高中数学北师大版选修21讲义第二章4第一课时空间向量与平行关系

§4用向量争论垂直与平行eq\a\vs4\al([对应同学用书P28])直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.问题1：假设直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，那么它们的方向向量和法向量有什么关系？提示：u1∥u2∥n1.问题2：假设l1⊥l2，l1∥π2呢？提示：u1⊥u2，u1⊥n2.问题3：假设π1∥π2，那么n1，n2有什么关系？提示：n1∥n2.1．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2，那么线线平行l∥m⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0面面平行π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)面面垂直π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0假设平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，那么这两条直线垂直．3．面面垂直的判定定理假设一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直．一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．第一课时空间向量与平行关系eq\a\vs4\al([对应同学用书P28])由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系[例1](1)设a，b分别是两条不同直线l1，l2的方向向量，依据以下条件推断l1与l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．(2)设n1，n2分别是两个不同平面π1，π2的法向量，依据以下条件推断π1，π2的位置关系：①n1＝(1，－1,2)，n2＝(3,2，－eq\f(1,2))；②n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)；③n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)．(3)设n是平面π的法向量，a是直线l的方向向量，依据以下条件推断π和l的位置关系：①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；③n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．[思路点拨]此题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系．[精解详析](1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－eq\f(1,3)b.∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0.∴a⊥b.∴l1⊥l2.③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a与b不共线，也不垂直．∴l1与l2的位置关系是相交或异面(不垂直)．(2)①∵n1＝(1，－1,2)，n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))，∴n1·n2＝3－2－1＝0.∴n1⊥n2，∴π1⊥π2.②∵n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)，∴n1＝－eq\f(3,5)n2，∴n1∥n2.∴π1∥π2.③∵n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)，∴n1与n2既不共线，也不垂直．∴平面π1和π2相交(不垂直)．(3)①∵n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴n·a＝－6＋8－2＝0.∴n⊥a.∴直线l和平面π的位置关系是lπ或l∥π.②∵n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴n＝－eq\f(1,4)a.∴n∥a.∴l⊥π.③∵n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴n和a既不共线，也不垂直．∴l与π斜交．[一点通]用向量法来判定线面位置关系时，只需推断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换．1．设直线l的方向向量为a，平面π的法向量为b，假设a·b＝0，那么()A．l∥π B．lπC．l⊥π D．lπ或l∥π解析：当a·b＝0时，lπ或l∥π.答案：D2．假设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l不在平面α内，那么能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，要使l∥α，那么a⊥n，∴a·n＝0.只有D中a·n＝0.答案：DABCD－A1B1C1D1中，E，F，H，G分别是AA1，AB，CC1，C1D1的中点，求证：EF∥HG.证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．设正方体的棱长为2，那么E，F，H，G的坐标分别为E(2,0,1)，F(2,1,0)，H(0,2,1)，G(0,1，2)．∴＝(0,1，－1)，＝(0,1，－1)．∴＝.∴∥.又∵G∉EF，∴EF∥GH.用空间向量证明线面平行问题[例2]如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，点O，D分别是AC，PC的中点，且OA＝OP，OP⊥平面ABC.求证：OD∥平面PAB.[思路点拨]思路一：证明与平面PAB的法向量垂直．思路二：证明OD与面PAB内某始终线平行．[精解详析]法一：由于AB＝BC，O为AC的中点，所以OB⊥AC，OA＝OB＝OC，如图，建立空间直角坐标系，设OA＝a，那么A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a，0,0)，P(0,0，a)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(a,2)))，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(a,2))).设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)．那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0.))由于＝(a,0，－a)，＝(－a，a,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－az＝0，,－ax＋ay＝0.))令z＝1，得x＝y＝1，所以n＝(1,1,1)，所以·n＝－eq\f(a,2)＋eq\f(a,2)＝0，所以⊥n，由于OD不在平面PAB内，所以OD∥平面PAB.法二：由于O，D分别是AC，PC的中点，所以＝－＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以∥，即OD∥AP，OD⃘平面PAB，PA面PAB，所以OD∥平面PAB.[一点通]用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面．但必需说明直线在平面外．4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥平面RSD.证明：法一：如下图，建立空间直角坐标系，那么依据题意得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0，\f(4,3)))，N(0,2,2)，R(3,2,0)，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(2,3))).∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3)))，＝.∴∥.∵M∉RS.∴MN∥RS.又RS平面RSD，MN⃘平面RSD，∴MN∥平面RSD.法二：设＝a，＝b，＝c，那么＝＋＋＝eq\f(1,3)c－a＋eq\f(1,2)b，＝＋＋＝eq\f(1,2)b－a＋eq\f(1,3)c，∴＝，∴∥，又∵R∉MN，∴MN∥RS.又RS平面RSD，MN⃘平面RSD，∴MN∥平面RSD.5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明：法一：如下图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，那么可求得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，那么n·＝0且n·＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋z＝0，,x＋y＝0.))取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又·n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD.法二：∵＝－C1M→＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,2)，∴∥.又DA1平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.用空间向量证明面面平行[例3]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD.