材料力学弯曲应力

材料力学弯曲应力1第一页，共六十页，编辑于2023年，星期日§1弯曲正应力§2

正应力强度条件§3弯曲剪应力§4剪应力强度条件梁的合理截面§5非对称截面梁弯曲弯曲中心§6考虑塑性的极限弯矩第七章弯曲应力2第二页，共六十页，编辑于2023年，星期日概述CD段：只有弯矩没有剪力－AC和BD段：既有弯矩又有剪力－Q＋－F－MFa纯弯曲剪切弯曲3第三页，共六十页，编辑于2023年，星期日剪力FS正应力s先分析纯弯梁横截面的正应力s

，再将结果推广用于剪切弯曲情况目录切应力τ弯矩M4第四页，共六十页，编辑于2023年，星期日1.实验观察

横向线仍为直线，但有转动；一、表面变形与平面假设bdacMM纵向线弯为曲线，且部分伸（下)部分缩（上）纵向③

横向线与纵向线变形后仍正交abcd横向§1弯曲正应力(NormalStressesonCrossSectionofBeam)5第五页，共六十页，编辑于2023年，星期日2.推论与假设横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动

(凹入一侧缩短)(凸出一侧伸长)中性轴中性层与横截面的交线——中性轴横截面上只有正应力，无切应力

平面假设：（由表及里，由线到面）(不受拉压应力)

内必有一层既无伸长也无缩短，一层长度不变此层称中性层.中性层6第六页，共六十页，编辑于2023年，星期日二.弯曲正应力公式应力分布不知,须考虑——变形几何关系应变－应力关系静力关系（变形分布规律）（应力分布规律）（应力－弯矩关系）7第七页，共六十页，编辑于2023年，星期日（几何方程）横截面各点线应变与该点到中性轴的距离成正比.1.变形几何：应变分布规律：r(中性层无伸缩)yz中性轴y微段dx(1)中性轴处为零.距中性轴愈远应变愈大;以中性轴为界，两侧分为伸缩应变.曲率中心CABOO1dq8第八页，共六十页，编辑于2023年，星期日2.物理关系：应力分布规律：yz(中性轴)(中性轴两侧平行而反向形成合力偶——弯矩M)代入Hooke定律：(2)中性轴处σ为零.距中性轴愈远应力愈大;(大小)(方向)（物理方程）横截面各点正应力与该点到中性轴的距离成正比.(1)以中性轴为界,两侧分为拉压应力.

σ9第九页，共六十页，编辑于2023年，星期日M3.静力关系：截面对称自动满足dA中性轴z过形心曲率(3)Myxyz(中性轴)空间平行力系10第十页，共六十页，编辑于2023年，星期日(4)弯曲正应力计算公式

z=sMyINote:（1）

y原点在中性轴（过形心）（2）＋－号可直观判断代回或根据M图（较难判时）yz(中性轴)（形心）dAyx11第十一页，共六十页，编辑于2023年，星期日适用于:三.公式适用说明1.材料线弹性但更进一步精细分析（弹性力学、光弹实验）表明，当跨度与截面高度之比L/h>5（细长梁）时，此影响可略去不计.纯弯曲公式对于剪切弯曲近似成立。3.可推广用于剪切弯曲.2.外力沿主轴(如:对称轴)——对称弯曲平面假设不再成立—剪力翘曲对正应力有影响。F（否则条件

无法满足）12第十二页，共六十页，编辑于2023年，星期日正应力公式推导:变形几何关系应力应变关系静力关系为曲率13第十三页，共六十页，编辑于2023年，星期日hb按伽利略弯曲假设(截面分为拉压两区域,均匀分布)计算弯曲正应力,误差为多少?解：yz1.按伽利略均匀分布假设2.按沿梁高线性分布:(相差三分之一)[例1]:dA*14第十四页，共六十页，编辑于2023年，星期日15KN6KN909060120BM36kNm解：1m1mK求B截面K点应力(拉?压应力?)[例2]:(拉应力)z=sMyI15第十五页，共六十页，编辑于2023年，星期日(5)截面上下边缘:maxyIWz=抗弯截面模量yz(中性轴)§2弯曲正应力强度条件一.最大正应力zbhbBhH箱形(StrengthConditionforNormalStress)16第十六页，共六十页，编辑于2023年，星期日常见截面的Iz

