素，故不是集合力到集合6的函

数.

(2)对于集合/中的任意一个整数x,按照对应关系F：x-尸*在集合6中

都有唯一一个确定的整数/与其对应，故是集合A到集合6的函数.

(3)集合/中的负整数没有平方根，在集合6中没有对应的元素，故不是集

合力到集合8的函数.

(4)对于集合/中任意一个实数才,按照对应关系£x~*y=O在集合8中都

有唯一一个确定的数。和它对应，故是集合4到集合8的函数.

1........反G®领悟............................

1.判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)48必须是非空数集.

(2)力中任意一元素在6中有且只有一个元素与之对应.

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数

关系.

2.根据图形判断是否为函数的方法

(1)任取一条垂直于x轴的直线1.

(2)在定义域内平行移动直线1.

(3)若/与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有

两个或两个以上的交点，则不是函数.

3.在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相同.值

域相同，只是前两个要素相同的必然结果.

口类型2求函数的定义域

【例2】求下列函数的定义域.

⑴y=3-Jx；

⑵y=2\[x—\]l-7x；

x+1

(3)y=

［解］(1)函数y=3—gx的定义域为R.

得OWxW3，

⑵由,

1—7x20,

所以函数j=2《一7x的定义域为0,；

(3)由于0°无意义，故x+IWO,即x#—1.又x+2>0,即x>—2,所以x>

—2且矛工一1.

v+i°

所以函数y=一^一的定义域为3牙>一2且任一1}.

W+2

厂........反c®领悟.............................

求函数定义域的常用方法

(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.

(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

(3)若f(x)是指数昂，则函数的定义域是使暴运算有意义的实数集合.

(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交

集.

(5)若/1(X)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.

□类型3求函数值和值域

【例3】(1)已知f(x)=/^(xWR,且x#—1),g(x)=*+2(XSR),则

A2)=,f(g⑵)=.

(2)求下列函数的值域：

①y=x+l；

②了=*2—2%+3,[0,3)；

c3x—1

③尸石F

@y=2x—yfx—1.

(1)17[⑴•."5)=小，

371+x

⑵=1+2=]

又•.•g(x)=x+2,.'g⑵=22+2=6,

・'・F(g(2))—f(6)—

1十b(

(2)①(观察法)因为xWR,所以x+l£R,即函数值域是R.

②(配方法)y=*—2x+3=(x—1尸+2,由xW[0,3),再结合函数的图象(如

图)，可得函数的值域为⑵6).

3x-13x+3-4

③(分离常数法)尸x+i=x+i=3~7+i-

1

•••尸笠/的值域为(-8,3)U(3,+8).

AI1

4步寻

④(换元法)设t=y]x—l,则t2。且x=t24-l,所以y=2(t2+l)—t=

+由t^O,再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为

1.函数求值的方法

(1)已知A%)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；

(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.

2.求函数值域常用的4种方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利

用配方法求其值域；

(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比

例函数类”的形式，便于求值域；

(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求

得原函数的值域.对于f(x)=ax+什Ncx+d(其中a,b,c,d为常数，且a70)

型的函数常用换元法.

2、函数的表示法

知识点1函数的表示法

d解析法H就是用蛀型式表示两个变量之间的对应关系

的

表T图象法H就是用图象表示两个变量之间的对应关系

ZK

UU列表法H就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系

思考函数的三种表示法各有什么优缺点？

［提示］

知识点2分段函数

(1)分段函数

如果函数y=f(x),x^A,根据自变量x在4中不同的取值范围，有着不同

的对应关系，则称这样的函数为分段函数.

⑵分段函数的图象

分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据

每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实

心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.

x,x20,

思考函数y=是分段函数吗？它是一个函数还是两个函

—x,/A

数？

x,xNO,

［提示］函数尸〃是分段函数，它是一个函数.

—x,矛〈0

疑难解惑

□类型1函数的表示法

［例1］某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x

与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.

