2022-2023学年安徽省合肥重点中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年安徽省合肥重点中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复平面内表示复数z=1−iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，A.3 B.23 C.43.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为(

)A.34 B.33 C.4.定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA级旅游景区.地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈“回“字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成“水环寺，楼抱殿“独特格局.某同学为测量寺内观音塔的高度MN，在观音塔的正北方向找到一座建筑物AB，高约为22.5m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A，观音塔顶部M的仰角分别为30°和45°A.32m B.39m C.45m5.已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为π2，则圆台的高为(

)A.23 B.15 C.46.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB=m

A.2 B.3 C.92 D.7.△ABC中，已知(b+c)sin(A+C)=A.2 B.4 C.−4 D.8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2A.(12,2) B.(2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法中正确的是(

)A.平面向量的一个基底{e1,e2}中，e1，e2一定都是非零向量

B.在平面向量基本定理中，若a=0，则λ1=λ2=0

10.已知i为虚数单位，则下面命题正确的是(

)A.若复数z=3+i，则1z=310−i10

B.复数z满足|z−2i|=1，z在复平面内对应的点为(11.对于△ABC，有如下命题，其中正确的有A.若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形

B.若△ABC是锐角三角形，则不等式s12.棱长为1的正方体A1B1C1D1−ABCD中，M为底面ABCD的中心，QA.三棱锥A−DMN的体积与λ的取值无关

B.当λ=12时，点Q到直线AC的距离是324

C.当λ=14时，三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于x′轴，底角为45°，两腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是______．14.已知锐角三角形ABC内接于单位圆，且BC=2，则15.根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等.若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同.如图2，一个圆柱形容器的底面半径为4cm，高为10cm，里面注入高为1cm的水，将一个半径为4cm的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为

16.已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若S1S2四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)已知复数z1=m−2i，复数z2(1)若n=1，(2)若z1=(18.(本小题12.0分)

已知向量a=(1,2)，b=(4,−3)．

(1)若向量c/19.(本小题12.0分)

如图，一个圆锥的底面半径R=3cm，高H=4cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上)．20.(本小题12.0分)

在①a+b=ccosB−bcosC，②3(ccosA−b)=asinC，③3a21.(本小题12.0分)

如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中∠B=π2,AB=a,BC=3a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A′MN).现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M与点A22.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系中，已知A(t,2t),B(8−m,8−32m),C(7−m,0)，t，m∈R，t≠0．

(1)若t=1，m=4，P为答案和解析1.【答案】C

【解析】解：z=1−ii=−1−i，

则z在复平面对应的点(2.【答案】B

【解析】解：因为平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，

所以|a|=2，3.【答案】D

【解析】解：设底面棱长为2a，(a>0)，

正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，

则侧面为等边三角形，

则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为：

34(24.【答案】C

【解析】解：由题意，在Rt△ABC中，AC=ABsin30∘=45，

在△ACM中，∠CAM=30°+15°=45°，∠ACM=180−45°−305.【答案】B

【解析】解：圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，所以PA′PA′+4=13，解得PA′=2，

因为其侧面展开图所在扇形的圆心角为π2，所以2π⋅OA=P6.【答案】C

【解析】解：AO=12(AB+AC)

=m2AM+n2AN，

∵M、O、N三点共线，7.【答案】A

【解析】解：∵在△ABC中有(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA−sinC)，

∴(b+c)sinB=(a+c)(sinA−si8.【答案】D

【解析】解：△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，

且△ABC的面积为S=12bcsinA，

由2S=a2−(b−c)2，

得bcsinA=2bc−2bccosA，

化简得sinA+2cosA=2；9.【答案】AB【解析】解：选项A：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此e1，e2一定都是非零向量，故A正确；

选项B：a=0=0⋅e1+0⋅e2，由在同一基底下向量分解的唯一性，有λ1=λ2=0，故B正确；

选项C：e1在10.【答案】AB【解析】对于A，∵复数z=3+i，

∴1z=13+i=3−i(3+i)(3−i)=3−i10=310−i10，故A正确；

对于B，∵复数z满足|z−2i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，

∴x2+(y−2)2=1，

∴x11.【答案】BC【解析】解：A由sin2A=sin2B可得2A=2B，或2A+2B=π，故A=B，或A+B=π2，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，不正确；

