导数的概念及简单应用

导数的概念及简单应用明晰考情1.命题角度：考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和最值.2.题目难度：中档偏难.考点一导数的几何意义方法技巧

(1)f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率.(2)f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率.核心考点突破练√解析答案则点P的坐标为(－1,1)或(1，－1).故选D.2.设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为

A.(0,0) B.(1，－1)C.(－1,1) D.(1，－1)或(－1,1)√解析答案解析由题意可知f′(x)＝3x2＋2ax，则有f′(x0)＝

＋2ax0＝－1，3.(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为A.y＝－2x

B.y＝－xC.y＝2x

D.y＝x√解析答案解析方法一∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.方法二∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.4.设曲线y＝

在点

处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝____.1解析答案又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得a＝1.考点二导数与函数的单调性方法技巧

(1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.A.c<b<a

B.c<a<bC.b<c<a

D.a<c<b√解析答案∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数.∵3<π<5，∴f(3)>f(π)>f(5)，∴a>b>c.故选A.6.设函数f(x)＝

－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是A.(1，2] B.[4，＋∞)C.(－∞，2]

D.(0，3]√解析答案解析答案√7.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是解析∵导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，可得g′(x)＞0，故g(x)在R上为增函数，∵f(0)＝－1，∴选项C错误，故选C.考点三导数与函数的极值、最值方法技巧

(1)函数零点问题，常利用数形结合与函数极值求解.(2)含参恒成立或存在性问题，可转化为函数最值问题；若能分离参数，可先分离.特别提醒

(1)f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件.(2)函数f(x)在[a，b]上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点.8.(2017·全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为A.－1B.－2e－3

C.5e－3

D.1√解析答案解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1].由x＝－2是函数f(x)的极值点，得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2).由ex－1＞0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；

当x＞1时，f′(x)＞0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点.所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A.√解析答案10.(2018·江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为_____.解析答案－3解析f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x＞0).①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，∴f(x)在(0，＋∞)上无零点，不合题意.此时f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，

当x∈[－1，1]时，f(x)在[－1，0]上单调递增，在(0，1]上单调递减.又f(1)＝0，f(－1)＝－4，f(0)＝1，∴f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.11.已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，函数g(x)＝lnx，若在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，则实数a的取值范围是_________.解析答案∵1≤x≤2，∴h′(x)＞0，∴h(x)在[1,2]上单调递增，∴h(x)min＝h(1)＝1，1.已知f(x)＝lnx，g(x)直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于A.－1B.－3C.－4D.－2易错易混专项练√解析答案∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，于是解得m＝－2.故选D.√解析答案解析方法一(特殊值法)不具备在(－∞，＋∞)上单调递增，排除A，B，D.故选C.方法二(综合法)3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有A.1个

B.2个C.3个

D.4个√解析答案解析

由极小值的定义及导函数f′(x)的图象可知，f(x)在开区间(a，b)内有1个极小值点.4.若直线y＝a分别与直线y＝2(x＋1)，曲线y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为____.解析答案设方程x＋lnx＝a的根为t(t＞0)，则t＋lnt＝a，令g′(t)＝0，得t＝1.当t∈(0，1)时，g′(t)＜0，g(t)单调递减；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)＞0，g(t)单调递增，解题秘籍

(1)对于未知切点的切线问题，一般要先设出切点.(2)f(x)递增的充要条件是f′(x)≥0，且f′(x)在任意区间内不恒为零.(3)利用导数求解函数的极值、最值问题要利用数形结合思想，根据条件和结论的联系灵活进行转化.解析利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合.123456789101112高考押题冲刺练1.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是

解析答案√1234567891011122.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是A.(－∞，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，＋∞)√解析答案解析函数f(x)＝(x－3)ex的导函数为f′(x)＝[(x－3)·ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2.123456789101112A.4≤m≤5 B.2≤m≤4C.m≤2 D.m≤4√解析答案123456789101112可得x2－mx＋4≥0在区间[1，2]上恒成立，1234567891011124.若函数f(x)＝(x＋1)·ex，则下列命题正确的是√解析答案123456789101112解析∵f′(x)＝(x＋2)·ex，∴当x>－2时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当x<－2时，f′(x)<0，f(x)为减函数.123456789101112A.{x|x＞－2013}B.{x|x＜－2013}C.{x|－2013＜x＜0}D.{x|－2018＜x＜－2013}√解析答案123456789101112解析

构造函数g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)].当x＞0时，∵2f(x)＋xf′(x)＞0，∴g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.∴当x＋2018＞0，即x＞－2018时，(x＋2018)2f(x＋2018)＜52f(5)，即g(x＋2018)＜g(5)，∴0<x＋2018＜5，∴－2018＜x＜－2013.6.函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是

A.0 B.1C.2 D.无数123456789101112√解析答案解析函数定义域为(0，＋∞)，由于x>0，方程6x2－2x＋1＝0中的Δ＝－20<0，所以f′(x)>0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.1234567891011127.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则

√解析答案解析∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解.∵当x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.123456789101112√解析答案123456789101112解析因为f(x)＝x3－x2＋a，所以由题意可知，f′(x)＝3x2－2x在区间[0，a]上存在x1，x2(0＜x1＜x2＜a)，所以方程3x2－2x＝a2－a在区间(0，a)上有两个不相等的实根.令g(x)＝3x2－2x－a2＋a(0＜x＜a)，1234567891011129.已知函数f(x)＝axlnx，a∈R，若f′(e)＝3，则a的值为_____.解析答案解析因为f′(x)＝a(1＋lnx)，a∈R，f′(e)＝3，123456789101112解析答案1－e∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当