［解］⑴列表法：

x/台12345

7/元3000600090001200015000

x/台678910

加元1800021000240002700030000

(2)图象法:

(3)解析法：y=3OOOx,xW{1,2,3,…，10}.

r......,•反o®领悟•,,........................

1.解析法、列表法、图象法是从三个不同角度表示函数的对应关系，同一

个函数可用不同的方法表示.

2.在用三种方法表示函数时，要注意：

(1)解析法要注明函数的定义域；

(2)列表法选取的自变量的取值要具有代表性，应能反映定义域的特征；

(3)图象法要注意是否连线.

U类型2函数图象的作法及应用

[例2]作出下列函数的图象并求出其值域.

(l)y=2x+l,x£[0,2]；

2

(2)y=~,才£[2,+8)；

x

(3)y=x+2x,xR[—2,2].

"3,x<一2,

(4)y=<—3x,-2Wx<2,

、一3,x22.

[解]⑴当xd[0,2]时，图象是直线y=2x+l的一部分，观察图象可知,

其值域为[1,5].

2

(2)当x£[2,+8)时，图象是反比例函数尸-的一部分，观察图象可知

X

其值域为(0,1].

(3)当一2<xW2时，图象是抛物线y=*+2x的一部分.

由图可得函数的值域是[-1,8].

(4)函数对应图象如图所示：

由图可得其值域为(-6,6］.

厂........反G®领悟.............................

画函数图象的两种常见方法

(1)描点法

一般步骤：

①列表一一先找出一些(有代表性的)自变量X,并计算出与这些自变量相对

应的函数值/Xx),用表格的形式表示出来；

②描点一一从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点；

③连线一一用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.

(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.

D类型3函数解析式的求法

卜方法1用待定系数法求函数解析式

【例3】(1)已知/'(x)是一次函数，且f(f(x))=16x—25,求f(x)；

(2)已知f(x)是二次函数，且/'(x+1)+f(x—1)=2。-4x,求f(x).

［解］⑴设f(x)=4x+6(4W0),

则/(f(^))=k(kx+6)+b=Jcx+kb+6=16^-25,

1=16,

*b+b=-25,

f(x)=4x—5或f(x)=~4x+—.

(2)设f(x)=af+8x+c(aW0),

则f(x+l)1)=a(x+l)2+6(x+l)+c+a(x—l)2+6(*—l)+c=

2aV+26x+2a+2c=2/—4x,

j2a=2,a=l,

{26=-4,

b=~2,

[2a+2c=0,c=-1,

f[x)=x-2x—1.

1........反c®领悟.............................

待定系数法求函数解析式

已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，

再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解

析式.

方法2利用换元法(配凑法)求函数解析式

【例4】求下列函数的解析式：

⑴已知己F+l)=X+2，L求/Xx)；

(2)已知f(x+2)=2x+3,求f(x).

[解](1)法一：(换元法)：令力=5+1,则x=(1—I),,所以

=(t-l)2+2(t-l)=t2-l(i^l),

所以f(x)的解析式为M=7-1(^1).

法二：(配凑法)：AA/^+I)=x+2-\[x=x+2y[x+l—l=(^r+l)~—1.

因为、5+121,所以/'(x)的解析式为f(x)=1—1(x21).

(2)f(x+2)=2x+3=2(x+2)—1,

.,"(*)=2x~1.

1.......反C®领悟......一

已知f(g(x))=力(X)求/'(X),常用的两种方法

(1)换元法，即令-=g(x)解出X,代入尔X)中得到一个含亡的解析式，即

为函数解析式，注意换元后新元的范围.

(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示

力(X),然后将解析式中的g(x)用X代替即可.

方法3用方程组法求函数解析式

【例5】已知f(x)+2F(—x)=V+2x,求f(x).

［解］因为F(x)+2f(—x)=矛2+2X，将x换成一x,得f(—x)+2f(x)=V

x+2f—x=*+2x,①

一2心联立，得

—x+2fx=^~2x.

将①②两式消去/1(—x),得3f(x)=*—6才，所以f(x)=聂一2X

厂......反Q®领悟......................

