三角形内角和定理的证明

北师大版八年级(上)第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理定理：平行于同一条直线的两条直线平行已知：如图，b//a,c//a求证：b//cdabc123

小明在探究三角形内角和时，是这样做的：情景引入ABC3412DE

实验法得出：

三角形三个内角的和等于180°。1、求证：三角形三个内角的和等于180°。新知探究已知：如图，△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°

。ABCDE辅助线辅助线有什么意义呢？虚线12

当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新的关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况。Ⅰ、求证：三角形三个内角的和等于180°。新知探究已知：如图，△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°

。证明：∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)延长BC至D，过点C作CE∥BA。∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义)∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)ABC∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)DE12新知归纳三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180°。2、你还有其他方法证明三角形内角和定理吗？新知探究2、在证明三角形三个内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作PQ∥BC，他的想法可行吗？新知探究已知：如图，△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°

。证明：∴∠C=∠1(两直线平行，内错角相等)过点A作PQ∥BC。∵∠1+∠2+∠CAB=180°(平角的定义)∴∠A+∠B+∠CAB=180°(等量代换)ABC∠B=∠2(两直线平行，内错角相等)PQ211、已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D和E分别在AB和AC上，且DE∥BC。求证：∠ADE=50°。巩固练习例1：如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数

？DBAC合作交流ⅰ、直角三角形的两锐角和是多少度？请证明你的结论。ABC已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°。求证：∠A+∠B=90°

。证明：∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形三个内角和等于180°)且∠C=90°(已知)∴∠A+∠B+90°=180°(等量代换)∴∠A+∠B=90°(等式性质)直角三角形两锐角互余2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。求证：∠A=∠DCB。巩固练习合作交流ⅱ、正三角形的一个内角是多少度？证明你的结论。ABC已知：如图，正△ABC。求证：∠A=∠B=∠C

=60°

。证明：∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形三个内角和等于180°)∵△ABC是正三角形(已知)∴∠A=∠B=∠C(正三角形性质)∴∠A=∠B=∠C

=60°

(等式性质)正三角形的三个内角都相等，并且都等于60°合作交流ⅲ、四边形的内角和是多少度？证明你的结论。ABCD已知：如图，四边形ABCD。求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°

。证明：∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形三个内角和等于180°)连接AC且∠DAC+∠D+∠ACD=180°(三角形三个内角和等于180°)∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°(等式性质)四边形的内角和等于360°新知归纳定理：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)正三角形的三个内角都相等，且都等于60°；(3)四边形的内角和等于360°。3、已知：如图，AB∥CD。求证：∠CAB=∠CED+∠CDE。巩固练习1、如图，已知△ABC中，∠B和∠C的平分线BE，

CF交点O。求证：∠BOC=90°+ABCEFO2、如图，已知AD是△ABD

和△ACD的公共边.求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠CABCD1234证法一：∵在△ABD中,∠1＝180°－∠B－∠3，

在△ADC中,∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理），

又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）

∴∠BDC＝360°－（180°－∠B－∠3）－（180°－∠C－∠4）

＝∠B+∠C+∠3+∠4.

又∵∠BAC＝∠3+∠4,∴∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC（等量代换）（等量代换）2、如图，已知AD是△ABD

和△ACD的公共边.求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C证法二：ABCD12思考题：如图，已知∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°，求证：AB∥CD（用两种方法证明）DFNMBAC课堂小结1、辅助线的意义：

当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新的关系，建立已知与未知间的桥梁，把