自考线性代数重点总结

第一章行列式

一.行列式的定义和性质

1.余子式Mg和代数余子式&的定义

01-1

-101-1

例1行列式第二行第一列元素的代数余子式=()

101

-11-10

A.-2B.-1

C.1D.2

测试点余子式和代数余子式的概念

01-11

1-111-11

-101-1

2+|

解析,=(-1)21二一-101二—0-12=—1

1-101

1-1000-1

-11-10

答案B

2.行列式按一行或一列展开的公式

1)==2囱&'，=1'2,…〃;(|川=同“=2%＞』=1,2,…〃)

"1=1"j=l

e“(1Alk=jRf|A|k=i

2)y«，4.=v1；y=4

金户[0k^j,Jkl[0k^i

例2设某3阶行列式的第二行元素分别为T,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1则此行列式的值

为.

测试点行列式按行(列)展开的定理

2+l2+22+3

解D=(-1)-A21+2A22+3A23=(-1)(-l)M21+2(-1)M22+3(-1)A/23

=—3—4—3=—1

例3已知行列式的第一列的元素为1,4,-3,2,第二列元素的代数余子式为2,3,4,x问x=.

测试点行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.

解因第一列的元素为1,4,-3,2,第二列元素的代数余子式为2,3,4,x,故1X2+4X3+(—3)X4+2X=0

所以x=—1

式;

3.行列式的性质

1）田=w

2）用数女乘行列式的某一行（列）所得新行列式=原行列式的上倍.推论

3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论

4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.

5）行列式可以按任一行（列）拆开.

6）行列式的某一行（列）的左倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.

a\\a\2a\32a}l2al22al3

例4已知。21。22。23=3,那么=()

。31。32。33一2〃3]_2ayi_2。33

A.-24B.-12

C.—6D.12

测试点行列式的性质

2。||2。122〃13a\1a\2。13

解析a2\。22423=2x(-2)a22a23

一2%1一2〃32一2%3“31。32。33

答案B

例5设行列式％仇=1,%q=2,则％d+。=(

)

a2b2a2c2a2b2+c2

A.—3B.-1

C.1D.3

测试点行列式的性质

4b[+qq4a,

解=3

a2b2+c2a2h2a2

故应选D

答案D

二.行列式的计算

1.二阶行列式和三角形行列式的计算.

2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.

3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.

4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.

5.范德蒙行列式的计算公式

参

1114

1131

例6求4阶行列式'的值.

1211

1111

测试点行列式的计算

1141114

02一3

1131002-302

解=10—3=(—3)=6

21101010

00

1111000

123233

例7计算3阶行列式249499

367677

123233100233100203

解249499—200499—200409=0.

⑴+(-1X2)(2)+(-1)(3)

367677300677300607

xaaa

例8计算行列式：“xaa

aaxa

aaax

测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.

Xaaax+3aaaax+3aaaa

aXaax+3〃Xaa0x-a00

解D=——

aaXClx+3aaXCl00x-a0

ClaaXx+3〃aaX000x-a

=(x+3a)(x-〃)3.

ab0■■■00

0ab…00

00。…00

例9计算行列式0“=

000­••a

/700…0a

测试点行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算

四

a&000

0ah-00

00«•••00

n+l

解2==aAlt+bAnl=aMu+b(-\)Mn]=a"+(—1)»方

000•­•a

h00…0a

00…01

00…20

例10计算行列式。6

05•••00

60•••00

000110••00

002002.■00

3

解(-1)=-6!

2(1)76)

0500(2)0(5)00••50

⑶c(4)

60000006

1xx2x3

1248

例11设O(x)

13927

141664

问⑴D(x)中,d项的系数=?(2)方程O（x）=0有几个根？试写出所有的根。

测试点1.范德蒙行列式的判别和计算公式;2.行列式按行（列）展开的定理.

124

解⑴x3项的系数=A|4=(—1)5139=—(3—2)(4—2)(4—3)=—2

1416

(2)因为Z)(x)=(2—x)(3—x)(4—x)(3—2)(4—2)(4—3)

所以方程Z)(x)-0有三个根：%]=2,x2=3,X3—4.

第二章矩阵

一、矩阵的概念

1.要弄清矩阵与行列式的区别

2.两个矩阵相等的概念

3.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）

二、矩阵的运算

伍

1.矩阵A,8的加、减、乘有意义的充分必要条件

2、'123、

例1设矩阵A=(l,2),B=，c=,则下列矩阵运算中有意义的是（)

34,d56,

A.ACBB.ABC

C.BACD.CAB

测试点：矩阵相乘有意义的充分必要条件

答案：B

120、‘100、

例2设矩阵A210,B=021则A+28=.

