第8章5节空间向量的运算及应用纸间书屋

第五节[考纲]1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，共线向量(或平行向量λa＝λb．面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)p＝xa＋yb．a，ba·b＝|a||b|cos〈a，b模 〈a，b〉 a2＋a2＋a2· l1，l2lnαα，β[常用结论O，若＝＋

＋y＝1)，P，A，B

O，若

→＋→＋

＋y＋z＝1)，B，C四点共面a，bα内两不共线向量，n的法向量，则求法向量的方程组为(1)空间中任意两非零向量a，b共面．( 若A，B，C，D是空间任意四点，则有→＋→＋→＋→ 设{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向 (1)√(2)√(3)× 二、改1u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)α，β [∵α⊥β，ABCD­A1B1C1D1中，MA1C1 的向量是

1 已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法 3 3

3

－3，－3，－3 D.3，3，－3 [n＝(x，y，z)ABC的法向量

则→

化简得

∴x＝y＝z.故选已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则 6 [∵a⊥b，∴a·b＝0，6 16＋4＋4＝2考点 空间向量的线性运用基向量表示指定向量的方法结合已知向量和所求向量观察图形1.如图所示已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G 段MN上，且→＝ [ON，＝a＝b＝c，则＝

→＋ －1→

1→2 1 又

OG＝xOA＋yOB＋zOC，

2.ABCD­ABC

111

a，→＝b，＝c，M，N，PAA，BC，C

1a，b，c [解 (1)因为P是C1D1的中点所以

→1 (2)NBC的中点所以

1＝－a＋b＋1→ (3)MAA1的中点所以

→1 又 1 ＝1 1所以 空间向量的线性运算类似于平面向量中的线性运算．考点 共线(共面)向量定理的应证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B) O＝ O＝＋x yO＝x O＝x＋y AB，BC，CD，DA(1)求证：E，F，G，H(2)求证：BD[证明 (1)连接BG，EG，则→＝→＋＝→1 →

＝→＝→ E，F，G，H四点共面(2)因为

→1

1→1 1BD∥(1)本例(2)在证明中运用了向量共线定理及线面平行的判定定理．行可转化为向量共线、共面来证明1.a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)a∥bλμ的值可以是

[∵a∥b， 22解得22

或 故选λ＝2，2．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于 7 [∵ab不共线，x，y7，， ∴－x＋4y＝5，解得y＝77

7考点 空间向量数量积的应(1)利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用②|a|＝③cos〈a，b〉＝ABCD­A1B1C1D1中，底面为60°.AC1BD1AC[解 (1)记→＝a，→＝b，→|a|＝|b|＝|c|＝1→

|AC1|＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c

|AC1|＝|AC1|＝6，AC1的长为(2)证明：∵→＝a＋b＋c∴→＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos |BD1|＝2，|BD1|＝2，|AC|＝→→6666

〉

→ 6∴ACBD1夹角的余弦值为6[教师备选例题1[教师备选例题1E，F，GAB，AD，CD的中点，计算：(1)→·→；EF(2)→·→EG[解 设→＝a，→＝b，→|a|＝|b|＝|c|＝1(1)(1)→＝1→＝1－1， → 11 1(2)→·→＝(→＋→＋→)·(→－→)EG AD 2AD ＝－1＋1＋1 111 ABC­A1B1C1，在底面△ABCA1A的中点．求求cos [解 (1)如图，以点C作为坐标原点x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，→ ＝→ BA1·CB1＝3，|BA1|＝6，|CB1|＝→〉所以cos〈→， BA1·CB1＝30〉

→ 10 证明：→→ 所以→ A1B⊥C1A1B⊥C1M，考点 利用向量证明平行与垂1.利用空间向量证明平行的方法①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②①证明两平面的法向量为共线向量；②2.直证明两直线所在的方向向量互相垂直，直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，直证明两个平面的法向量垂直，如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面4，CD＝1MPB上，PB＝4PM，PBABCD30(1)CM[解](1)证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CBx轴，CDy轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz.∵PC∴∠PBCPBABCD所成的角∵PC＝2，∴BC＝2∴D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(2M 2，0， DP＝(0，－1，DP＝(0，－1，2)，DA＝(2 CM＝2，0， →

即 y＝2，n＝(－ 3 n·CM＝－3×2

又CM⊄平面(2)法一：由(1)知→＝(0，4，0)，→＝(2→

即 x0＝1，m＝(1，0，又∵PADn＝(－∴m·n＝1×(－3)＋0×2＋法二：APE，E(3，2，1)，→＝(－又∵＝(－3，2，1)·(2∴→ ∴BE又∵BE⊂平面点M的求解是本例的难点，求解的方式有两种：一是在平面BCP中借助直角三角形中的边角关系求解，二是借助向量共线定理利用→＝ 解ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，ECD(1)(2)AA1PDPB1AEAP的[解 以A为原 →→，→的方向分别为