高中数学课时练4组合与组合数组合数的性质含解析新人教B版

组合与组合数、组合数的性质(15分钟35分)1．以下四个命题，属于组合问题的是()A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】选C.从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．2．若1<k<n，那么与Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))不相等的是()A．eq\f(k＋1,n＋1)Ceq\o\al(\s\up1(k＋1),\s\do1(n＋1)) B．eq\f(n,k)Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(n－1))C．eq\f(n,n－k)Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n－1)) D．eq\f(k－1,n－1)Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(n－1))【解析】选D.Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))＝eq\f(n！,（n－k）！k！)，A中，eq\f(k＋1,n＋1)Ceq\o\al(\s\up1(k＋1),\s\do1(n＋1))＝eq\f(k＋1,n＋1)eq\f(（n＋1）！,（n－k）！（k＋1）！)＝eq\f(n！,（n－k）！k！)，B中，eq\f(n,k)Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(n－1))＝eq\f(n,k)eq\f(（n－1）！,（n－k）！（k－1）！)＝eq\f(n！,（n－k）！k！)，C中，eq\f(n,n－k)Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n－1))＝eq\f(n（n－1）！,（n－k）（n－k－1）！k！)＝eq\f(n！,（n－k）！k！)，D中，eq\f(k－1,n－1)Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(n－1))＝eq\f(k－1,n－1)eq\f(（n－1）！,（n－k）！（k－1）！)＝eq\f(（n－2）！,（n－k）！（k－2）！)，故不相等．3．方程Cx2－x16＝Ceq\o\al(\s\up1(5x－5),\s\do1(16))的解集为()A．{1，3} B．{3，5}C．(1，3) D．{1，3，5，－7}【解析】选A.因为Cx2－x16＝Ceq\o\al(\s\up1(5x－5),\s\do1(16))，所以x2－x＝5x－5①，或(x2－x)＋(5x－5)＝16②，解①可得x＝1或x＝5(舍去)，解②可得x＝3或x＝－7(舍)，所以该方程的解集是{1，3}．4．若Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n＋1))－Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(n))，则n等于()A．12 B．13 C．14 D．15【解析】选C.因为Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n＋1))－Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(n))，即Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n＋1))＝Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(n＋1))，所以n＋1＝7＋8，即n＝14.5．平面凸n边形的对角线的条数为________．【解析】从n个顶点中任选2个可形成Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))条线段，其中有n条线段是凸n边形的边，故对角线条数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－n＝eq\f(n（n－3）,2)条．答案：eq\f(n（n－3）,2)6．(1)解方程：3Ceq\o\al(\s\up1(x－7),\s\do1(x－3))＝5Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(x－4)).(2)求值Ceq\o\al(\s\up1(r＋1),\s\do1(10))＋Ceq\o\al(\s\up1(17－r),\s\do1(10)).【解题指南】(1)根据排列数与组合数的阶乘公式将原方程转化为关于x的二次方程求解．(2)根据上下标的大小关系得到r的可能取值，代入求得组合数的值．【解析】(1)由排列数和组合数公式，原方程可化为3·eq\f(（x－3）！,（x－7）！4！)＝5·eq\f(（x－4）！,（x－6）！)，则eq\f(3（x－3）,4！)＝eq\f(5,x－6)，即为(x－3)(x－6)＝40.所以x2－9x－22＝0，解之可得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11是原方程的解，所以方程的解为x＝11.(2)由组合数的定义知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤r＋1≤10，,0≤17－r≤10，))所以7≤r≤9.又r∈N*，所以r＝7，8，9，当r＝7时，原式＝Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(10))＋Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(10))＝46；当r＝8时，原式＝Ceq\o\al(\s\up1(9),\s\do1(10))＋Ceq\o\al(\s\up1(9),\s\do1(10))＝20；当r＝9时，原式＝Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(10))＋Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(10))＝46.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝()A．56B．52C．50D．48【解析】选A.Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))－Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝60－4＝56.2．算式eq\f(m（m＋1）（m＋2）…（m＋20）,20！)可以表示为()A．Aeq\o\al(\s\up1(20),\s\do1(m＋20)) B．Ceq\o\al(\s\up1(20),\s\do1(m＋20))C．21Ceq\o\al(\s\up1(20),\s\do1(m＋20)) D．21Ceq\o\al(\s\up1(21),\s\do1(m＋20))【解析】选D.eq\f(m（m＋1）（m＋2）…（m＋20）,20！)＝eq\f(（m＋20）！,（m－1）！20！)＝eq\f(（m＋20）！,（m－1）！[（m＋20）－（m－1）]！)×21＝21Ceq\o\al(\s\up1(21),\s\do1(m＋20)).3．(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(100))＋Ceq\o\al(\s\up1(97),\s\do1(100)))÷Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(101))的值为()A．6B．101C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,101)【解析】选C.(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(100))＋Ceq\o\al(\s\up1(97),\s\do1(100)))÷Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(101))＝(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(100))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(100)))÷Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(101))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(101))÷Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(101))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(101)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))÷Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(101))＝eq\f(1,Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))＝eq\f(1,6).4．组合数Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))(n>r≥1，n，r∈N)恒等于()A．eq\f(r＋1,n＋1)Ceq\o\al(\s\up1(r－1),\s\do1(n－1)) B．(n＋1)(r＋1)Ceq\o\al(\s\up1(r－1),\s\do1(n－1))C．nrCeq\o\al(\s\up1(r－1),\s\do1(n－1)) D．eq\f(n,r)Ceq\o\al(\s\up1(r－1),\s\do1(n－1))【解析】选D.eq\f(n,r)Ceq\o\al(\s\up1(r－1),\s\do1(n－1))＝eq\f(n,r)·eq\f(（n－1）！,（r－1）！（n－r）！)＝eq\f(n！,r！