1.5定积分的概念

高二数学选修2-1章导数及其应用1.5定积分的概念2021/5/91求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xi

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿x2021/5/92一、定积分的定义如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.2021/5/93定积分的定义：

定积分的相关名称：

———叫做积分号，

f(x)——叫做被积函数，

f(x)dx—叫做被积表达式，

x———叫做积分变量，

a———叫做积分下限，

b———叫做积分上限，

[a,b]—叫做积分区间。2021/5/94

按定积分的定义，有

(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为定积分的定义：2021/5/951xyOf(x)=x2Ovt122021/5/961.与的差别3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有4．规定：

是的全体原函数是函数是一个和式的极限是一个确定的常数注：2.当的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间的分法及点的取法无关。f(x)[a,b]2021/5/97(2)定积分的几何意义：Oxyabyf(x)x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。2021/5/98

当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb

与x

轴所围成的曲边梯形位于x

轴的下方，xyO=-．abyf(x)y-f(x)=-S上述曲边梯形面积的负值。

定积分的几何意义：=-S2021/5/99abyf(x)Oxy探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy2021/5/910三:定积分的基本性质性质1.性质2.2021/5/911三:定积分的基本性质

定积分关于积分区间具有可加性性质3.Oxyabyf(x)Ｃ2021/5/912

性质3

不论a，b，c的相对位置如何都有aby=f(x)cOxy2021/5/913

例1：利用定积分的定义,计算的值.

2021/5/914例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-12021/5/915解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-12021/5/916解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-12021/5/917解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-12021/5/918例3：解：xyf(x)=sinx1-12021/5/919

利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。利用定积分的几何意义，说明下列各式。成立：1）．2