圆的对称性垂径定理 全省一等奖

九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(1)垂径定理南京市方国平请观察下列三个银行标志有何共同点?？复习提问：1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？.圆的对称性圆是轴对称图形吗？

想一想P881

如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？●O你是用什么方法解决上述问题的?圆是中心对称图形吗？

如果是,它的对称中心是什么?你能找到多少个对称中心？你又是用什么方法解决这个问题的?圆的对称性圆是轴对称图形.

想一想P882

圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心.用旋转的方法即可解决这个问题.圆的相关概念圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).

读一读P883连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).●O经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).AB⌒以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”.AB⌒小于半圆的弧叫做劣弧,如记作(用两个字母).⌒ACB大于半圆的弧叫做优弧,如记作(用三个字母).ABC⌒D③AM=BM,垂径定理AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.

做一做P894作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:ABCDM└

由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理如图,小明的理由是:连接OA,OB,

做一做P905●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.垂径定理三种语言定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.老师提示:

垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.

想一想P906●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.条件CD为直径CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧ACB结论②CD⊥AB,垂径定理的逆定理AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.

你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.

做一做P917过点M作直径CD.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?

小明发现图中有:CD

由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.讨论（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对的劣弧（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求证：CD是直径，

AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD（AC＝BC）求证：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD⊥AB⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.OAEBDC垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论（1）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧垂径定理记忆你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!垂径定理的逆定理

如图,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.

想一想P918●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.注意

想一想P919●OABCDM└条件结论定理及逆定理①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.垂径定理及逆定理判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………..()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……..()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………...()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√挑战自我（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧（）（7）平分弦的直线，必定过圆心（）（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦（）ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径（）（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦（）（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分（）ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E挑战自我垂径定理的推论2

如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:随堂练习P9210●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2

圆的两条平行弦所夹的弧相等.例题解析例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，圆心O到AB的距离为3㎝，求圆O的半径。练习1:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB，计算：⑴点O与AB的距离；⑵∠AOB的度数。E练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于

D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求圆O的半径。

反思：在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据

定理求出第三个量：CDBAO例2：如图，圆O的弦AB＝8㎝，

DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。垂径例3：如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AE⊥CD于E，

BF⊥CD于F，且圆O的半径为

10㎝，CD=16㎝，求AE-BF的长。练习3:如图，CD为圆O的直径，弦

AB交CD于E，∠CEB=30°，

DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。例4已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。

AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO试一试P9311挑战自我画一画

如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.●O●M试一试P9312挑战自我填一填1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）√√试一试P9313挑战自我找一找2.已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:

.图中相等的劣弧有:

.试一试P9314挑战自我算一算3、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半径OA.⌒试一试P9315挑战自我试一试4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.·ABCD0EFGH课堂小结1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性和垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2.垂径定理的证明，是通过“实验—观察—猜想—证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法．

3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的