大学物理课件0机械振动

第十章机械振动定义振动：任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，称为振动；机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动，称为机械振动。简谐振动；简谐振动合成；阻尼振动、受迫振动、共振。2021/5/9110.1简谐运动一、简谐运动（SimpleHarmonicMotion)物体在一定位置附近的位移变化满足简谐函数形式，称为简谐运动。弹簧振子

单摆

复摆二、基本特征以弹簧振子为例,振子受力是由牛顿第二定律得2021/5/92物体受力和加速度与位移x成正比,且方向相反（动力学特征）式中:上式可以改写为微分方程形式其解为式中A、φ是待定常数，此式称为简谐运动的运动方程。(ω称为角频率）2021/5/93位移

x按余弦函数的规律随时间变化（运动学特征）三、简谐运动的速度与加速度速度：加速度：

位移x、速度υ、加速度a三者与时间t的关系如图所示。2021/5/94四、描述简谐振动的物理量

2.周期（Priod）1.振幅（Amplitude）离开平衡点的最大量值的绝对值。给出振动量的变化幅度。注意：A、ωA、ω2A分别是位移、速度、加速度振幅。完成一次全振动所需的时间T，单位是秒（s）。2021/5/95表示：由运动方程简谐运动的周期是决定于系统自身的常量，又称为固有周期(naturalneriod)。3.频率（Frequency）物体单位时间内做完全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz）。表示:由定义可知2021/5/96式中ω是角频率,单位是rad·s-1频率ν只与振动系统自身性有关,也称为固有频率(naturalfrequency)

。4.相位与初相位(phaseandinitialphase）

一是振动的周期性由相位来反映；

二是相位确定了振动物体运动状态。

ωt+

称为相位,

称为初相位，单位是rad。1o

相位的意义是：2021/5/97

2o初相j，由开始时刻振动物体的运动状态决定由运动方程可知：t=0时刻5.相位差(phasefifference)两个简谐振动的相位之差称为相位差,用Δj表示2021/5/98表示:

1o

Δj反映两振动的步调情况：Δj=0（或2π整数倍)，同步振动Δj=π（或π奇数倍），振动步调相反Δj>0,x2振动超前;Δj<0,x1振动超前2021/5/992o

两振动到达同一状态的时间差是五、旋转矢量(rotationalvector)在

x轴上的投影为:矢径

A与

x轴夹角为:x=Acos(wt+j)(wt+j)x参考圆AAt+ox

tt=0·xxpO旋转矢量2021/5/91010.2简谐运动的能量以弹簧振子为例:2021/5/9111o动能与势能均为时间的函数，位相差为π/2，二者可以相互转化，总能量是与时间t无关的恒量。能量随时间变化能量随空间变化x2021/5/9122o考察一个周期内的动能与势能平均值在一个周期内的平均动能与平均势能相等，各是总能量的一半。2021/5/91310.3简谐运动的合成一、同频率同方向简谐振动合成合振动位移x就是x1

与x2的代数和特点:

ω1=ω2=ω,x1//x2表示:

对如下两个振动2021/5/914

合成结果为频率为w的简谐振动j1j

2jx2x2x1xM2M1MAA1A2PwwwxO

由旋转矢量法得出A、φ是：2021/5/915则：则：x1

x2

xt合振幅最大合振幅最小x1

x2

xt2021/5/916当A1=A2时：合振幅最小值是0。合振幅最大值是2A1；则A在上述两者之间。二、相互垂直同频率简谐振动的合成特点:

ω1=ω2=ω,对如下两个振动合成得到质点的轨迹方程是2021/5/917质点沿1、3(2、4）象限直线作简谐振动。=0yx

=yx2021/5/918

=3/2=5/4

=/2=/4P··Q质点轨迹正椭圆质点轨迹是任意形状椭圆。2021/5/91910.5阻尼振动受迫振动共振一、阻尼振动（dampedvibration）振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。1.阻尼模型摩擦阻尼：摩擦阻力使振动系统能量逐渐转化为热能辐射阻尼：振动系统引起临近质点的振动，使系统能量逐渐向四周辐射阻尼模型γ称为阻尼系数条件：适用于物体低速运动情况2021/5/9202.阻尼振动方程以弹簧振子为例阻尼振动微分方程或写为定义固有角频率ω0和阻尼因子β，有2021/5/921通解：（1）欠阻尼振动令A

