同济大学高等数学（第七版）下册第10章重积分课后习题答案

第十章

重积分

习题10-二重积分的概念与性质

&1.设有一平面薄板(不计其厚度)，占有」。丁面上的闭区域。,薄板上分布右面密度

为的电荷，且〃(八y)在。上连续，试用二而积分表达该薄板上的全部电

荷Q

解用一组曲线网将D分成〃个小闭区域A。,.其面积也记为Acr,(<=1.2.-.

c).任取一点(S,〃)eA6,则Ao,上分布的电荷AQ产四(£.可，)A。,.通过求和、取

极限，便得到该板上的全部电荷为

Q="I：E,)ACT,=J/x(x.y)dtr,

其中入=maxICT的直径I.

ICt<MA,

注以上解题过程也可用元素法简化叙述如卜：

设想用曲线网将〃分成n个小闭M域，取出其中任意一个记作(Lr(其面积也记

作do),(#,〉)为da上一点，则de上分布的电荷近似等J,p.(x,\)d。,记作

dQ=.(x,>)do(称为电荷元素),

以dQ作为被枳表达式，在。上作币:积分，即得所求的电荷为

。=jpx(x.))d(r.

&2,设6=J(x2+/)3«］。，其中。］=|(x,v)|-1这xw1.-2w、w2,；乂=

”,

2

J(x+>2/do•.其中/=|(x.y)lowxwI.0C?«2；.试利用.小:积分的儿

何意义说明"与/2之间的关系.

解由二而积分的几何意义知，/|我示底为〃|、顶为曲向1=(/+/)’的曲例

柱体a的体积；乙表示底为〃八顶为曲面:二(/+/)'的仙顶升体〃：的体枳

(图lo-i).由于位于「上方的曲面工=(而+>2尸<r(左而和二小而均对称,故

yOz面和面将〃।分成四个等积的部分,其中位位第1卜限的部分即为〃:.由此

可知

/,=4/2.

注(I)本题也可利川被枳函数和积分M域的对称件来斛答.过小二(.、.,)

OW4G.-2WyW2|.山)〃|IJ»轴对称，被枳函数(J+J)'XJt是偶函

第十章重积分95

数,故

/,=J(x2+y2)3da=2][(x2+/)3da.

ih〃，

乂由于凡关于x轴对称.被积函数(/+y2)3关于，是偶函数.故

22323

J(x+y)da=2a2+y)da=2/2.

thDs

从而得

，l=412.

(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：

如果积分区域。关于]轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即

f(x,-y)=-/(x,y)，则

J/(x,y)da=0；

如果积分区域"关于)轴对称，而被积函数/(x,>)关于X是奇函数,即

f(-X,>)=-/(x,y),则

1/(x,y)do-=0.

〃

43.利用JR积分定义证明：

(1)=。(H中b为〃的面积)；

〃

(2)gk/(x.y)d"=％,>)do(J]中左为常数)；

"h

(3)『(x,y)drr=J/(x,y)<\(r+//(x.y)d".其中I)=%U〃？，〃i.%为两个

"btIh

无公共内点的闭区域.

证(1)山尸被枳函数/(x.y)=I,故由二，积分定义得

■-

J^dcr=1而\/(£,〃)A%="\白巴

96一、《高等数学》(第七版)下册习题全解

=liina=a.

A-0

(2),炉(x,>)dcr=町=.7)A巴

=Alin»1/(f,.〃)A*=k11/(x.y)da.

i…i

(3)因为函数/(%>)在闭区域〃上可积.故不论把〃怎样分割,积分和的极限总

是不变的.因此在分割。时.可以使5和D2的公共边界永远是一条分割线.这样/(明))

在0UD2上的积分和就等于5上的积分和加1)2上的积分和，记为

=/(£,〃)A6==/(£,TL)A6+=/(2

D,uO.H,l>

令所有Sa,的直径的最大值入-0,上式两端同时取极限，即得

J/(*,))do=xty)d<r+)d(「.

fhun,ih",

匕4.试确定积分区域。，使二重积分，(1-2/-y2)dxdy达到最大值.

