同济大学 高等数学(上)课件D10-5对坐标曲面积分

第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质

三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲面积分

第十章2021/5/91一、有向曲面及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)机动目录上页下页返回结束2021/5/92其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定

指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定机动目录上页下页返回结束2021/5/93二、对坐标的曲面积分的概念与性质

1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为S

的平面,则流量法向量:

流速为常向量:

机动目录上页下页返回结束2021/5/94对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”

对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则机动目录上页下页返回结束2021/5/95设

为光滑的有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R

叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对的任

则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.机动目录上页下页返回结束2021/5/96引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q

在有向曲面上对

z,x

的曲面积分;称为R

在有向曲面上对

x,

y

的曲面积分.称为P

在有向曲面上对

y,z

的曲面积分;若记正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动目录上页下页返回结束2021/5/973.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用ˉ表示的反向曲面,则机动目录上页下页返回结束2021/5/98三、对坐标的曲面积分的计算法定理:

设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则证:∵取上侧,机动目录上页下页返回结束2021/5/99

•

若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则机动目录上页下页返回结束2021/5/910例1.

计算其中是以原点为中心,边长为

a

的正立方体的整个表面的外侧.解:

利用对称性.原式的顶部取上侧的底部取下侧机动目录上页下页返回结束2021/5/911解:

把分为上下两部分根据对称性

思考:

下述解法是否正确:例2.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第八卦限部分.机动目录上页下页返回结束2021/5/912机动目录上页下页返回结束2021/5/913例3.设S是球面的外侧,计算解:

利用轮换对称性,有机动目录上页下页返回结束2021/5/914四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动目录上页下页返回结束2021/5/915令向量形式(A在

n上的投影)机动目录上页下页返回结束2021/5/916例4.

位于原点电量为q的点电荷产生的电场为解:。求E

通过球面:r=R外侧的电通量

.机动目录上页下页返回结束2021/5/917例5.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:机动目录上页下页返回结束2021/5/918例6.

计算曲面积分其中解:

利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.机动目录上页下页返回结束2021/5/919原式=机动目录上页下页返回结束2021/5/920内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系

机动目录上页下页返回结束2021/5/921性质:联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲线积分的定义一个与的方向无关,一个与机动目录上页下页返回结束2021/5/9222.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动目录上页下页返回结束2021/5/923当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.机动目录上页下页返回结束2021/5/924思考与练习1.P167题2提示:

设则取上侧时,取下侧时,2.P184题13.P167题3(3)机动目录上页下页返回结束2021/5/925是平面在第四卦限部分的上侧,计算提示:求出的法方向余弦,转化成第一类曲面积分P167题3(3).

设作业

P1673(1),(2),(4);4(1),(2