和WDd=a各种型钢的Iz、Wz

可从型钢表中查出zDdzD环形17第十七页，共六十页，编辑于2023年，星期日目录为使受弯构件安全工作:——强度条件（许用应力）二.强度条件（抗拉许用应力）（抗压许用应力）抗拉压不等的材料：18第十八页，共六十页，编辑于2023年，星期日1803030180120180轻型起重机,吊臂两种设计,比较两者强度.截面积相同:A1=A2

解：据强度条件:W越大，强度越高.W比即为强度之比.[例1]:19第十九页，共六十页，编辑于2023年，星期日分析思考：1.强度差异巨大的缘由?应力分布不同——2.实际工程意义

提高抗弯强度,减轻自重——举例——W愈大，抗弯强度愈高（麦杆抗倒伏……，电线杆……,桥梁箱形截面……，宜家公司…，鸟巢）z(中性轴)ydx材料分布离中性轴愈远，抗弯强度愈高zz20第二十页，共六十页，编辑于2023年，星期日风电塔筒弯曲内力目录21第二十一页，共六十页，编辑于2023年，星期日三一重工泵车22第二十二页，共六十页，编辑于2023年，星期日虎门大桥

23第二十三页，共六十页，编辑于2023年，星期日y1y2截面上下不对称:（上下斜率同）拉压应力各有其最大值(不相同).中性轴z过形心

截面上下对称:发生在所在截面.两最大值也不一定都发生在所在截面.(情况较复杂)24第二十四页，共六十页，编辑于2023年，星期日解：弯矩图危险面、点8kN1m1m1m6kN/mABD试校核强度.并说明合理放置？T

形截面铸铁梁

Iz=291cm4

[t]=40MPa

[c]=100MPa,z形心356530563667x2.53MkNm[例2]:25第二十五页，共六十页，编辑于2023年，星期日校核强度不安全当构件截面上下不对称(如T字形)且材料抗压抗拉[t]、[c]不等危险截面可能两个Mtmax材料抗压能力远高于抗拉时,使危险（最大弯矩）截面受压区高——合理Mcmax26第二十六页，共六十页，编辑于2023年，星期日y§3弯曲切应力一.矩形截面梁1、两点假设：切应力τ沿截面宽度

大小方向注:中间点——对称性;取微段dxzybhxMdxx——两截面内力分离部分2、公式推导：yQ——平衡分析……M+dM均匀分布与侧边平行周边——互等定理

(SheariogStressesonCrossSectionofBeam

)27第二十七页，共六十页，编辑于2023年，星期日两截面M不等——

左侧面右侧面顶平面(∵切应力互等)（Sz为该点一侧面积对中性轴之静矩)*dA1bdx顶面有

存在.不等,tFS28第二十八页，共六十页，编辑于2023年，星期日zyybh(随而变)τ分布规律:

(沿截面高度)呈二次抛物线状,中性处最大.上下边缘为零.29第二十九页，共六十页，编辑于2023年，星期日二.其它形式截面梁分析方法zy(切力流)(二次抛物线)2.圆截面:竖向切应力分量仍可由上式算出.

b

——

腹板厚

t——面积应包括翼缘.

腹板任一点由上式算出.

①

翼缘部分——情况较复杂:主要为水平分量,此外有竖向分量（极微小而不计）.②目录即使水平分量最大值也小于腹板部分,通常不考虑.1.工字形截面:竖向切应力计算公式：t与矩形截面相同;

30第三十页，共六十页，编辑于2023年，星期日2.校核切应力的几种情况：§4弯曲切应力强度条件1.切应力强度条件：为防止横弯曲构件出现剪切破坏:(许用切应力)顺纹抗剪能力较差的材料，各向异性材料（如木材）.

铆接或焊接的组合截面，腹板狭长时(厚度与高度比

小于型钢相应比值).梁M

较小而FS较大时，(跨度较短深梁);(StrengthConditionforShearing

Stress)31第三十一页，共六十页，编辑于2023年，星期日

悬臂梁三块木板粘接而成.胶合面许可切应力0.34MPa，木材:〔σ〕=10

MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷1.正应力强度条件剪力/弯矩图解：2.切应力强度条件[例1]:32第三十二页，共六十页，编辑于2023年，星期日3.胶合面强度条件许可载荷:(0.34MPa)33第三十三页，共六十页，编辑于2023年，星期日选构件工字钢型号解：F=200KN2501000查型钢表,

