新教材2023年高中数学第四章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示法课件新人教A版选择性必修第二册

第四章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示法必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养目标·定方向素养目标·定方向学习目标核心素养通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法(列表、图象、通项公式)以及数列的分类数学抽象逻辑推理了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质数学抽象理解数列的通项公式的意义，并学会求一些简单数列的通项公式数学抽象逻辑推理必备知识·探新知1．定义：按_____________排列的一列数叫做数列．2．项：数列中的___________叫做这个数列的项．3．形式：a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中an是数列的第____项，第1项也叫做首项．练一练：已知数列2，4，6，…，2n，…，则2022是数列中的第________项．知识点1数列的概念确定的顺序每一个数n

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数列{an}是从_____________(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的__________，记为___________．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序___________时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列_______．另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么f(1)，f(2)，…，f(n)，…构成了一个数列{f(n)}．知识点2数列与函数的关系正整数集N*

第n项an

an＝f(n)

依次取值{an}

想一想：数列与函数有怎样的区别与联系？提示：(1)以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．(2)数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法．(3)要注意数列的特殊性(离散型)．由于数列的定义域是N*(或它的有限子集{1，2，…，n})，所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用___________来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．想一想：数列的通项公式的本质是什么？知识点3数列的通项公式一个式子练一练：1．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6，则a4＝______．[解析]

a4＝42－7×4＋6＝－6.2．数列1，3，5，7，…的通项公式为____________．－6

an＝2n－1

知识点4数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数_______的数列无穷数列项数_______的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都_______它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都_______它的前一项的数列常数列各项都_______的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限大于小于相等练一练：下列说法中正确的是

(

)A．数列1，－2，3，－4，…是一个摆动数列B．数列1，2，…，2022是无穷数列C．{an}与an是相同的概念D．数列－2，3，6，8可以表示为{－2，3，6，8}A

关键能力·攻重难题型探究 (1)下列说法正确的是 (

)B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列1，2，3，…是无穷数列D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11能构成数列题型一数列的概念及分类典例1C

[解析]

D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选C．C

[规律方法]

解答数列概念题要紧扣相关定义，观察数列的项数特征，确定是有穷数列还是无穷数列，观察项的特点、变化规律确定增减性、周期性，也可以借助函数的单调性判断数列的增减．【对点训练】❶(1)下列有关数列的说法正确的是 (

)①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关．A．①②

B．①③

C．②③

D．③[解析]

①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；②是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故选D．D

其中，有穷数列是_____，无穷数列是___________，递增数列是_______，递减数列是_____，常数列为_____．(将正确的序号填在横线上)[答案]

①

②③④⑤

①②

③

⑤

[解析]

①是有穷递增数列，②是无穷递增数列，③是无穷递减数列，④是无穷数列，也是摆动数列；⑤是无穷数列，也是常数列．

写出下列数列的前5项，并作出它们的图象：(1)按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列；(2)an＝－n＋1.题型二数列的表示方法典例2[解析]

(1)前5项为2，3，5，7，11，函数图象如图(1)所示．(2)前5项为0，－1，－2，－3，－4，函数图象如图(2)所示．[规律方法]

数列是特殊的函数，其定义域是正整数集(或其有限子集)，故数列也可以用表格和图象来表示．【对点训练】❷请用列表法和图象法表示数列2，4，6，8，10.[解析]

列表法：图象法：n12345an246810

写出下面各数列{an}的一个通项公式：(1)9，99，999，9999，…；(2)1，－3，5，－7，9，…；(4)3，5，9，17，33，….[分析]

观察给出的前几项，归纳、猜想出通项公式．题型三根据数列的前n项写出数列的一个通项公式典例3[解析]

(1)各项加1后，变为10，100，1000，10000，…，新数列{bn}的通项公式为bn＝10n，可得原数列{an}的一个通项公式为an＝10n－1.(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…是连续的正奇数，记为数列{bn}，则数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，考虑到(－1)n＋1具有转换正负号的作用，所以原数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．(4)3可看作21＋1，5可看作22＋1，9可看作23＋1，17可看作24＋1，33可看作25＋1，…，所以数列{an}的一个通项公式为an＝2n＋1.[规律方法]

根据数列的前n项写出其一个通项公式的方法首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律．(2)将数列的各项分拆成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可将分子、分母分别求通项；(3)当一个数列各项的符号出现“＋”“－”相间时，应把符号分离列出，可用(－1)n或(－1)n＋1来实现；(4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时，可以考虑用分段的形式给出，也可以将给出的各项统一化成某种形式．

已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？(3)数列{an}中有多少个负数项？[分析]

(1)分别将n＝4，n＝6代入通项公式，即可求得a4，a6；(2)令an＝－49，an＝68，分别求得n的值，若n∈N*，则是数列的项，否则不是该数列的项；(3)令an<0，求出n的范围，范围内正整数的个数即数列{an}中负数项的个数．题型四数列中的项的求解与判断典例4[规律方法]

判断某数是否为数列中的项的方法及步骤(1)将所给项代入通项公式中．(2)解关于n的方程．(3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．【对点训练】❹(1)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n，则下列各数中不是数列中的项的是

(

)A．2

B．40

C．56

D．90[解析]

由题意令an＝n2－n＝2，可得n＝2(负值舍去)，为正整数，即2是{an}的项；同理令an＝n2－n＝40，可得n不为正整数，即40不是{an}的项；令an＝n2－n＝56，可得n＝8(负值舍去)，为正整数，即56是{an}的项；令an＝n2－n＝90，可得n＝10(负值舍去)，是正整数，即90是{an}的项．故选B．B

易错警示忽视数列中n的取值范围致误

已知数列{an}的通项公式为an＝n－7，则数列{nan}的最小项为第_______项．典例53或4

课堂检测·固双基C

[解析]

②正确，其余均不对．A

3．数列－1，3，－5，7，－9，…的一个通项公式为 (

)A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n)C．an＝(－1)n(2n－1)

D．an＝(－1)n＋1(2n－1)[解析]

选项A、B、D中，a1＝1不满足，排除A、B、D，故选C．C

C