（n－r）！)＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n)).二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．Ceq\o\al(\s\up1(90),\s\do1(99))＋Ceq\o\al(\s\up1(89),\s\do1(99))等于()A．Ceq\o\al(\s\up1(89),\s\do1(100))B．Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(100))C．Ceq\o\al(\s\up1(91),\s\do1(99))D．Ceq\o\al(\s\up1(90),\s\do1(100))【解析】选BD.由组合数的性质得：Ceq\o\al(\s\up1(90),\s\do1(99))＋Ceq\o\al(\s\up1(89),\s\do1(99))＝Ceq\o\al(\s\up1(90),\s\do1(100))＝Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(100)).6．Ceq\o\al(\s\up1(x＋1),\s\do1(10))＋Ceq\o\al(\s\up1(17－x),\s\do1(10))，x∈N的值可能是()A．7B．9C．20D．46【解析】选CD.因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≤10，,17－x≤10，,x＋1≥0，,17－x≥0，))所以7≤x≤9，又x∈N，所以x＝7，8，9.当x＝7时，Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(10))＋Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(10))＝46；当x＝8时，Ceq\o\al(\s\up1(9),\s\do1(10))＋Ceq\o\al(\s\up1(9),\s\do1(10))＝20；当x＝9时，Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(10))＋Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(10))＝46.三、填空题(每小题5分，共10分)7．Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(11))＝________．【解析】Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(11))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(11))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(11))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(11))＝…＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(11))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(11))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))＝220.答案：2208．已知Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(10))＝Ceq\o\al(\s\up1(x－2),\s\do1(8))＋Ceq\o\al(\s\up1(x－1),\s\do1(8))＋Ceq\o\al(\s\up1(2x－3),\s\do1(9))，则x＝________．【解析】因为Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(10))＝Ceq\o\al(\s\up1(x－2),\s\do1(8))＋Ceq\o\al(\s\up1(x－1),\s\do1(8))＋Ceq\o\al(\s\up1(2x－3),\s\do1(9))，所以Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(10))＝Ceq\o\al(\s\up1(x－1),\s\do1(9))＋Ceq\o\al(\s\up1(2x－3),\s\do1(9))，所以Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(10))－Ceq\o\al(\s\up1(x－1),\s\do1(9))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－3),\s\do1(9))，所以Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(9))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－3),\s\do1(9))，所以x＝2x－3，或x＋2x－3＝9，解得x＝3，或x＝4.答案：3或4【补偿训练】已知x，y满足组合数方程Ceq\o\al(\s\up1(2x),\s\do1(17))＝Ceq\o\al(\s\up1(y),\s\do1(17))，则xy的最大值是________．【解析】因为x，y满足组合数方程Ceq\o\al(\s\up1(2x),\s\do1(17))＝Ceq\o\al(\s\up1(y),\s\do1(17))，所以2x＝y，0≤x≤8或2x＋y＝17，所以xy＝2x2∈[0，128]，或2xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(289,4)，即xy≤eq\f(289,8).(当且仅当x＝y＝eq\f(17\r(2),4)时，取“＝”)综上，当2x＝y＝16时，xy取最大值128.答案：128四、解答题(每小题10分，共20分)9．解不等式Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(8))>3Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(8)).【解析】由已知，eq\f(8！,（m－1）！（9－m）！)>eq\f(3×8！,m！（8－m）！)，得eq\f(1,9－m)>eq\f(3,m)，所以m>27－3m，m>eq\f(27,4)＝7－eq\f(1,4).又因为0≤m－1≤8，0≤m≤8，m∈N，即1≤m≤8，所以m＝7或8.【补偿训练】求20Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(n＋5))＝4(n＋4)Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n＋3))＋15Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋3))中n的值．【解析】原方程可化为20×eq\f(（n＋5）！,5！n！)＝4(n＋4)×eq\f(（n＋3）！,（n－1）！4！)＋15(n＋3)(n＋2)，即eq\f(（n＋5）（n＋4）（n＋3）（n＋2）（n＋1）,6)＝eq\f(（n＋4）（n＋3）（n＋2）（n＋1）n,6)＋15(n＋3)(n＋2)，所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90，所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n≥1且n∈N*，所以n＝2.10．求式子eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(5)))－eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(6)))＝eq\f(7,10Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(7)))中的x.【解析】原式＝eq\f(x！（5－x）！,5！)－eq\f(x！（6－x）！,6！)＝eq\f(7·x！（7－x）！,10·7！)，因为0≤x≤5，所以x2－23x＋42＝0，所以x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．【补偿训练】已知eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(x－1))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(x－3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(x－3)))＝eq\f(19,5)，求x的值．【解析】由已知，Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(x－1))＝eq\f(14,5)Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(x－3))，所以5×eq\f(（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）,5！)＝14×eq\f(（x－3）（x－4）（x－5）,3！)，即(x－1)(x－2)＝56，x2－3x－54＝0，解得x＝9或x＝－6(舍去).所以所求x的值为9.【创新迁移】1．若Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(n＋1))－Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n))(n∈N*)，则n等于()A．11 B．12 C．13 D．14【解析】选B.根据题意，Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(n＋1))－Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n))变形可得，Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(n＋1))＝C