选22b2.再校核

：1.先由σ

选:50(kNm)200(kN)50[例2]不可34第三十四页，共六十页，编辑于2023年，星期日3.重选查型钢表选用25b目录——25b35第三十五页，共六十页，编辑于2023年，星期日§5

抗弯强度的影响因素一、受力合理靠近支座，减小跨度0.6L0.2L0.2Lq1/40LqL/3P/2P/2梁抗弯强度主要取决于弯曲正应力：截面合理龙门吊合理布置支座受力合理

处处相同——变截面截面合理maxMP=qLL/2L/21/41/61/8(RationalDesignofBeam)36第三十六页，共六十页，编辑于2023年，星期日二、截面合理截面积已定－W尽可能大,同样面积：50b工字钢与矩形截面（）相比

之比为6.7——如：木梁合理高宽比(英)T.Young1807年《自然哲学与机械技术讲义》:矩形木梁高宽比为σ分布规律表明:举例：Rbh北宋李诫1100年著«营造法式》:矩形木梁的合理高宽比

h/b

=1.5

对大型工程构件应考虑采用:抗弯强度6.7倍材料分布离中性轴较远更能提高抗弯强度,

37第三十七页，共六十页，编辑于2023年，星期日三、变截面梁在横力弯曲下,等截面梁大多数截面未能充分发挥其强度.举例：单臂刨伸臂、钻床的摇臂、建筑中挑梁、工程机械起重吊臂……M从强度角度看,可使横截面大小随弯矩而变——38第三十八页，共六十页，编辑于2023年，星期日闽乌龙江桥T型刚构，中间设挂梁，最后成为连续结构

（一个单元）每单元在立面上呈T型双悬臂39第三十九页，共六十页，编辑于2023年，星期日成昆线旧庄河一号桥中国铁路上首次采用悬臂拼装法施工的预应力混凝土桥，主跨为24+48+24(m)铰接悬臂梁。

（一个单元）40第四十页，共六十页，编辑于2023年，星期日厂房大梁、车辆叠板簧、闸门主梁鱼腹式吊车梁、桥阶梯轴……龙门刨横梁41第四十一页，共六十页，编辑于2023年，星期日若使受弯构件每一横截面的最大正应力均相等或：挖掘机－手臂等强度条件：——等强度梁42第四十二页，共六十页，编辑于2023年，星期日本章结束Thanks!43第四十三页，共六十页，编辑于2023年，星期日3056解：画弯矩图T形截面铸铁梁

Iz=291cm4

[L]=40MPa

[y]=100MPa,4危险面、点1m1m1mC形心2.53MkNm8kN6kN/mABD例3z试校核强度.并说明更合理放置？35653667xy1y2A3A444第四十四页，共六十页，编辑于2023年，星期日对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类截面，并使中性轴偏于受拉一方2、根据材料特性选择截面形状sGzA3A1A2A4y1y2GA445第四十五页，共六十页，编辑于2023年，星期日（二）采用变截面梁，如下图：最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为同时Px46第四十六页，共六十页，编辑于2023年，星期日§7-5非对称截面梁平面弯曲•开口薄壁截面的弯曲中心几何方程与物理方程不变PxyzO47第四十七页，共六十页，编辑于2023年，星期日依此确定正应力计算公式。剪应力研究方法与公式形式不变。弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点

（如前述坐标原点O）PxyzO48第四十八页，共六十页，编辑于2023年，星期日槽钢：非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，若是横向力，还必须过弯曲中心exyzPPsMQe49第四十九页，共六十页，编辑于2023年，星期日弯曲中心的确定:(1)双对称轴截面，弯心与形心重合(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合(4)求弯心的普遍方法：CCQyeCC50第五十页，共六十页，编辑于2023年，星期日ssss§7-6考虑材料塑性的极限弯矩（一）物理关系：全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设sessss理想弹塑性材料s-e图ssss弹性极限分布图塑性极限分布图51第五十一页，共六十页，编辑于2023年，星期日（二）静力学关系：（一）物理关系：yzxssMjx横截面图正应力分布图52第五十二页，共六十页，编辑于2023年，星期日yzxssMjx横截面图正应力分布图53第五十三页，共六十页，编辑于2023年，星期日例4试求矩形截面梁的弹性极限弯矩M

max与塑性极限弯矩Mjx之比解：54第五十四页，共六十页，编辑于2023年，星期日求曲率半径q=6