/1

解由二重积分的性质可知，当积分区域。包含了所有使被积函数1-21

大于等于零的点,而不包含使被积函数I-2『小于零的点.即当"是椭圆21+

)2=1所围的平面闭区域时.此二纸积分的值达到最大.

R5.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小：

r

(1)/(x+y)2do•与1(x+yKkr,其中积分区域“是由X轴」轴与点线.、+>=

"I)

1所围成；

(2)J(x+>)2加与Jc+>)39,其中积分区域〃是由帆]周(戈-2)2+(、-»=

o"

2所围成；

r

(3)Jln(x+y)da与1[ln(、+.>)]2(力，其中〃是：角形用M域.三顶点分别为

"n

(1,0).(1,1),(2,0)：

(4)加n(x+y)do与/[ln(x+))了d".其中〃=I(.、,\)|3W\W5.0WtW1.

〃"

解(I)在积分区域〃上.0£、+,这1.故行

(.V+V)'W(X+V)2.

根据二重积分的性质4.可得

/(X+))\lrrW/(、+))Jl(r.

a“

(2)III于枳分区域〃位于平平向I(Q)I.、•+»》II内.故在/)IA

(.1+))2W(K+>)L从而『(N+I)?<l<rW1)(.1+»),(l<r.

第十章重积分

(3)由于积分区域D位于条形区域I(八>)|1♦+yW21内,故知区域。上的

点满足OWln(x+y)W1.从而杓[ln(x+y)]2wln(x+>).因此

ln(x+r)2daWln(x+y)do.

(4)由于积分区域。位于半平面[(1,>)内,故在。上有ln(#+y)妾

I.从而：In(x+y)[2NIn(X+]).因此

x+、•)]2doN|Tln(x+y)dtr.

一6.利用二市积分的性质估计下列积分的值：

(I)/=jxy(x+))drr,其中。=I(x,y)|0WxW1,0宅yW1I;

(2)1=/siBrsin?,d(r.其中D=|(x,y)|0这xWIT,0WyWTTI;

n

(3)/=，(x+j+l)da,其中。=I(x,y)|OW*Wl,0WyW2|；

(4)/=J(x2+4./+9)do•，耳中D=|(x,y)\x'+y2«4|.

解(】)在积分区域〃上,OWxWl,0W>Wl,从而0Wx>(x+y)W2.乂〃的面

枳等于1.因此

(2)在积分区域。匕。与sinxWl.O<sinyWl,从而OWsin-si/yWl,又D的

面积等于".因此

0WJsiri2xsin2yd<TWir'.

It

(3)在枳分M.域〃上仃I±%+y+1W4,〃的面积等于2,因此

2这+y+I)doW8.

n

(4)因为在枳分区域〃|.行OS?+『W4.所以有

9WJ+4/+9W4(/+/)+9W25.

乂〃的面枳等尸4”,闪此

36nW『(？+4y2+9)d。WlOOir.

二重积分的计算法

21.计算下列.币:积分:

98-《高等数学》（第七板）下珏习速全系

/1）+/川0・其中〃=（x.?）XW1.、W1：

b

<2），（3x+2、源o•.其中〃是由两坐标轴及宜线x+、=2所围成的团区域；

/，

（3），（♦+3/）+/那",其中〃=（x,v）0wx这】.0W〉W】；

i>

（4）JxCObfX+］评0.其中〃是顶.巨分别为（0.0）J77.0）和，77・77）的三龟形闭

b

区域.

解(1)ff(x2+)2)da=jdxjJx?+『)dy

+T)dx=T

(2)D可用不等式表示为

0wsyC2-x,0WxW2.

于是

J(3x+2y)da=£dxJ(3x+2))dy

it

fi

xy+J；"dx=J)(44-2x-2x")d.x=

(3)J(x3+3x2)+J)da=Jd)J(x'+3A2}+.」)dv

h

=I[y+/,+y，]s=[(++,+『,，=i-

(4)〃可用不等式表示为

owWX,0WXW7T.