已知关于f(x)与或f(—X)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一

个等式组成方程组，通过解方程组求出/"(X).

II类型4分段函数求值问题

Ix—11—2,|x\Wl,

[例6]已知函数F(x)=

I+7,3>L

⑴求的值；

⑵若f(a)=；,求a的值.

o

13

-2=

2-2-

(2)f(a)=:，若则|a—11—2=；,

oo

得a=-y或a=~~.

因为㈤Wl,所以a的值不存在；

若则孑=；,得a=土木,符合|a|>L

所以若f(a)=<，a的值为土寸1

0

「.......反c®领悟............................

分段函数求值问题的常见解法

(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段

区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次

求值.

(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分

段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验.

(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自

变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取

值范围，再求它们的并集即可.

2.3函数的单调性和最值

1、函数的单调性

知识点1增函数、减函数的概念

一般地，在函数尸/'(X)定义域内的一个区间〃上，如果对于任意的吊

RD,当水沟时，都有MX)〈F(X2),那么就称函数尸/'(x)在区间〃上是增函

数或递增的;如果对于任意的出，xFD,当为〈也时，都有/•(幻"(如,那么就

称函数y=f(x)在区间〃上是减函数或递减的.

思考.定义中的“任意为，x£D”能否改成“存在为，x£D”R

［提示］不能.

知识点2函数的单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在区间A上是增函数或减函数,那么就称函数y=f{x)在

区间4上具有单调性，区间/为函数/=『(%)的单调区间.

思考鼠⑴区间4一定是函数的定义域吗？

(2)函数在定义域上是减函数吗？

［提示］(1)不一定，可能是定义域的一部分.

(2)在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(一8,0),(0,

4-°°).

疑难解惑

□类型1函数单调性的判定与证明

【例1】求证：函数/'(x)=3在(0,+8)上是减函数，在(一8,0)上是

X

增函数.

［证明］对于任意的不，莅6(—8,0),且水场,

有f(x)—f(xj

及一为房+用

Vxi<^<0,

.,.也一用>0，用+吊<0,尤房>0.

f(x)—f(T2)<0,即f(尼).

，函数/'(x)=3在(一8,o)上是增函数.

x

对于任意的司，而£(0，+°°).且水及，有

心―吊+用

f(xj-f(*2)=

\"0<Xi<X2,

.,.x2—Xi>0,后+为>0,x泣>0.

f(xi)—f(xz)>0,即F(xJ"(为).

，函数f(x)=二在(0,十8)上是减函数.

x

厂......反G®领悟••••

利用定义证明函数单调性的4个步骤

U类型2求函数的单调区间

【例2】画出函数尸一系+2|川+3的图象，并指出函数的单调区间.

X—1"+4,x20,

［解］y=~x+2\x\+3=(

x+1"+4,x<0.

数图象如图所示.函数在(一8,—1],[0,1]上是增函数，函数

在[-1,0],[1,+8)上是减函数，所以函数的单调增区间是(一8,一口和[0,1],

单调减区间是(一1,0)和(1,+8).

[母题探究]

(变条件)将本例中“y=-V+2|x|+3"改为“y=|—V+2x+3]”,如何

求解？

[解]函数y=|—*+2x+3]的图象如图所示.,

由图象可知其单调增区间为[3,+8)；单调减

区间为(一8,-1],[1,3].')一工

厂......反G®领悟.......一

求函数单调区间的2种方法

法一：定义法.即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.

法二：图象法.即先画出图象，根据图象求单调区间.

□类型3函数单调性的应用

【例3】(1)若函数f(x)=-2(a+l)x+3在区间(-8,3]上是增函

数，则实数a的取值范围是；

⑵已知函数尸f(x)是(-8,+8)上的增函数，且/'(2x—3)>f(5x—6),

则实数x的取值范围为.

(1)(一8,—4](2)(—8,1)[(1)•.,/1(*)=一系一2(a+l)x+3的开口

向下，要使f(x)在(一8,3］上是增函数，只需一(a+l)23,即aW—4.二实数

a的取值范围为(一8,-4］.