00b、013,

测试点：矩阵运算的定义

20、'200、'320、

解A+2B210+042=252

0oL(026J、027；

1，2、

例3设矩阵AB,则万8=

273

测试点：矩阵运算的定义

2

解“6=(1,2)=8.

37

2.矩阵运算的性质

比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结

合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式

的不同点.

{(A+B)2=A2+AB+BA+B2-(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2-

(AB)k=ABAB--AB^AkBk;(A+E)2=A2+2A+E

1122

如果A6=。，可能AH0,8H。.例如A=都不为零，但46=0.

-1-1-2-2

3.转置对称阵和反对称阵

1)转置的性质

(A+B)T=±BT-(2A)r=AAT-,(ABC)T=CTBTAT

2)若A，=A（Ar=-A）,则称A为对称（反对称）阵

例4矩阵A,5,C为同阶方阵，则（A8C）,=（)

_i^

A./lrBrCrB.。丁夕川

C.CZVD./lrCr5r

答案：B

例5设a=(1,2,3),夕=(1,一1,1),令A=a'p，试求相.

测试点矩阵乘法的一个常用技巧

'(\-11V

解因为AnaT/?=2-22，所以

13-331

\X//

A'=ar/3aT[3aT/3aT/3aT/3-aT{/3aT)(/3aT)(/7a7){(3aT)f3

T-1-1I--1-11

=(做=1,1)2i52(1,-1,D=252-22=322-22

aP3-33__3-33

1-11

答案322—22

3-33

例6A为任意〃阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（）

A.A+ATB.A-AT

C.AATD.ATA

解析（A+A，），=A7+（/f）T=A，+A=A+AT.故A+A，为对称阵.

(A-尸=”—A=—(A—).故A-A7■为反对称阵.

（AAT）T=AA。故44,为对称阵.同理"A也为对称阵.

答案B

'1-11,

例7已知矩阵4=,E为2阶单位矩阵，令6=42-34+2已求8

23

测试点方阵多项式的概念;

10

8=屋一3A+2E=+2

23201

-1-43-31120-2-1

69_|+[()2

8720

4.方阵的行列式的性质

七

|^|=K；K|=±；M=K-.

例7设4为〃阶方阵，4为实数，则|九4|=()

A.A\A\B.

C./T|A|D.|4|A|

答案：C

2、12、

例8矩阵A=，则行列式

445

解析|吐卜,忸+喘=(-2).言=|.

-2

答案一.

3

5.逆矩阵

1)方阵A可逆(也称非异，A满秩)的充分必要条件是|A*0.当A可逆时，

AT=二4*.

同

41…Ari

A?2…A”？

其中方阵A的伴随阵A*的定义A*=；

-4.4〃…A*

QAT1

特别当ad-be。0时，a=一1d-b

cd\aa-be-ca

重要公式

A4*=A*A=|A|E；田=田1；A*与A”的关系

2)重要结论：若〃阶方阵满足A8=E,则A,8都可逆，且AT=8,8"=A.

3)逆矩阵的性质：

=A;;当270时，(/LAV=-A-'-(ABy'=B-'A~\(A7)-1=(A-I)r；|父1=工.

2111^1

4)消去律：设方阵A可逆，且AB=AC(BA=C4),则必有B=C.(若不知A可逆，

仅知Aw0结论不一定成立o)

6.分快矩阵

矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进行(包括分块矩阵和子块的运算)如

八

B.1

AjA[0+AB+A3B3

AAiA213,B=B0,ABl22

“22423_

-%

分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置

AiA2,"A*耳•••AL

Ai422'''4"A』A22"•A：2

A„lA»2Amk_A；A；*•••%_

准对角阵的逆矩阵:如果A，人,…,4都是可逆阵，则

4o…o4T0­••0

oA2…o0石|o

1

00•••Ak00…A；

(a

例9二阶矩阵4=，则A*=()

(cd)

七二

测试点伴随矩阵的定义，二阶方阵的伴随阵

答案：A

'100、

例10三阶阵A220,则A*A=

、333,

测试点重要公式AA*=A*A=\A\E.

600

答案6E060

006

<200、

例11A363,则卜*卜

k532)

解=6?=36

12

例12设A为2阶可逆矩阵，且已知(24尸则4()

34

九

12」12

A.2B.

34234

-i

12112

C.2D.

