第二节数列极限

第二节数列极限第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期一数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S(刘徽割圆术),当n

>

N时,用其内接正n

边形的面积总有第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期一定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:即或则称该数列的极限为a,第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期一例如,趋势不定收敛发散第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期一例1.已知证明数列的极限为1.

证:欲使即只要因此,取则当时,就有故第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期一例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期一例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为0.第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期一二、收敛数列的性质证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N时,故假设不真!满足的不等式第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期一例4.证明数列是发散的.

证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N时,有因此该数列发散.第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期一2.收敛数列一定有界.证:设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期一3.收敛数列的保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期一*********************4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期一三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，

发散!夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则.则原数列一定发散.说明:第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期一1.夹逼准则(准则1)

(P49)证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期一例5.证明证:利用夹逼准则.且由第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期一2.单调有界数列必有极限(准则2)

(P52)

(证明略)第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期一例6.设证明数列极限存在.(P52～P54)证:利用二项式公式,有第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期一大大正又比较可知第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期一根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期一*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

(P55)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期一内容小结1.数列极限的“–N

”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期一思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期一3.若对任意中仅有有限多项不满足则数列以为极限吗?4.数列收敛于实数等于

，A.对任给在内有数列的无穷多项B.对任给在内有数列的有穷多项C.对任给在外有数列的无穷多项D.对任给在外有数列的有穷多项5.若和都收敛于，则必定收敛于。第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期一作业P303(2),(3),4,6P564(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期一故极限存在，备用题

1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则第二十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期一

2.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法第二十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期一刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.的方法:第二十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期一柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学

校编写的《分