(2)Vf(x)在(一8,十8)上是增函数，

且f(2x—3)>F(5x—6),

...2x—3〉5x—6,即x<l.

二实数x的取值范围为(一8,1).］

［母题探究］

1.(变条件)若本例(1)的函数f(x)的单调增区间为(-8,3］,求a的值.

［解］由题意知一a—1=3,即a=—4.

2.(变条件)若本例⑴的函数7'(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围.

［解］由题意可知一(a+1)W1或一(a+1)22,

即a&-3或a2—2.

的取值范围为(-8,—3］U［—2,+°°).

3.(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0,+8)上的减函数，求x的

范围.

仔3>0,

［解］由题意可知，｛5x—6>0,

-3<5x—6,

3

解得x>-

••.X的取值范围为(|,+8).

厂......反Q8领悟.....................

函数单调性的应用

(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性,

反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.

(2)若一个函数在区间［a,8］上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任

意子集上也是单调的.

2、函数的最大(小)值

函数最大值与最小值

最大值最小值

一般地，设函数尸/"(X)的定义域为〃如果存在实数"满足：

VxRD,都有

条件

f⑺二M

3AOGA使得—=M

结论"是函数y=F(x)的最大值."是函数y=f(x)的最小值

几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标

思考若函数/■(分或机则物一定是函数的最大值吗？

［提示］不一定，只有定义域内存在一点的，使/'(照)="时，，"才是函数的

最大值，否则不是.

疑难解惑

□类型1利用函数的图象求函数的最值(值域)

3-总[-1,2],

【例1】已知函数f(x)=

X—3,2,5].

(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；

(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域.

［解］(1)图象如图所示：

(2)由图可知f(x)的单调递增区间为［—1,0］,［2,5］,单调递减区间为

(0,2),值域为［-1,为.

［.....••反QSS领悟........................

利用图象求函数最值的方法

(1)画出函数y=f(x)的图象;

⑵观察图象，找出图象的最高点和最低点；

(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的

最小值.

D类型2利用函数的单调性求最值(值域)

9

【例2】已知函数

(1)判断函数在区间(-1,+8)上的单调性，并用定义证明你的结论;

⑵求该函数在区间［2,4］上的最大值和最小值.

［解］(l)f(x)在(-1,+8)上为增函数，证明如下：任取一1<%<如

2为+12用+1_______4一泾

则F(Xi)—f(%)

用+1也+1Xi+1x2+\

因为一1<为<应=为+1>0,及+1>0,*—及<0,

所以Ax)—f(x3<00F(x)〈『(在)，

所以f(x)在(-1,+8)上为增函数.

(2)由⑴知f(x)在⑵4］上单调递增,

所以f(x)的最小值为A2)

9

最大值〃4)

5'

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1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤

(1)判断函数的单调性.

(2)利用单调性求出最大(小)值.

2.函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数〃*)在区间［a,3上是增(减)函数，则f(x)在区间［a,3上的最

小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).

(2)若函数f(x)在区间［a,3上是增(减)函数，在区间［A,c］上是减(增)函

数，则F(x)在区间［a,c］上的最大(小)值是f(8),最小(大)值是f(a)与f(c)

中较小(大)的一个.

提醒：(1)求最值勿忘求定义域.

(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的

错误，求解时一定注意.

II类型3利用函数的最值解决恒成立问题

Y9y—L-o

【例3】已知函数F(x)=，xe［l,+oo).

X

⑴当时，求函数f(x)的最小值；

乙

(2)若对任意xe［l,+8),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

1/+2%+11

［解］⑴当刘=5时，f(x)=--------=才+丁+2.任取X”及£［1,+8),

2x2x

才］〈法,

则A^i)—/(^)=(^i—^)［1—T77)<0,

22k^X\X2j

所以/U)<f(xz),即函数f(x)在［1,+8)上为增函数,

,,17

所以函数/'(x)在［1,+8)上的最小值为f(l)=1+-+2=-

/T-2*T-刀

⑵法一：依题意F3=一^〉。在［1,+8)上恒成立,

即V+2x+a>0在［1,+8)上恒成立.