于是

xcos(x+y)do=Jxdxj<-os(x+v)<h

it

=Jxfsin(x+v)i=Jv(>in2.i-sini)ih

=f,d(r,>sx——<*<>s2v)

=fv(cosX-)-<r>S2Ajj-I(<,<*!*«.1-1<,<»«»2Aj<1'

=1T(-|-y)-0="2"•

b2.mii.l;枳分MMi.）1il。卜列币积分：

第十章重积分

(1)3d”,其中〃是由两条抛物线〉=&y=X2所围成的闭区域；

U

(2)Jx/da.其中〃是由圆周一+丁=4及)轴所围成的右半闭区域；

(3)其中D=l(x,y)I|x|+|y|CH;

(4)x2+』-其中D是由直线y=2,y=x及y=2x所围成的ffl区域.

解(1)。可用不等式表示为

OWxWl（图）0

于是

（2）1）可用不等式表示为

0W1WJ4->2,一2WyW2（图10-3）.

故

4

de/-/

卜辅”/_2/）JoX<，X

（4->2）dy=卷

y

-2—/

（）X1X

图10-2nio-3

（3）如图10-4.〃=〃1口〃2，其中

〃i=1（x,y）|-x-1>Wlx+l,—1W*W（）I,

1）2=1（x,y）14一1WyW-x+1.0W#W11.

因此

100一、《高等数学》(第七版)下册习题全解

e1+'da=jp*-do+…do

ntht1：

f0fi♦I>11.-a♦I

=Ie'd.xIeSIv+Ie4<IAIr'ih

J-i/>Ji-I

=/id，”-eT)dx+((<■-e2*-')d.r

=e-e.

(4)〃：5wxWy,OW)w2(图10-5),故

，(./+y2-.r)dtr=[dyf(x'+y2-x)<l.v

为3.如果二值枳分）dtd＞的被积函数/（主,））是两个函数八（\）及/：（、）的乘

积，即/（",））=/|（X）•/；（＞）,积分区域〃={（、,]）|“W\Wh.«W\WJ，证明

这个二重积分等于两个单积分的乘积，即

1Z（x）•/2（y）＜lv＜li=[J/1（V）＜h]•[、）＜lj

证J/1（）•/?⑴小小=[[|/|（v）•/,（»

在上式右端的第•次单枳分「八（i）・人（小中/（、）叮积分企吊'I、（.可视为

常数梃到枳分号外，因此I式公端等J

]/（、）-[j

第十童重积分101

而在这个积分中，由于[为常数,故乂可提到积分号外，从而得到

・Z2(>)d4d>=[j/2(y)dy]-[[/(%间

=[f/i(t)d.r]-[172(y)dy].

证毕.

H4.化二面积分

/=犷(f)d。

〃

为二次积分(分别列出对两个变盘先后次序不同的两个二次积分)，其中积分区域。是:

(1)由宜线>=*及抛物线>2=4x所围成的闭区域；

(2)由X轴及半圆周/+>2=/(>30)所围成的闭区域；

(3)由直线>=*,*=2及双曲线丫=,晨>0)所闱成的闭区域；

X

(4)环形闭区域I(x.y)|1Wr+>?W4|.

解(1)直线>=*及抛物线产=4*的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是

，=，dx^^f(x,y)<i)r.

1

或=口>。(x,y)dx.

(2)将〃用不等式去示为//.-yxWr,于是可将/化为如卜的先

对九后时久的二次积分:

「r•"7’

/=Jdxj/(X.y)<ly；

如将〃用不等式去示为->2w*wJ/->2,OW，Wr.则可将/化为如卜.的

先对—后对y的二次枳分：

102一、《高等数学》(第七版)下册习题全解

(3)如图10-7.三条边界曲线两两相交.先求得3个交点为(L1).(21)和

(2,2).于是

或

■»2

x,y)dx+(<1>J/(jr,y)d.r.

注本题说明,将二丽积分化为二次积分时.需注意根据积分区域的边界曲线

的情况,选取恰当的积分次序.本题中的积分区域。的上、F边界曲线均分别由个

方程给出，而左边界曲线却分为两段,由两个不同的方程给出.在这种情况下采取无

对y、后对*的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分,而如果采用相反的枳

分次序则需计算两个二次积分.

