集合的基本关系Word版含解析

1.2集合的基本关系学习目标核心素养1.理解集合的包含与相等的含义．(难点)2．能识别集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养．1．Venn图为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集文字叙述对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集．符号表示若a∈A⇒a∈B，则A⊆B．图形表示性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A．(3)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．思考1：符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：“∈”表示元素与集合的关系，而“⊆”表示集合与集合的关系．3．集合相等对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B．思考2：如何证明集合相等？提示：证明这两个集合互为子集．4．真子集对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB.1．设M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1))，则下列关系正确的是()A．N∈M B．NMC．N⊆M D．N⊇MC[由1∈M，知N⊆M.]2．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆DB[根据四边形的定义和分类，可知选B.]3．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1))的子集有________个．4[集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1))的子集分别是∅，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1)).]4．已知集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(16))⊆eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a2，a＋3，7))，求实数a的值．[解](1)由已知，得16∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a2，a＋3，7))，所以a2＝16或a＋3＝16，解得a＝－4，4或13，当a＝4时，a＋3＝7，集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a2，a＋3，7))的元素不满足互异性，所以，实数a的值为－4，13.集合间的关系的判断【例1】判断下列各组中集合间的关系．(1)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x是等腰三角形))，B＝{x|x是等边三角形}；(2)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))＝0))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1))；(3)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－1<x<4))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x<5))；(4)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝n＋\f(1,2)，n∈Z))，B＝{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)))n＋1，n∈Z}．[解](1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故BA.(2)A＝B.(3)把集合A与B在数轴上表示出来，根据定义易得AB.(4)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝\f(2n＋1,2)，n∈Z))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝\f(n＋2,2)，n∈Z))，又eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝2n＋1，n∈Z))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝n＋2，n∈Z))，所以AB.判断两集合关系的常用方法(1)化简集合，从元素的属性中寻找两集合间的关系；(2)利用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．提醒：在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn图的应用，它可以直观地帮助我们发现集合间的关系．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．设A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝2n－1，n∈Z))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝2n＋1，n∈Z))，C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝4n－1，n∈Z))，判断它们之间的关系．[解]因为A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝2n－1，n∈Z))＝{x|x＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))＋1，n∈Z}⊆B，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝2n＋1，n∈Z))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))－1，n∈Z))))⊆A，所以A＝B.因为C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝4n－1，n∈Z))＝{x|x＝2×2n－1，n∈Z}⊆A，又－3∈A，但－3C，所以CA.综上，CA＝B.子集个数问题【例2】已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))M⊆eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))，试写出满足条件的所有集合M.[思路点拨]先分析集合M中元素的特点，然后分类列举．[解]集合M含有元素1，2，且含有3，4，5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：含有3个元素：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，5))；含有4个元素：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，5))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4，5))；含有5个元素：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5)).故满足条件的集合M共有上述7个集合．1．解决此类问题，一般先分析集合元素的特征，然后按集合元素个数分类列举．2．若一个集合有n个元素，则它有2n个子集；有2n－1个真子集．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．已知集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x⊆B))))，(1)写出集合A；(2)判断B与A的关系．[解](1)集合B的子集分别是∅，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，所以A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(∅，\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1))，\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2))，\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))))；(2)BA.集合间的关系的应用[探究问题]1．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1))))⊆eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤x≤b))))，试求a，b满足的条件．提示：a≤－1且b≥1.2．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤x≤b))))⊆eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1))))，试求a，b满足的条件．提示：对集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤x≤b))))是否为空集讨论，当eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤x≤b))))为空集，即a>b时，满足题意；当eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤x≤b))))非空时，－1≤a≤b≤1，故a，b满足的条件是a>b或－1≤a≤b≤1.【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B⊆A，求实数m[思路点拨]将集合间的关系转化为元素间的关系，由于B可能为空集，故需分B＝∅与B≠∅两种情况讨论．[解]当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2当B≠∅时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4.综上得m≤4.1．对于本例中的集合A，B，是否存在实数m使A⊆B?[解]若A⊆B，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<－2,2m－1>7))，该不等式组无解，故实数m不存在．2．若将本例中的“A＝{x|－2≤x≤7}”改为“A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－2，或x≥7))))”，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解]当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2当B≠∅时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＜2m－1，,2m－1≤－2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＜2m－1，,m＋1≥1，))解得m≥6，综上得x≤2或m≥6.1．对于B⊆A，在未指明B非空时，应分B＝∅与B≠∅两种情况讨论．2.对于B≠∅这种情况，在确定参数的取值时，可借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，由集合之间的关系，列出关于参数的不等式，解不等式求出参数的取值范围．1．在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn图的应用，它可以直观的帮助我们发现集合间的关系，这是数形结合思想的应用．2．若一个集合有n个元素，则它的有2n个子集；有2n－1个真子集．3．由集合间的关系求参数的取值范围时，要考虑空集是否符合题意．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空集是任何集合的真子集．()(2)任何一个集合不可能是其自身的真子集．()(3)任何一个集合至少有两个子集．()(4)若A不是B的子集，则A中至少存在一个元素不属于B.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0≤x<3))))真子集的个数是()A．3B．4C．7D．8C[因为A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，2))，所以其真子集的个数是23－1＝7.]3．设x，y∈R，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\v