34234

测试点逆矩阵的性质

1212故A」12

解由（2A）T，所以2A

3434234

答案D

10]、

例13设A=210，求A,

-32-57

测试点求逆矩阵的方法

解

01100、e)+(-2)(1)101100、

[AE]=2100108)+3(!)01-2-210

I-32-5001>02-230

10I100101100

(3)+(-2)(2)01-2-21001-2-210—>

0027-217

001-1

22

52

1001

（2）+2⑶22

。网-1）（3））01051

7J

001

22.

5]_

1

-22

所以A-51

7

22

注意一定要验算

例14已知4-2A—8E=O,则(A+E)T

测试点关于逆矩阵的重要推论

若A,8都是〃阶矩阵，且满足A3=与，则4,B都可逆，S.A-'=B,B'A.

解由42—24—8E=。得A2+A—34-3E-5E=O,即(4+E)(4-3E)=5E,

壹拾

即(A+E):3£)==,故(4+后尸=((A-3E).

答案(A+E)r=；G4—3E).

例15设A是〃阶方阵，且(A+E)2=0,证明A可逆.

测试点若46=£则4,8都可逆，且4一1=B,BT=A.

证因为(A+E)2=。，即A?+24+E=0,所以—A(A+2E)=E

故A可逆，且AT=—(A+2E).

例16设〃阶方阵A满足A"'=。，其中加为正整数，证明E—A可逆，且

(E-A)-'=E+A+A2+---+Am-'

分析只要检查(E-A)(E+A+A?+...+A”")=E即可

证因为(E—A)(E+A+A2+…+A"i)=

=E-A+A-A2+A2-+----AI"

=E—A"=E.

故(E-A)T=E+A+A?+…+A"i

三、矩阵的初等变换和初等矩阵

1.初等变换的定义和性质

称矩阵的下列三种变换为初等行变换：

（1）两行互换；

（2）某一行乘一个非零的数；

（3）某一行的k倍加到另一行上。

类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换.

方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）

初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换

必能将矩阵A化为标准形E，°,其中r为矩阵A的秩.

00

如果矩阵4经过有限次的初等变换变成B,则称矩阵A与8等价.等价矩阵有相等的秩,从而有相等的等价标

准形.

2.初等矩阵的定义和性质

1）初等矩阵的定义;初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵.

2）初等变换和矩阵乘法之间的关系

3）对任意机x〃阶矩阵A,总存在一系列机阶初等阵乙,…，&和一系列”阶初等阵。1,2,…,Q/,使得

老拾老

ErO

利…QQ

4）矩阵〃zx〃阶A与8等价的充分必要条件是存在一系列机阶初等阵6,g,…，〃和一系列〃阶初等阵

0,。2产，0,使得4，・442©2-。/=氏

例17下列矩阵中，是初等矩阵的为（）

-01~\

10'

A.B.-101

00

001

-10o--010"

C.010D.003

101100

测试点初等矩阵的定义和性质

100

解析C.010是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。

101

答案C

a\\a\2。13

例18设三阶矩阵A=“21。22。23,若存在初等矩阵P,使得

%]%2〃33_

-2〃31。12-2%2a\3-2a33

PA=a2\a22a23，则p=1]

_031。32°33_

-10o-'10-2''10o--1-2O-

A.010B.010c.-210I).010

-201001oo001

测试点矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系

答案B

四、矩阵的左阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法

1矩阵的上阶子式的概念

2矩阵秩的概念定义。矩阵的秩为0,对于非零矩阵A,如果有一个r阶子式不等于0,而所有的r+1阶子

式（如果有的话）都等于0,则称矩阵A的秩为r.显然〃阶可逆矩阵的秩等于〃，故可逆阵又称是满秩的.阶

梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.

3.等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）；从而矩阵A左乘（右乘）可逆阵其秩不变.反之两个

老拾武:

同形矩阵只要秩相等，则二者必等价.

4.求矩阵秩的方法

’10-10、

例19设矩阵A=0-234,则4中()

、0005,

A.所有2阶子式都不为零B.所有2阶子式都为零

C.所有3阶子式都不为零D.存在一个3阶子式不为零

测试点矩阵的左阶子式的概念.

答案D

’101、

例20设矩阵A=020，矩阵8=A—E,则矩阵8的秩*3)

0

测试点矩阵秩的概念

001

解B=A—E=010

000

答案r(B)=2

2-13、

例21设矩阵4=48-412问a为何值时,

、36—3u.

(1)秩(A)=l；

(2)秩(A)=2.

测试点求矩阵秩的方法

"12-1J(2)+(-4)(1)12-1312-13

解A=48-412⑶0000->000a-9

、36-3ay000。一90000

所以当。=9时，秩(A)=l;当”工9时，秩(4)=2

例22设A为加X〃矩阵，。是〃阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,则矩阵6=AC的秩为

测试点用可逆矩阵左(右)乘任意矩阵A,则A的秩不变.