需饕指出，选择积分次序时,还需荐虑被积函数/(*,))的特点.具体例广可见教

材下册第144页上的例2.

(4)将"按图IO-8(a)和图IO-8(b)的两种不同方式划分为4块.分别得

『-1「J4.।.\/4

/=L可.个山+(网g"'"'+

和

1=l-2,lrJ./r^/(v-1)'1'+J/'J「小•小人+

7

Jry/^'/»

第十章重积分103

/5.设/(.—)在〃上连续,其中〃是由宜线y=*.>=。及x=W)>〃)所闱成的团区

域,证明

I(k1/(x,y)dy=1thl/(x,y)dx.

证等式两端的二次枳分均等于二求枳分因而它们相等.

II

.6.改换下列.次积分的积分次序：

(1)(小(/(无,y)dx；(2)Id)［；/(#.y)dx；

2r-2…’

⑶(呵二”…粒;(4)jr(Ixj/(x.y)dy；

fit.sinx

(5)j/(x.y)dv;(6)dxj±/(x,y)(\y.

解(I)所给二次枳分等于二币:积分j7(x,y)<b,其中"=|(八y)|()wxw

〃

。W)W1〃可改写为I(X,，)IXwy/I.0WXWII(图10-9),于是

原式=(dx]/(

(2)所给：次积分等于二市枳分j/(x,y)<l<r.Jt'l'I)=1(*.y)Iy2WxW2y.

()WyW2.乂〃可去小为｛(x,y)[；W)W&0£x这41图I。-I。).因此

原式=(<卜//('，>)切.

104一.《高等数学》(第七版)下册习题全解

(3)所给二次积分等于二重积分其中D=(x..\)-.、『二；'W

xWy1-/,0W>WL.又〃可表示为(x・>)0W\W，1一J,-IWxW1

(图10-11),因此

原式=Jdxj/(x.v)d).

(4)所给二次积分等于二重积分〃(x.y)do•.其中"=(xj)2-xW、W

b

Jlx-X2.1WXW2：.又。可表示为1(X)I2-\WXW1+y/\-.0W]WI

(图10-12),故

.Ji--

K/(x.))d.r.

(5)所给二次积分等于二瓯积分中〃=M'.Cl()W、Win、.IW

/>

XW“I.又"可我示为I(x.y)|WJTWf.oW1W1(图10-13),故

原式=(小(；/(*.、),h.

(6)如图10-14.将枳分区域〃丧示为"U〃：.其中A=：＜arrsin、WtW

第十章重积分105

TT-arc-siny,0W)WII」,=I(x,>)|-2arcsinyWxWn,-IWyWOI.于是

/fit-arc»in>,0户

原式=I(I?I/(x,))d#+dy|f(x,y)Ax.

/)Jarr*in)J-1J-2arcsin)

上7.设平面薄片所占的闭区域。由仃线4+y=2.y=*和x轴所闹成，它的面密度

卬…)=/+>2,求该薄片的质“

解。如图10-15所示.所求薄片的质粒

M=/〃(x,>)d<7=(d"(/+y2)dx

n

=d+4厂山

=J,'[y(2-y)5+2/-^-/]dy

=

=[.(2->)，+|y4力:T

i8.i|算由四个平面.=0.y=0,%=l.7=l所围成的柱体被平面z=°及2x+3y+z=

6截得的立体的体枳.

**(Xc[0,jIlf.y=Nin»的收函数兄auczn>.而当，'(:•7r|,1^,n~

Milly=sinx=nil!(n-x)可将IT-x=“r，、i”y,从而得反函数»=-n-«r<MHIy.

106《亳等右手》芳一三三意士与

颦女工5人一左二旺£.它三三是有上三M/W〃=，.：,j这一

u—wl.?是三玄：=6-2x-3?多/-16工工干石二过三三百

Si9./由平面n=0.y=0,x*;.=1所围成的弓体坡F面二=。殳兀为面―-'二6-二.

