2023学年完整公开课版归纳推理

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修1-2推理与证明第三章§1归纳与类比

第三章第1课时归纳推理课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习1.理解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发展中的作用．2．了解欧拉公式的概念．1.推理的概念根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫作推理．推理一般由两部分组成：_____和_____．2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．推理前提结论归纳推理类比推理1.概念根据一类事物的__________具有某种性质，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性的推理方式，叫作归纳推理(有时简称归纳)．归纳推理是从个别到一般，由_______到______的推理．归纳推理部分事物部分整体2．特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．3．归纳推理的步骤其一般步骤为：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．合情推理的几个注意点：(1)合理推理的根据是已有的事实和正确的结论(包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验等．(2)合情推理的结论，可能为真，也可能为假．(3)合情推理不能作为数学证明的工具，但它能为我们提供证明的思路方向，对于数学的创新和发现十分有用．1.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是(

)A．27

B．28C．29 D．30[答案]

B[解析]

第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为________.[答案]

归纳推理5．观察下列等式

1＝1

2＋3＋4＝9

3＋4＋5＋6＋7＝25

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

……照此规律，第五个等式应为____________________.[答案]

5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析]

第1个等式有1项，从1开始；第2个等式有3项，从2开始；第3个等式有5项，从3开始；第4个等式有7项，从4开始．每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.课堂典例探究数式中的归纳推理

下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数：(1)1,5,9,13,17，(

)；数列中的归纳推理[分析]

要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．常用方法是对比自然数列，奇数列，偶数列，自然数的平方列找关系，分数可先理顺其分母(或分子)的规律，等等．[解析]

(1)考察相邻两数的差：5－1＝4,9－5＝4，13－9＝4,17－13＝4，可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21.[方法规律总结]

由数列的递推公式容易写出数列的前n项，观察数列的项与序号之间的关系，分析特点发现规律，猜想其通项公式，然后再给予证明是解答数列问题常用的方法．[答案]

B[解析]

当n＝1,2,3时，求得a2＝2，a3＝6，a4＝14，观察知an＝2n－2.

有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(

)A．26

B．31C．32 D．36

归纳推理在图形中的应用

[分析]

数出前三个图案中有菱形纹的正六边形个数，注意分析规律，由此规律作出推断．[解析]

有菱形纹的正六边形个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B．[答案]

B图案123…个数61116…[方法规律总结]

通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：如图，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．[答案]

16

3n＋1[解析]

数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．

设f(n)＝n2＋n＋41(n∈N＋)，计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)、f(6)的值，同时由归纳推理得到猜想，并判断所得的猜想是否正确．[错解]

f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，43、47、53、61、71、83都是素数，由此猜想对于任何n∈N＋，f(n)＝n2＋n＋41都是素数．这个猜想是正确的．[辨析]

由归纳推理得到的结论不一定是正确的．[正解]

f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