与

由初始条件确定方程的解可写成3.三种阻尼形式txoT这时是准周期性振动:2021/5/922由通解两项都衰减，不是周期振动，不能往复运动。如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。（2）过阻尼振动（3）临界阻尼振动方程解—

衰减函数2021/5/923临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过平衡位置。三种阻尼振动比较过阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼

临界阻尼2021/5/924弹性力阻尼力驱动力二、受迫振动（forcedvibration）物体在周期性外力持续作用下发生振动，称为受迫振动，这个外力称为驱动力以弹簧振子为例，振子受力有则运动方程是2021/5/925式中受迫振动方程的解为此式表明：第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。第二项为驱动力产生的简谐运动。当系统达到稳定状态后，方程的解是2021/5/926稳定的受迫振动是一个与驱动力同频率的余弦振动，其振幅和初相是小阻尼大阻尼阻尼02021/5/927二、共振（resonance）当驱动力频率接近或等于系统固有频率时，受迫振动振幅急剧达到最大值的现象称为共振，其频率称为共振频率。由表达式利用关系小阻尼大阻尼阻尼02021/5/928共振频率与系统自身性质和阻尼常数有关。相应的最大振幅和共振频率是小阻尼大阻尼阻尼0共振危害；共振利用。振子共振鱼洗共振现象2021/5/9293证明：在小角度下单摆作简谐运动。mgFT0证明:1、细线质量不计3、阻力不计约定质点重力矩：质点动量矩：由动量矩定理2021/5/930mgFT0方程的解是：其中，单摆的周期是2021/5/931

1.、的确定：2.

(结合周期T,结合旋转矢量法)

：3.振动方程：4.振动合成：5.振动能量：2021/5/9321一水平弹簧振子做简谐振动，振幅A=410-2m，周期T=2s，t=0时，试分别写出这两种情况下的振动方程。解：[1]由初始条件[1]，且向负方向运动；[2]，且向正方向运动；2021/5/933[2]同理：

说明：利用旋转矢量法可以更方便求解初始相位。v0<0v0>0x0A/2-A/2如图：2021/5/934已知一简谐振动曲线,求振动方程.2解:

由图可知xv0>00A/2t=5,x=0:6352021/5/935一质点作简谐振动，其振动方程（SI），试用旋转矢量法求出质点由初始状态（t=0的状态）运动到x=-0.12，＜0的状态所需最短时间t。3解:由振动方程可知t=0tArw32p3p00.120.24-0.12-0.24x2021/5/936

一质点沿x轴作简谐振动，其圆频率，试写出以下初始状态下的振动方程：其初始位移

，初始速度4解：设振动方程为：2021/5/937位移是振幅一半时,动能和势能各是总能量的多少?在什么位置动能和势能各是总能量的一半?5解：（1）x=A/2代入中（2）2021/5/9386弹簧振子沿x轴做简谐振动，其振动的最大位移xm=0.3m，最大恢复Fm=1.2N，最大速度m=1.2m·s-1。t=0时刻的初位移是,且方向同x轴正方向一致。求:[1]振动能量;[2]振动方程.解:[1]2021/5/939[2]由初始条件一弹簧振子沿x轴做简谐振动，已知其振动的最大位移xm=0.3m，最大恢复力Fm=1.2N，最大速度m=1.2m•s-1.当t=0时的初位移,且方向同x轴正方向一致.求:[1]振动能量;[2]振动方程.xv0>002021/5/9407求：全振动表达式。一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，其方程分别为：（SI）解：直接考察两个振动位相差：2021/5/941一质点在x轴做谐振动，周期为T，当质点从A/2处运动到A处时经历的最短时间为[A]（A）T/12（B）T/6（C）T/8（D）T/248解：x02021/5/942

一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为(SI)，从t=0时刻起，到质点位置在x=-2cm处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为[C]s。（A）1/8（B）1/4（C）1/2（D）1/69解：x02021/5/943一质点同时参与两个在同一直线上的谐振动，其振动方程分别为，cm，则关于合振动有结论[B]。（A）振幅等于1cm，初相