B.∵△ABC是锐角三角形，∴π2>A>π2−B>0，∴sinA>sin(π2−B)，化为sinA>cosB恒成立，因此正确；

C.∵sin2A+sin2B+cos2C<1，∴sin2A+sin2B<1−cos212.【答案】AB【解析】解：棱长为1的正方体A1B1C1D1−ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，

且D1Q=λD1A1，λ∈[0,1]，N为线段AQ的中点，

对于A，由VA−DMN=VN−ADM，∵N到平面ABCD的距离为定值12，且△ADM的面积为定值14，

∴三棱锥A−DMN的体积跟λ的取值无关，故A正确；

对于B，当λ=12时，Q是A1D1的中点，AQ=12+(12)2=52,AC=2,QC=2+(12)2=32，

cos∠QAC=54+2−942×52×2=11013.【答案】8+【解析】解：由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示：

这个平面图形的面积：4×(2+2+22)214.【答案】2【解析】解：如图，设圆O的半径为1，则BC=2，

∴△BOC是直角三角形，即∠BOC=90°，∴∠BAC=45°，

由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅15.【答案】1.48

【解析】解：设铁球沉到容器底端时，水面高度为h，

由图2可知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，

由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于相应圆柱的体积，

故容器内水的体积等于相应圆台的体积，

∵容器内水的体积为V水=π×42×1=16π，

相应圆台的体积为13×π×42×4−116.【答案】47【解析】解：第一步：找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系：

设圆台的母线长为l，高为h，上、下底面圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2(r1<r2)，

球的球心为O，半径为R，作出该组合体的轴截面如图所示，连接O1O2，

易知点O为O1O2的中点，则h=O1O2=2R．

设D为球O与圆台侧面的一个切点，连接OD，

根据切线长定理可得l=r1+r2，(切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等)，

所以(2R)2+(r2−r1)2=(r1+r2)2，所以R2=r1r17.【答案】解(1)因为z1=m−2i为纯虚数，所以m=0．

又n=1，

所以z1=−2i，z2=1−i，从而z1+z2=1−3i【解析】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

(1)利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

(18.【答案】解：(1)∵向量a=(1,2)，b=(4,−3)，若向量c//a，则c=(λ,2λ)，

再根据|c|=2【解析】(1)由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得c的坐标．

(2)由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出k19.【答案】解：(1)圆锥的母线长为L=R2+H2=9+16=5cm，

∴圆锥的侧面积为S侧=π⋅R⋅L=π×3×5=15πcm2；

(【解析】(1)由已知利用勾股定理求得圆锥的母线长，再由侧面积公式求解；

(2)圆柱的底面半径为r，利用三角形的相似比把r用含有x20.【答案】解：(1)若选①，a+b=ccosB−bcosC，则a+b=c×a2+c2−b22ac−b×a2+b2−c22ab，

∴a+b=2c2−2b22a，∴a2+b2−c2=−ab，

∴cosC=−12，

∵C∈(0,π)，∴C=2π3【解析】(1)若选①：利用余弦定理求出cosC，结合C的范围即可求解C的值；

若选②：由正弦定理化简，再由两角和的正弦公式，即可求得tanC，进而得到C；

若选③：由正弦定理和二倍角的正弦公式化简可得sinC2，结合C的范围即可求解C的值．

(21.【答案】解：(1)∵△AMN≌△A′MN，∴∠AMN=∠A′MN=π3，

∴∠BMA′=π3，∴BM=12A′M=12AM，

∴AM=23AB=23a，

∵AB=a，BC=【解析】本题考查了解三角形的实际应用，正弦定理及三角恒等变换，属于中档题．

(1)由题意可知A=π3，故△AMN为等边三角形，根据BM与AM的关系得出AM，代入面积公式计算；

(2)用θ表示出22.【答案】解：(1