答案r

例23设3阶方阵A的秩为2,则与A等价的矩阵为()

‘111、'111、

A.000B.011

、000,、00

有拾参

‘111、」11、

C.222D.222

、000,、333,

答案B

测试点矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价.

解因为A,C,D的矩阵的秩都为1,B的矩阵的秩等于2.故答案应为B.

五、矩阵方程的标准形及解的公式

AX=8nX=A-%;

XA=B=>X=BA-'-

A,=5nX=

"21、13、

例24设矩阵4=B,求矩阵方程XA=8的解X.

,537207

测试点解矩阵方程的方法

13I3-1-125

解X=BA-

[20』矶-526-2

验算!

10-1

例25设A5均为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，且满足：46+七=42+8.若已知4=020，求矩阵

-101

B.

测试点解矩阵方程的方法

解因为AB+E=A2+B,故AB—B=

从而(A—E)8=A2-E=(A-E)(A+E),又

10-1100-00-1

A—E=020—010=010，显然A-E可逆，应用消去律得

-101001-100

20-1

B=A+E030

-102

10-120-1100

验算AB+E020030+010

-101-102001

有拾四

30-310040-3

060+010=070

-303_001-304

'20-2-20-1--40-3

A2+B=040+030=070

-202-102一?04

所以确有AB+E^A2+B

23-30-11120

例26已知A=,B=,c=,D，矩阵X满足方程

10-21120101

AX+BX^D-C,求X。

测试点求矩阵方程的解

解由AX+6X=O—C得(A+8)X=O—C

故X=(4+8尸(O—C)

-1213-1

其中A+B,D-C

-110-21

2131-2-1-31

[A+BD-C]■»

10-2-110-21

1-311-2-1-31

0-520115-2

1017-3

->

0115-2

17-3

所以X

15-2

验算

老拾伍

第三章向量空间

一、〃维向量线性运算的定义和性质；

例1.已知%-5%+2%=2其中,q=(3,4,-1),4=(1,0,3),1=(0,2,-5),

贝％=______________•

测试点”维向量线性运算的定义和性质

解因为%-5a2+2。3=尸，所以

吗=；(r—a：+5a；)=；［

L2J

故以=(卜I,?)(请验算)

2

答案a=(1,-1,—).

32

例2设向量%=(1,1,1y,％=(1,1,0)。%=(1,0,0)7,夕=(0,1,1y，则夕由%%，%线性表出的表示式为

测试点向量由向量组线性表示;组合系数的求法

解考虑x}at+x2a2+x3a3=0

该线性方程组的增广矩阵

11101110

a2a32]=110100-11^

10010-1-11

111011011001

-^-011-101000100

001-1001-1001-1

所以£=%一03

答案夕=卬—。3(验算!)

二、〃维向量组的线性相关性

1.向量组的线性相关性的定义和充分必要条件:

有拾六

i）定义：设/,a2,…,%，是一组〃维向量•如果存在机个不全为零的数4,4,…，儿“，使得

4,+/12a2+…+=0，

则称向量组线性相关，否则，即如果4%+/12a2+…+44=0,必有

4=否=…=4=0,则称向量组小%，…，%，线性无关•

2）m个〃维向量四,a2,…,4,,（，〃>2）线性相关的充分必要条件是至少存在某个6是其余向量的线性组合.

即,,。2,…,区”（能>2）线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.

例3设向量组4,a2,…,a,线性相关，则必可推出（）

A.%,。2,…,《中至少有一个向量为零向量

B.q中至少有两个向量成比例

C.%,02,…,《中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合

D.a,,a2,---,as中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合

测试点向量组线性相关的概念

答案C

例4向量组%,&2,…,见线性无关的充分条件是

A.%,。2,《都不是零向量

B.ava2,---,ax中任意两个向量都不成比例

C.%,。2,《中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合

D.区,。2,…,见中任意s-l个向量都线性无关

测试点向量组线性相关的概念；充分条件;必要条件;充分必要条件.

「2-

解a,=,a,=都不是零向量，但e,a,线性相关.

12

10

0=1中任意两个向量都不成比例,且其中任意3-1=2个向量都线性无关,

00

但%,a2,火线性相关・故A,B,D都不正确.