得的，体的体枳.

银此、体为•曲顶柱体,它的底是“M面上的用区域。=X..0-1-

gW1.顶足曲面-6-，/+)2/图1。-⑺，故体积

21

6-x*+y}dxd>6-X'-「，小

[6M-r)-x2+x—-x)[dx

I7

<

图I"-”图10-IX

第十章重积分107

110.求由曲面z=/+2/及z=6-2/一/所围成的立体的体积.

Z—*2+2V2

-、'，消去Z,得/+y2=2,故所求立体在4Oy面上的投影

1Z=6-2/->2

区域为

D=|(%>)I-+-石2](图10-18).

所求立体的体枳等于两个曲顶柱体体积的差：

V='(6-2x2-y2)da-J(x2+2y2)da

二1(6-3x2-3y2)da=jj(6-3p2)pdpd。

=6-3p2)pAp6-rr.

注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时，并不一定要画出立体的准确

图形,但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程.这

就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识•

3”.同出积分区域，把积分。/•(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区

U

域"是：

(I)I(*,>)|X2+y2Wa?|(a>0);

(2)|(x,y)这2x|;

(3)|(*,y)la?w/+/毛,其中o<„<fc.

(4)|(x,y)|0WyW1-x,0WxW1|.

解(1)如图10-19,在极坐标系中，。=|(p,。)lOWpWa.OWGW21rl.故

J/(x,y)dxdy=J/(pcos^.psin0)p(ipcl(/

/(pcosJ,psin8)pdp.

(2)如图10-20,在极坐标系中.

〃={(p,G)这2<ose,-5w0这5

故

0/(4,y)dxdy='/(peesfftpsinO)pdpd。

〃"

=J.dffjJ.pzin3)pdp.

108一、《高等数学》(第七版)下册习题全解

PS，

XF

图10-19图1()-2()

(3)如图10-21.在极坐标系中.0：=i(p,0)i"WpW/).0W6W2”.故

J/(x,y)dxdy=J/(pens9,psin0)p<\p<\0

=「硝"<<»s8,psin，)pdp.

(4)。如图10-22所示.在极坐标系中.直线X+y=1的方程为P=

+c°s/故""{"⑻lOWPWsine+c。—.0wew14于是

se2J

Jf(xy)dxdy=J

t/(prosg.psin0)pdpilO

“n

a1

2f・•・e.・

=i<101/(pcosO.psin3)pAp.

「

.省一

-AV-a\oTJyo\h*

一

o\1T

图10-21图10-22

12.化口列二次积分为极坐标形式的.次枳分：

2yr»

(1)(呵：/(2)“；(2)[<l.vj/(/v2+F)小；

(3)(甸]/(x.v)dy；(4)(<h]/(t)小.

第十章重积分109

解(1)如图10-23,用直线丁=*将积分区域0分成01,。2两部分:

D\={㈠,e)|o於Pwsece,owew-j-

D[={(p,6)|0WpWesc8,/W8W己}

于是

原式=|d^l/(pcosG.psin8)pdp+Ld^|/(pcos6,psin6)pdp.

(2)。如图10-24所示.在极坐标系中，直线x=2,射线y=x和y=&r(x>0)

的行程分别是p=2secG,。=彳和6=-y-.因此

D={(p,。)|()WpW2sec0,---WOW-y-1-

又/(J/+y2)=/(。)，于是

原式=J.呵)/(p)pdp.

(3)〃如图10-25所示.在极坐标系中,直线)=1-#的方程为P=

-——------.[Ml>=-/的方程为p=I,因此

sin0+cos0

D=\(P.e)I——-w。w】，ow"w手}.

IIsin0+cos0LJ

于是

原式=(d。/t/(pees8,psinO)pdp.

(4)〃如图10-26所示,在极坐标系中，直线x=I的方程是。—化抛物线

22

y—X的方程是psin份二〃,(：os(),H[lp-tan"see6;从原点到两ft的交点的射线是°-

乎故

110一、《高等数学》（第七版）下册习题全解

1)-{(p,。)|tan8Wp£sec仇()WSW手

于是

解（1）积分区域〃如图1。-27所示.在极坐标系中.