记y=*+2x+a,xG［1,+0°),

由y=(x+lL+a—1在［1,+8)上为增函数，知当x=l时，y取得最小值

3+a.

所以当3+a〉0,即a>—3时，F(x)〉0恒成立.

于是实数a的取值范围为(一3,+8).

Y—L9Y-\-刁

法二：依题意M=--------->0在［1,+8)上恒成立，即/+2x+a>0

x

在［1,+8)上恒成立.

所以a>—2x在［1,+8)上恒成立.

令g(x)=—*—2x,xE.［1,+°o),

因为g(x)=-f—2刀在［1,+8)上为减函数，所以g(x)1M=g(l)=-1-2

=-3,所以a>—3,

故实数a的取值范围为(-3,+8).

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分离参数法

在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解：若对区间，上的

任意x,a>F(x)恒成立，则a>f(x)而；若对于区间〃上的任意x,a〈f(x)恒成立，

则若在区间〃上存在x使a〉f(x)成立，则a>—0；若在区间〃上

存在x使a<f(x)成立，则a(f(x)a，其他(如a2f(x)等)情形类似可得相应结论.

2.4函数的奇偶性与简单的幕函数

1、函数的奇偶性

1.奇函数

(1)定义：一般地，设函数Ax)的定义域是4如果对任意的XG4有二

ej,且f(—x)=—/=),那么称函数F(x)为奇函数.

(2)图象特征：图象关于原点对称,反之亦然.

2.偶函数

⑴定义：设函数f(x)的定义域是4如果对任意的x&A,有一xe/,且/(一

x)=F(x),那么称函数f(x)为偶函数.

(2)图象特征：图象关于y轴对称,所之亦然.

3.奇偶性

当函数M是奇函数或偶函数时,称M具有奇偶性.

思考氐(1)如果定义域内存在如满足/'(—Xo)=f(x。)，函数/'(x)是偶函数

吗？

(2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x,满足a-x)=*x)或a—

x)=-f(x),那么奇、偶函数的定义域有什么特征？

［提示］(D不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立.

(2)奇、偶函数的定义域关于原点对称.

疑难解惑

□类型1判断函数的奇偶性

【例1)判断下列函数的奇偶性：

(l)f(x)=2—\x\；

(2)f(x)=y］x—］.—x；

V

(3)「(x)=-7；

X-l

x+1,x>0,

(4)f(x)=V

—x+1,矛<0.

［解］(1)..•函数/'(x)的定义域为R，关于原点对称，又/1(—x)=2一|一X|

=2-\x\=f{x),

为偶函数.

(2广.•函数函x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且/•(*)=(),又•：久一

X)--f(x),f(—x)=f(x),

既是奇函数又是偶函数.

(3)•；函数f(x)的定义域为{%|xWl},不关于原点对称，

是非奇非偶函数.

(4)f(x)的定义域是(-8,0)u(0,+8),关于原点对称.当x>0时，一

x<0,

f(—x)=1—(—^)=l+x=f(x)；

当x<0时，-x>0,

f{—x)=1+(—A)=l—X=f(x).

综上可知，对于XG(—8,0)U(0,+8),都有f(—x)=f(x),

为偶函数.

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判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：

根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下：

①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称，则函数f(x)为非

奇非偶函数，若对称，则进行下一步.

②验证.f(—x)=—f(x)或/'(—x)=F(x).

③下结论.若/'(—x)=-f(x),则/'(x)为奇函数；

若/(-X)=f(x),则F(x)为偶函数；

若f(—x)w—f(x),且f(—x)Wf(x),则f(x)为非奇非偶函数.

(2)图象法：

①若M图象关于原点对称，则/Xx)是奇函数.

②若f(x)图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数.

③若f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又

是偶函数.

④若/'(*)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则/'(x)既不是奇

函数也不是偶函数.

