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第二学期第一次课第五章§3实与复二次型的分类1．复、实二次型的规范形：定理复数域上的任一二次型在可逆变数替换下都可化为规范形其中是的秩.复二次型的规范形是唯一的.证明复数域C上给定二次型)()设它在可逆线性变数替换X＝TZ下变为标准型…这相当于在C上n维线性空间V内做一个基变换使对称双线性函数f（α，β）在新基下的矩阵成对角形，即设…中有r个不为零。只要把的次序重新排列一下，就可以使不为零的排在前面，而后面n－r个全为零。因此，不妨设f的标准型为…（，f的矩阵为A=(),有＝＝因T可逆，r（D）=r(A).故D中主对角线上非零元素个数r＝r（D）＝r（A）＝f的秩。因为在复数域内任意一个数都可以开平方，所以可以对上述标准型再做如下可逆线性变数替换（其中为的任一平方根）：于是f变作定理实数域上的任一二次型在可逆变数替换下都可化为规范形其中正平方项的个数称为的正惯性指数，负平方项的个数称为的负惯性指数（称为的符号差），是的秩.实二次型的规范形是唯一的.证明在实数域R上给定二次型()设f的秩为r，由上一定理的证明可知，存在R上可逆线性变数替换X＝TZ，使f化为标准型…其中…为非零实数。按同样的道理，不妨设前p个:…为正数，而余下r－p个：为负数。因为在R内任何正数均可开平方，故可做R内可逆线性变数替换于是二次型化作其中.现在证规范型的唯一性。规范型中的r等于f的秩，是唯一确定的，我们只需证明正平方项的个数p也是唯一确定的就可以了。设f有两个规范型按命题2.2的推论，这表明在R上n维线性空间V内存在一组基，使当时在V内又存在一组基，使当时，现令M=L()，则当时，(不全为零)。于是。又令N＝L（）。则当时，有

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