第二章一元二次方程（单元测试）（解析版）

第二章一元二次方程单元测试一、单选题1．（2020·内蒙古·阿荣旗孤山学校九年级期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A． B．ax2+bx+c＝0C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x3﹣2xy﹣5y2＝0【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，对选项逐个判断即可，一元二次方程是指只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程．【详解】解：A、不是整式方程，所以不是一元二次方程，不符合题意；B、时，不是一元二次方程，不符合题意；C、是一元二次方程，符合题意；D、含有两个未知数，最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．2．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（

）A．7 B． C．6 D．【答案】B【解析】【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=-a=-3，∴a=3，∴．故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．3．（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A． B．C．且 D．【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．【详解】解：由题可得：,解得：且；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．4．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，∴，，故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．5．（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,∴,∴∵是方程的两个实数根,∵，又∴把代入整理得,解得,故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．6．（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（

）A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根【答案】B【解析】【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案．【详解】解：对于关于x的方程，∵，∴此方程有两个不相等的实数根．故选B．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【详解】解：x2-2x=2，x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．8．（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，∴可列方程为：，故选：A．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（

）A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟【答案】B【解析】【分析】设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合△PBQ的面积为15cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，依题意，得：×2t•（8-t）=15，解得：t1=3，t2=5，∵2t≤6，∴t≤3，∴t=3．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2022·全国·九年级课时练习）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，去年上半年平均每周作业时长为分钟，去年下半年平均每周作业时长为分钟，今年上半年平均每周作业时长为分钟，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，，．故选：C．【点睛】本题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题11．（2022·全国·九年级课时练习）一小球以15m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系式：h＝15t－5t2，当t＝_________时，小球高度为10m．小球所能达到的最大高度为________m．【答案】

1或2

【解析】【分析】把10代入关系式可求出t;用配方法可求出小球所能达到的最大高度．【详解】解：当h=10m时，10=15t－5t2，∴t=1或t=2;∵h＝15t－5t2=可看出当时,h最大为，故答案为:1或2;．【点拨】本题考查了利用二次函数解决实际问题，掌握利用配方法求极值是解决问题的关键．12．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是_________．【答案】或【解析】【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．【详解】解：由题意可知：或，∴或，故答案为：或．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．13．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是______．【答案】１【解析】【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解．【详解】解：∴故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．14．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．【答案】6【解析】【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．【详解】∵a－b2＝4∴将代入a2－3b2＋a－14中得：∵∴当a=4时，取得最小值为6∴的最小值为6∵∴的最小值6故答案为：6．【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．【答案】2【解析】【分析】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，依题意得：（22-x）（14-x）=240，整理得：x2-36x+68=0，解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去）．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．（2022·全国·九年级课时练习）电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为___________．【答案】【解析】【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．故答案为：：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三、解答题17．（2022·全国·九年级课时练习）用适当的方法解下列一元二次方程(1)(2)(3)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【解析】【分析】（1）本题利用直接开平方法解方程即可；（2）本题将移项到等号的左边，通过因式分解法解方程即可；（3）先将移项到等号左边，化成一般式，利用公式法解方程即可；（4）将移项到等号左边，利用因式分解法解方程即可．(1)解：直接开平方得，解得，；(2)解：由已知得，则，解得，；(3)解：由已知得，，∴，解得，；(4)解：由已知得，利用因式分解法可得，解得，．【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，可以利用直接开平方法，公式法或因式分解法，选择恰当的方法解方程是解题的关键．18．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？【答案】4【解析】【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得(50-2x)×(38-2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)答：道路的宽应为4米．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．19．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．（1），∵，∴，该方程总有两个不相等的实数根；（2）方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，，∵，∴，∴，解得：，，∴，即．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．20．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】(1)20%(2)18个【解析】【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据题意得：，解这个方程得，，，经检验，符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，由题意得：，解得．∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．21．（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断