2022-2023学年河北省秦皇岛市重点中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年河北省秦皇岛市重点中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数z=sinπ6−iA.−12 B.−32 2.已知集合A={−1,0,A.{0} B.{0,1}3.若a∈R，则“a3>1”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图，点A为单位圆上一点，∠xOA=π3，点A沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B(A.43-310 B.-45.函数y=cosA. B.

C. D.6.某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得∠DAB=75°，∠ABD=60°，ABA.242

B.243

C.7.已知向量a，b满足(2a−b)⊥b，且b=A.5 B.52 C.−8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，∠CA.b=2a B.△ABC的周长为2+23二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知i为虚数单位，复数z=(a+A.若a=1，则z为实数

B.若a=−1，则z为纯虚数

C.若|z|=210.关于函数f(x)=A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间(π2,π)单调递增

C.11.下列结论正确的是(

)A.在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB

B.在锐角三角形ABC中，不等式b2+c2−12.关于函数f(x)=A.f(x)的图像关于点(0,0)对称 B.f(x)的定义域为{三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(tanx)=si14.已知单位向量e1，e2满足e1⋅e2=0.若a15.己知i是虚数单位，复数z=1−i|i|16.在△ABC中，点O是BC的三等分点，|OC|=2|OB|，过点O的直线分别交AB，AC或其延长线于不同的两点四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知复数z=3+bi(b=R)，且(1+3i)⋅z18.(本小题12.0分)

如图，在△ABC中，且AE=2EC，AB=3AD，BE交CD于点F．

(1)若19.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosB+bcosA=220.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=x2+2x+1ax，(a>0)

(1)当a=2时，试判断21.(本小题12.0分)

已知m=(cosx,5sinx)，n=(sinx−63cosx22.(本小题12.0分)

定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0)，且当x>1时，f(x)>答案和解析1.【答案】B

【解析】解：z=sinπ6−icosπ6=12−32i，2.【答案】B

【解析】解：∵B={x|3x≥lg10}={x|x≥log3.【答案】A

【解析】解：“a3>1”⇔a>1⇒“a2>1”，反之不成立，例如取a=−2，

因此“4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．

利用任意角的三角函数的定义，根据B的坐标求得cos(π3+α)和sin(π3+α)的值，再利用两角差的余弦公式求得cosα=cos[(π3+α)−π3]的值．

【解答】

解：∵点5.【答案】C

【解析】解：∵y=f(x)=cosx+ln|x||x|，(x≠0)，

又f(−x)=cosx6.【答案】A

【解析】解：在三角形ABD中：∠ADB=180°−75°−60°=45°，

由正弦定理得ADsi7.【答案】B

【解析】解：∵(2a−b)⊥b，

∴(2a−b)⋅b=0，即：2a⋅b−b2=0，

又∵b=(−1,2)，∴8.【答案】A

【解析】解：由C=π−A−B的，sinC=sin(A+B)，

∵sinC+sin(B−A)−2sin2A=0，

∴sin(A+B)+sin(B−A)−2sin2A=0，

化简得，sinBcosA−2sinAcosA=0，则cosA(sinB−2sinA)=0，

∴cosA=0或sinB−2sinA=0，

(1)当cosA=0，A=π2时，由∠9.【答案】AB【解析】【分析】本题考查的知识要点：复数的定义，复数的运算，复数的模，复数表示的几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

直接利用复数的定义，复数的运算，复数的模，复数表示的几何意义判断A、B、C、D的结论．【解答】解：复数z=(a+i)(1−i)=a+(1−a)i+1=(a+1)+(1−a)i，

对于A：当a=1时，z=2，故A为实数，故A正确；

对于B

10.【答案】AD【解析】解：由题意函数f(x)=2sin|x|=2sinx,x≥0−2sinx,x<0，

作出其图象如图：

由图象可知f(x)是偶函数，A正确；

f(11.【答案】AB【解析】解：对于A：在△ABC中，若A>B，则a>b，利用正弦定理：2RsinA>2RsinB，所以sinA>sinB，故A正确；

对于B：在锐角三角形ABC中，不等式cosA=b2+c2−a22cb>0，所以b2+c2−a2>0恒成立，故B正确；

对于C：若sin2A=12.【答案】BD【解析】解：函数f(x)=2x+1x−1=2(x−1)+3x−1=2+3x−1，其图象如图：

13.【答案】25【解析】解：∵函数f(tanx)=sinxcosx，x∈(−π2,π2)，

∴令tanx=12>0，x∈(−π2,π2)，∴0<x<π2，

s14.【答案】2

【解析】解：∵单位向量e1，e2满足e1⋅e2=0，且a=e1−e2，15.【答案】−1【解析】解：z=1−i|i|=1−i，

则z的虚部为16.【答案】2

【解析】解：根据题意，在△ABC中，点O是BC的三等分点，|OC|=2|OB|，

则AO=AB+BO=AB+13BC=23AB+13AC=2m3AE+n3AF，

又由点EOF三点共线，则217.【答案】解：(1)∵z=3+bi(b=R)，∴(1+3i【解析】(1)根据复数分类可解决此问题；

(2)根据复数除法运算法则先求得复数ω，然后可求得|18.【答案】解：(1)由C，F，D三点共线，

设BF=xBC+(1−x)BD=xBC+23(1−x)BA，

∵AE=2EC，∴AE=23AC，【解析】(1)利用三点共线，再结合向量的线性运算法则和平面向量基本定理，求解即可；

(2)19.【答案】解：(1)由正弦定理知sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，

即sin(A+B)=2sinCcosB，

因为A+B=π−C，C∈(0,π)，sin【解析】(1)由正弦定理结合条件有sinAcosB+sinBcosA=2sin20.【答案】解：(1)函数f(x)=x+12x+2，f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，证明如下：

设1≤x1<x2时，

则f(x1)−f(x2)=(x1−x2)+(12x1【解析】(1)先判断函数单调递增，再利用定义法设1≤x1<x2，计算f(x1)−f(21.【答案】解：(1)由已知得，f(x)=cosx⋅(sinx−63cosx)+5sinxcosx+33

=cosx⋅sinx−63cos2x+5sinx⋅cosx+33

=6co【解析】(1)根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