(3)性质法：

①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；

②奇函数的和、差仍为奇函数；

③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；

④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.

II类型2利用函数的奇偶性求参数

[例2](1)若函数f(x)=a/+Ax+3a+Z?是偶函数，定义域为[a—1,2a],

则a-,b=；

(2)已知函数f(x)=aV+2x是奇函数，则实数a=.

(1)10(2)0[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a—1=一

2a,解得a=~

o

又函数f(x)=:V+"+6+l为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b

=0.

(2)由奇函数定义有f{-x)+f(x)=0,得a(—x"+2(—x)+a/+2x=2a/

=0,故a=0.]

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利用奇偶性求参数的常见类型

(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为［a,b］，根据定义域关于原点

对称，利用a+6=0求参数.

(2)解析式含参数：根据F(-x)=-F(x)或/1(—x)=f(x)列式，比较系数利

用待定系数法求解.

D类型3利用函数的奇偶性求解析式

【例3】若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，F(x)=V—2x+3,

求f(x)的解析式.

［解］当x=O时，f(0)=0.当矛<0时，-x>0,

f(—x)=(—x)1—2(—x)+3=V+2x+3,

由于/'(x)是奇函数，故/'(x)=-f(—x),

所以f{x}=—/—2^—3.

即当x<0时，f{x)=—/—2%—3.

fx—2x+3,x>0,

故/'(x)={。，x=0，

L—x—2x—3,x<0.

［母题探究］

L(变设问)本例条件不变，求/'(—2)的值.

［解］因为/V)是定义在R上的奇函数，所以A-2)=-f(2)=-(22-

2X2+3)=-3.

2.(变条件)若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当底0时,

/'(x)的解析式.

［解］当水0时，一x>0,

f(—x)=(—X)'—2(—x)+3=f+2矛+3,

由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(-x),所以f(x)=*+2x+3,

即当x<0时，f(x)=/+2x+3.

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利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；

(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；

(3)利用f(x)的奇偶性写出一〃*)或/'(一”),从而解出/■(*).

II类型4函数单调性与奇偶性的综合

【例4】(1)已知函数y=f(x)在定义域［-1,1］上是奇函数，又是减函数,

若f(l—a2)+f(l—a)<0,求实数a的取值范围；

(2)定义在［—2,2］上的偶函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若A1-

勿)(而，求实数0的取值范围.

［解］(D由

得f(1—a2)<——a).

•尸f(x)在［―1,1］上是奇函数,

-/(I—a)—f(a—1),/./(1—a2)<f(a—1).

又•../(*)在［—1,1］上单调递减，

(i1W1—a'wi,f

-iWl—aWl,解得《0WaW2,

11—a—1,L—2<a<l.

...0Wa<l,.•.a的取值范围是［0,1).

(2),函数函x)是偶函数，.../■(X)=f(|x|).

f(l—勿)=f(|1—加I),-=f(|而|).

(—2W1—mW2,

二原不等式等价于，-2W/W2,

I1—ZZ?|>Izz?|.

解得一1・水之・

...实数加的取值范围是一1,1］.

.......••反领悟.........一

函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路

(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间

上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.

(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成

/■(*)>〃至)或/UiXfa)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式

(组)，要注意函数定义域对参数的影响.

2、简单募函数的图象和性质

知识点1塞函数的概念

一般地，形如尸为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函

数称为幕函数.

思考如何判断一个函数是累函数？

［提示］(1)(的系数为1;(2)x为自变量；(3)a为常数.

知识点2塞函数的图象与性质

(1)五种常见事函数的图象

(2)五类基函数的性质

1

解析式y=x2y=x

尸X尸；y=x^

J2

图象\|7JL上

X(V

定义域RRR{x\xWO}[0,+°°)

值域R[0,+°0)R{yly^O)[0,+°0)

非奇非偶

奇偶性直函数偶函数直函数直函数

函数

在(一8,0］在(一8,0)

在(一8,十上单调递在(-8,十上单调递