〃={（p,。）|0Wp仇0WGWg},

于是

r~r3"”、。、/彳rc』12"coj*"

原式=卜"c=L®L,ifl

=4〃4[res"仇Id=4"4•'•[iTu4.

N4224

注作多兀函数枳分学的计算题中,常会遇到定积分L、in”〃<l〃和（」、"〃似因此

记住如卜的结果是有益的：

；•….：・；・；，〃XN偶数.

:....[•；・〃为人J।的il奇数

（2）如图10-28.在极坐标系中.

I)(〃.")I()W〃这usee^.0w〃W;}■

第十章重积分111

于是

原式:1)d0(ip•pdp=yfse36dG

=^—[sec例an0+ln(sec8+tan0)]4

6'°

=~j~+\n(j2+1)].

o

(3)积分区域。如图10-29所示.在极坐标系中,抛物线＞=/的方程是psin”

cs]。，即p-tan6sec6；射线y=x(x30)的方程是"，故

I)(p.0)|0W〃这IanOser”,0W0W升

J是

,tun"I

原式=~•pdp

=Jtun0secfhlH=Iw=/2-1・

112一、《高等数学》(第七版)下册习题全解

(4)积分区域

D={(工，攵)|OWxwJM,OW)Wa}

={(p,8),()WpWa,OWdW~.

故

原式=1帕(P,•pdp=y,Y=Yf,4-

值14.利用极坐标计算下列各题：

(1)心八Lkr.其中I)是由Bfl周x2+/=4所围成的闭区域；

(2)Jln(l+/+y2)do■，其中"是由圆周『+/=1及坐标轴所闱成的在第

象限内的闭区域；

(3)arcJan上do,其中〃是由圆周/+y2=4,x2+y2=I及直线)=0,\=

0

X所围成的在第一象限内的闭区域.

解(1)在极坐标系中.积分区域。=l(p.J)|0这pW2,0wew27r，于是

do=卜",pi\pi\0=((18]"*•pdp=2TT•=TT(e4-1).

~2

o

(2)在极坐标系中.积分区域Q={(p.J)OWp这1.0这但会},于是

,ln(1+x2+y2)da=j^ln(I+p2)•pdpdd=[ln(1+p2)•pdp

Dn

=y-ypnd+/)d(l+/)

=(1+p3)ln(1+p?)[-2pdp]

=—(2ln2-I).

4

(3)在极坐标系中，积分M域〃={(p.O)Yp於2,0W，WR.arclan=8,

于是

Jarclan•pd“d〃=[fhlff(adp

第十章重积分113

115.选用适当的坐标计算下列各题：

(I)f^drr.其中。是由直线x=2,y=x及曲线xy=l所用成的闭区域；

oy

(2)J,；；：；:jd(r,其中。是由圆周一+/点及坐标轴所闱成的在第一

象限内的闭区域；

(3)J(x2+>2)do,其中。是由直线y=4,y=x+",>=〃,，=3a(a>0)所围成

的闭区域；

(4)jyPV7da，其中〃是恻环形闭区域1(八>)|滔这一+y2wF].

解(1)。如图10-30所示.根据"的形状，选用直角坐标较宜.

"={(*,>)twyWx,lW.vW2}.故

(2)根据积分区域”的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜・

=工.r=界/-^=.dp-['7^=?叼

2J，/i^X2"/）-/力/F^P4>

124

,iP+U'—j—<i（।-p）]

212/r_p44力/TT71

二;（3心沁"‘|：二/L）

114一、《高等数学》（第七版）下册习题全解

=I（IT-2）.

o

（3）〃如图10-31所示.选用宜角坐标为宜.又根据〃的边界曲线的情况,宜

采用先对x、后对y的积分次序.于是

6+y2)da=f<Jy[(x2+y2)dx

J”J)-a

r3a[

=L(2”

3

（4）本即显然适于用极坐标计算.〃=：（外。）八OW"W27rl.

,y/x2