[思路点拨]此题可通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．[精解详析]法一：如下图，建立空间直角坐标系，那么A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)．取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，连AG，QK，那么G(3,1,4)，K(1,3,4)，Q(2,2,0)．∴＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－1,1,4)，＝(－1,1,4)．可见＝，＝，∴MN∥EF，AG∥QK.又MN⃘平面EFBD，AG⃘平面EFBD.∴MN∥平面EFBD，AG∥平面EFBD.又MN∩AG＝G，∴平面AMN∥平面EFBD.法二：由法一得＝(－2,0,4)，＝(2,2,0)，＝(0,2,4)，＝(2,2,0)．设平面AMN的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·＝0，,n1·＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x1＋4z1＝0，,2x1＋2y1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z1＝\f(1,2)x1，,y1＝－x1.))令x1＝1，那么n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2))).设平面BDEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·＝0，,n2·＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝0，,2y2＋4z2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－y2，,z2＝－\f(1,2)y2，))令x2＝1，那么n2＝(1，－1，eq\f(1,2))．∴n1＝n2.∴平面AMN∥平面BDEF.[一点通]用向量法证明两面相互平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．6.如下图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD.证明：如下图，由条件知BA，BC，BB1两两相互垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由条件知B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)，设BA＝a，那么A(a,0,0)，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，4)).所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，1))，＝(0,1,1)．法一：∵·＝0，·＝0＋4－4＝0，所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.因BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.又·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0.所以B1D⊥EG，B1D⊥EF，又EG∩EF＝E，所以B1D⊥平面EFG，可知平面EGF∥平面ABD.法二：设平面EGF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·＝0，,n1·＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－z，))令y＝1，那么n1＝(0,1，－1)．设平面ABD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·＝0，,n2·＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－z，))令y＝1，那么n2＝(0,1，－1)．所以n1＝n2.所以平面EGF∥平面ABD.7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明：建立空间直角坐标系如图，那么有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，那么n1⊥，n1⊥，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·＝2x1＝0，,n1·＝2y1＋z1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,z1＝－2y1，))令z1＝2，那么y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．由于·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.又由于FC1⃘平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)∵＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥，n2⊥，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·＝2y2＋z2＝0，,n2·＝2x2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,z2＝－2y2.))令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，由于n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.1．平面的法向量确定通常有两种方法：(1)利用几何体中的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，依据它和α内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面的法向量有很多个，故可从方程组的解中取一个最简洁的作为平面的法向量．2．用空间向量处理平行问题的常用方法：(1)线线平行转化为直线的方向向量平行．(2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直．(3)面面平行转化为平面法向量的平行．eq\a\vs4\al([对应课时跟踪训练九])1．向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，假设l1∥l2，那么()A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq\f(15,2)C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝eq\f(15,2)解析：∵l1∥l2，设a＝λb，∴(2,4,5)＝λ(3，x，y)，∴x＝6，y＝eq\f(15,2).答案：D2．l∥π，且l的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，那么m＝()A．－8 B．－5C．5 D．8解析：∵l∥π，∴直线l的方向向量与平面π的法向量垂直．∴2＋eq\f(m,2)＋2＝0，m＝－8.答案：A3．假设平面α，β的一个法向量分别为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,3)，－1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，3))，那么()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．α∥β或α与β重合解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．答案：D4.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出以下结论：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：∵A1M→＝A1A→＋AM→＝A1A→＋eq\f(1,2)AB→，D1P→＝D1D→＋DP→＝A1A→＋eq\f(1,2)AB→，∴A1M→∥D1P→，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．又B1Q与D1P不平行，故②不正确．答案：C5．两直线l1与l2的方向向量分别为v1＝(1，－3，－2)，v2＝(－3,9,6)，那么l1与l2的位置关系是________．解析：∵v2＝－3v1，∴l1∥l2或l1与l2重合．答案：平行或重合6．假设平面π1的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且π1∥π2，那么y＋z＝________.解析：∵π1∥π2，∴n1∥n2.∴eq\f(－3,6)＝eq\f(y,－2)＝eq\f(2,z).∴y＝1，z＝－4.∴y＋z＝－3.答案：－37.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝eq\f(π,4)，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.证明：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．那么A(0,0,0)，B(1,0,0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，O(0,0,2)，M(0,0,1)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，0)).＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2