答案C

例5.设向量组线性无关，证明向量组=%+4，A=/—。2也线性无关•

测试点向量组线性无关的定义；

证设k血+&％=0

因为/J,=+a2,=a,-a2

则k]（a,+%）+与（%一％）=0

壹拾七

即(kx+女2)。1+伏1一后2)。2=0

匕+鼠=0

因为%,心线性无关，故〈，所以只能匕=e=0-

[K,-K2=0

这表明若w+k血=o,必有匕=心=o•据向量组线性无关的定义,知P、,A也线性无关

例6.若向量组%=（3,1,。）,%=（4,。,0）,。3=（1，0，。）线性无关，则。可能的取值应满足

测试点〃个〃维向量线性无关=相应的行列式W0;

341341

(3)+(-a)⑴

a；a[a：2

解。=二1a0=1a0--4a+2a-2a{a-2)0

a0a-2a-4a0

所以a70,且4H2.

答案awO,且2.

2.关于线性相关的儿个定理

1）如果向量组药,。2,…,%，线性无关，而ai,a2,---,am,/3线性相关，则尸可由名，（^，…,a,“线性表示，且表

示法唯一.

2）线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.（部分相关，则整体相关;或整体无关,则部分

无关）

3）若向量组%=（%,生2,…，。加）/=1,2,…,，〃线性无关，则接长向量组

民=（如,如，…,ai„，*1））,i=1,2,…，加

必线性无关.

3.判断向量组线性相关性的方法

1）••个向量a线性相关oa=0；

2）含有零向量的向量组必线性相关；

3）向量个数=向量维数时，〃维向量组%线性相关

=|A|=ECC2…aj=O.

4）向量个数》向量维数时，向量组必线性相关；

5）部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）.

6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；

7）向量组线性无关=向量组的秩=所含向量的个数，向量组线性相关=向量组的秩〈所含向量的个数；

8）向量组%,a2,…%线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组

f+x2a2+•••+xnan=0

有（没有）非零解.

壹拾八

例7.设〃维向量组%,。2,（加22）线性无关，则

A.组中减少任意一个向量后仍线性无关

B.组中增加任意一个向量后仍线性无关

C.存在不全为零的数占出,…人，使»回=。

/=1

D.组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出

解析因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组

中减少任意一个向量后仍线性无关

答案A

例8设向量%=（%,仇,仿）,。2=（。2也，，2）,4=（。1，伉2,4）,/=（牝也,。2&）,下列命题中正确的是

（）

A.若%,多线性相关，则必有自，G线性相关

B.若四,%线性无关，则必有目，夕2线性无关

C.若用，四线性相关，则必有％,线性无关

D.若用，四线性无关，则必有四,线性相关

答案B

例9.设向量组火,。2，。3线性无关,而向量组％，%%线性相关•证明：向量％必可表为%4，%的线性组

合.

测试点关于线性相关性的几个定理

证1因为%，%，%线性相关，故多,%，％，0^线性相关，又因为名,%，。3线性无关，所以巴必可表为

%。2，。3的线性组合•证毕.

证2因为四,％,线性无关，故％，。3必线性无关，又因为%，%，线性相关

故必能由%，。3线性表示，当然可表为名，。2，。3的线性组合.证毕.

三、向量组的极大无关组及向量组的秩

1.极大无关组的定义：

设名,。2,…,％是向量组T的一个部分组.如果（1）%,。2,…，生线性无关；（2）任给万GT,都有

夕,必,。2,…,巴线性相关，则称小。2,…,％是向量组T的一个极大无关组.

2.向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的

的方法

有拾九

‘-10、

例10A=13的行向量组的秩=.

测试点矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；

答案2

例11设是一个4维向量组，若已知％可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量

组四,。2，。3，。4的秩为()

A.1B.2

C.3D.4

测试点(1)向量组的秩的概念；(2)向量由向量组线性表示的概念(3)向量组线性相关和线性无关的

概念

解因为％可以表为四,22，。3的线性组合，且表示法惟一，必有线性无关，因为

设+办&2+4%=0，由％可以表为%,。2，%的线性组合，即=&1%+无2a2+%。3

故=%+0=+A2a2+A3a3+4。1+4a2

—(k[+4)4+(k,+A,)a,+(k?+4)<Zj

由表示法惟一，有

k[+4=4],A,+4=%2，女3+4=%

于是有4=4=4=0,故线性无关，又可以表为。1，。2，。3的线性组合，所以为向

量组。1，。2，%，。4的一个极大无关组，故向量组ava2,a3,a^的秩为3.

答案C

例12设向量组%=(1,—=(2,—2,4,-2y,。3=(3,0,6,—11,。4=(0,3,0,4)，

(1)求向量组的秩和一个极大线性无关组；

(2)将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.

测试点求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法

()--()-

-123(2)+(0123

-1-20(3)+(-2XD03

3(4)+(-1)(1)、03

解A=[%%%%」一