选修12讲义精练第5章5.22间接证明反证法

5．2.2间接证明：反证法[读教材·填要点]1．反证法的定义先假设原命题的否认成立，从这个假设动身，经过推理，得出与事实相冲突的结论，这个冲突的结果说明原命题结论的否认不成立，从而间接确定了原命题结论成立，这种间接证法称为反证法．2．反证法的一般步骤(1)反设；(2)归谬；(3)结论．[小问题·大思维]1．用反证法证明命题“假设p，那么q〞时，綈q假，q即为真吗？提示：是的．在证明数学问题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者中居其一，綈q是q的反面，假设綈q为假，那么q必为真．2．反证法与逆否命题证明的区分是什么？提示：反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要消失冲突；逆否命题证明的理论依据是“p⇒q〞与“綈q⇒綈p〞是等价命题，通过证明命题“綈q⇒綈p〞为真命题来说明命题“p⇒q〞为真命题，证明过程不消失冲突．用反证法证明否认型命题直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．当点B在W上且不是W的顶点时，求证：四边形OABC不行能为菱形．[自主解答]假设四边形OABC为菱形．由于点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝kx＋m))消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，那么eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(4km,1＋4k2)，eq\f(y1＋y2,2)＝k·eq\f(x1＋x2,2)＋m＝eq\f(m,1＋4k2)，设AC的中点为M，那么Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4km,1＋4k2)，\f(m,1＋4k2)))，由于M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－eq\f(1,4k).由于k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4k)))≠－1，所以AC与OB不垂直．所以OABC不是菱形，与假设冲突．所以四边形OABC不行能是菱形．1．用反证法证明否认性命题的适用类型结论中含有“不〞“不是〞“不行能〞“不存在〞等词语的命题称为否认性命题，此类问题的正面比拟模糊，而反面比拟详细，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明：假设f(x)＝0有整数根n，那么an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，那么an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数，又∵a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数冲突．∴f(x)＝0无整数根．用反证法证明“至多〞“至少〞型命题a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．[自主解答]假设三个方程都没有实根，那么三个方程中：它们的判别式都小于0，即：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2－4－4a＋3＜0，,a－12－4a2＜0，,2a2＋4×2a＜0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＜\f(1,2)，,a＞\f(1,3)或a＜－1，⇒－\f(3,2)＜a＜－1，,－2＜a＜0.))这与a≥－1冲突，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．用反证法证明“至多〞“至少〞等问题的两个关注点(1)反设状况要全面，在使用反证法时，必需在假设中排列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)常用题型：对于否认性命题或结论中消失“至多〞“至少〞“不行能〞等字样时，常用反证法．2．a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，那么a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，这与a1＋a2＋a3＋a4>100冲突，故假设错误．所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.用反证法证明“唯一〞型命题用反证法证明：过直线a外一点A有且只有一条直线b与直线a平行．[自主解答]由两条直线平行的定义和几何图形可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.由于b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A冲突，所以假设错误，原命题成立．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有〞“当且仅当〞“唯一存在〞“只有一个〞等形式消失的命题时，由于反设结论易于推出冲突，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，假如欲证明命题的反面状况只有一种，那么只要将这种状况驳倒了就可以；假设结论的反面状况有多种，那么必需将全部的反面状况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个〞的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．3．设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．证明：由于a>1，所以f(0)＝1－a<0，f(lna)＝(1＋ln2a)elna－a＝aln2a>0，所以f(0)·f(lna)<0，由零点存在性定理可知f(x)在(0，lna)内存在零点．假设至少有2个零点，那么f(x)在(－∞，＋∞)上不单调．由得f′(x)＝(1＋x2)′ex＋(1＋x2)(ex)′＝(1＋x)2ex≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，冲突，∴假设不成立，那么f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点.证明：对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A，B关于直线y＝ax(a为常数)对称．[巧思]此题假如直接证明比拟困难，但其反面相对来说比拟简洁，因此可采纳反证法证明．[妙解]假设存在实数k，使得A，B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A，B在直线l：y＝kx＋1上；(3)线段AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))在直线y＝ax上．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ka＝－1，①,y1＋y2＝kx1＋x2＋2，②,\f(y1＋y2,2)＝a\f(x1＋x2,2).③))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝3x2－1，))得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④当k2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意．由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2，⑤由④知x1＋x2＝eq\f(2k,3－k2)，代入⑤整理得：ka＝3，这与①冲突．所以假设不成立，故不存在实数k，使得A，B关于直线y＝ax对称．1．用反证法证明命题“假设a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除〞，假设的内容应当是()A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除 D．a能被5整除解析：“至少有一个〞的反面应是“一个都没有〞．答案：B2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角〞时，反设正确的选项是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：“至多有一个〞即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个〞．答案：B3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数〞正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数答案：B4．用反证法证明假如a＞b，那么eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)，假设的内容应是________．解析：eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)的反设为eq\r(3,a)≤eq\r(3,b).答案：eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角〞有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°冲突，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确挨次为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的挨次应为③①②.答案：③①②6．三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．证明：假设eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列，那么eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，所以a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，所以(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0，即eq\r(a)＝eq\r(c).从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列冲突，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．一、选择题1．设a，b，c∈(－∞，0)，那么a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都不大于－2 B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2解析：由于a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≤－6，所以三者不能都大于－2.答案：C2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°〞时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：由于“至少有一个〞的反面是“一个也没有〞，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°〞的否认是“三角形三个内角一个也没有不大于60°〞，即“三个内角都大于60°〞．答案：B3．数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有()A．0个 B．1个C．2个 D．无穷多个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N*，那么恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.答案：A4．有以下结论：①p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的确定值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的确定值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下说法中正确的选项是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证题时肯定要将对立面找全．在①中应假设p＋q①的假设是错误的，而②的假设是正确的．答案：D二、填空题5．用反证法证明命题“a，b为整数，假设a·b不是偶数，那么a，b都不是偶数〞时，应假设为________．解析：“a，b都不是偶数〞指“a，b都是奇数〞，它的反面是“a，b不都是奇数〞．答案：a，b不都是奇数6．命题“a，b∈R，假设|a－1|＋|b－1|＝0，那么a＝b＝1〞用反证法证明时应假设为________________．解析：“a＝b＝1〞的反面是“a≠1或b≠1〞，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠17．完成以下反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：反设p为奇数，那么a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝______________________________①＝______________________________②＝0.但0≠奇数，这一冲突说明p为偶数．解析：将a1－1，a2－2，…，a7－7相加后，再分组结合计算．答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)8．假设以下两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，那么实数a的取值范围是________．解析：两个方程至少有一个方程有实根，考虑起来比拟简单，可以考虑其反面，即“两个方程都无实根〞，这样求得a的集合记为A，那么原命题所求a的取值范围即为∁RA，解法如下：假设两个方程都无实根⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝a－12－4a2＜0，,Δ2＝2a2－4－2a＜0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜－1或a＞\f(1,3)，,－2＜a＜0))⇒－2＜a＜－1.那么A＝{a|－2＜a＜－1}，故∁RA＝{a|a≤－2或a≥－1}．答案：(－∞，－2]∪[－1，＋∞)三、解答题9．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，f(c)＝0，且当0<x<c时，f(x)>0.(1)证明：eq\f(1,a)是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明：eq\f(1,a)>c.证明：(1)∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，设为x1，x2.∵f(c)＝0，∴c是f(x)＝0的一个根，